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word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 圆与三角函数的有关计算和证明【学习目标】1、熟练掌握圆中有关的证明与计算；2、能熟练运用三角函数；3、能从复杂图形中识别常用的基本图形。【典例分析】一、以等腰三角形的腰为直径作圆，过底边中点作另一腰的垂线构切线 例 1、如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 交 BC 于 D，交 CA 的延长线于 F，DEAC 于 E.（1）求证：DE 为O 的切线；（2）若 AB5，AF3，求 tanC 的值.练习 1、如图，ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的O 交 BC 于 D 点，DEAC 于点 E.（1）求证：DE 是O 的切线；（2）连接 OE 交O 于 F，连接 DF，若 tanEDF=21，求 cosDEF 的值.练习 2、在RtABC中，90ACB，D是AB边上一点，以BD为直径的O与边AC相切于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点F（1）求证：BDBF；（2）若64BCAD，求 sinCEF 练习 3、如图，在ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的O 分别交 AC，BC 于点 D，E，点 F 在 AC 的延长线上，且CBF=12CAB.（1）求证：直线 BF 是O 的切线；（2）若 AB=5，sinCBF=55，求线段 BF 的长.变式 1、如图,AB 为O 的直径,AC 为O 的弦,BAC 的平分线交O 于点 D,DEAC 于点 E.（1）求证:DE 为O 的切线;（2）连接 OE 交 AD 于点 F,连接 BD,若 cosBAC=54,求BDOF的值.OABCDEFFEDOABCA E D O B C F word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 变式 2、如图 1，AB 是O 的直径，AD 是弦，点 E 是弧 BD 上一点，EFAD 于点 F，且 EF 是O 的切线.（1）求证：弧 DE=弧 BE；（2）连接 BE，若 tanDAB=125，求 tanB 的值.二、（圆中的三个二分之一）已知：如图，AB 是半圆 O 的直径，点 E 是半圆 O 上一动点（不与 A、B 重合），点 C 是弧 BE 的中点，连接 BE、AC 交于点 G，过点 C作 CDAB 于点 D，交 BE 于 F 点。求证：(1)CD=BE；(2)CF=BG；(3)DF=EG。例 2、如图，RtABCK，ACD=90，以 AB 为直径作O，F 是O 上一点，FCAC，CDAB 于点 D，连 AF 分别交 CD、BC 于 E、G 两点，连接 CF。（1）求证：ACEAFC；（2）若 sinDAE=31，求BGCG。练习 1、如图，AB 是O 的直径，C 是弧 BD 的中点，CEAB，垂足为 E，BD 交 CE 于点 F（1）求证：CF=BF；（2）若 cosBAD=31,，O 的半径为 3，求 BC 的长 练习 2、如图，ABC内接于O，AB为直径，弦CEAB于F，C是 AD 的中点，连结BD并延长交EC的延长线于点G，连结AD，分别交CE、BC于点P、Q。（1）求证：P是ACQ的外心；（2）若3tan,84ABCCF,求CQ的长。C B E F A D O word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 三、切割线型：从圆外一点同时引圆的切线和过圆心的割线 例3、如图，AC为O的直径,PAAC，BC是O的一条弦，直线PB交直线AC于点D，DODCDPDB.（1）求证：直线 PB 是O 的切线；（2）若 ACCD2,求 cosBCA 的值.练习 1、如图，四边形 ABCD 内接于O，AC 是O 的直径，ABBD，BD 交 AC 于 P，过 B 作 BEAD 交 AC和延长线于 E.（1）求证：BE 是O 的切线；（2）若 AC8，PC1，求 tanCBD 的值.练习 2、已知：如图,在矩形ABCD中,点O在对角线BD上,以OD的长为半径的O与AD,BD分别交于点E、点F,且ABE=DBC.（1）判断直线BE与O的位置关系,并证明你的结论；（2）若33sinABE,2CD,求O的半径.练习 3、如图，D 是O 的直径 CA 延长线上一点，点 B 在O 上，且 AB=AD=AO。（1）求证：BD 是O 的切线；（2）若 E 是劣弧 BC 上一点，AE 与 BC 相交于点 F，BEF 的面积为 8，且32cosBFA，求ACF 的面积。EPDCOBAE O F D C B A word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 FOEDCBAGDCFBOEABPDOACE 四、角平分线型：过圆周角的角平分线与圆的交点或弧的中点引圆的切线 例 4、如图，在 RtABC 中，C=90，BAC 的平分线 AD 交 BC 于 D，点 O 在 AB 上，经过 A、D 两点的O 交 AB 于 E.求证：BC 是O 的切线；若43tanB，求ADCcos.练习 1、如图，AB 是O 的直径，点 C 是O 上任意一点，点 D 是弧 BC 的中点，DEAC，交 AC 的延长线于点 E，I 是ABD 的内心，连结 DI 并延长交O 于点 F（1）求证：DE 是O 的切线；（2）若21tanBAD，CE2，求 DF 的长 练习 2、如图，在ABC 中，C 为直角，BD 平分ABC 交 AC 于 D.在 AB 上取一点 D.在 AB 上取一点 O，以点 O 为圆心作经过 B、D 的圆，O 分别交 AB、BC 于 E、F，连 DE、EF，EF 交 BD 于 G.求证：AC 与O 相切；若 DE=2，BG=3，求 sinA.五、切线长型:从圆外一点引圆的两条切线，已知一条求证另一条 例 5、如图，AB 是半圆（圆心为 O）的直径，OD 是半径，BM 切半圆于 B，OC 与弦 AD 平行且交 BM 于 C。（1）求证：CD 是半圆的切线；（2）若 AB 长为 4，点 D 为弧 AE 的中点 求 sinOCB。练习 1、如图，AB 是O 的直径，P 为 AB 的延长线上的点，PD 与O 相切于点 D，C 在O 上，且 PC=PD.证明 PC 与O 相切；过 A 作 AEPC 于 E.连 BC，若 sinEPA=31，O 的半径为 3，求 BC 的长.ABCEDOFIword 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 练习 2、已知：如图，O是ABC的外接圆，AB为O直径，且PAAB于点A，POAC于点M(1)求证：PC是O的切线；(2)当OM=2，Bcos=42时，求PC的长 练习 3、已知：如图，BE 是O 的直径，CB 与O 相切于点 B，OCDE 交O 于点 D，CD 的延长线与 BE 的延长线交于 A 点.（1）求证：AC 是O 的切线；（2）若 AD4，CD6，求 tanADE 的值.六、以直角三角形的一直角边为直径做圆，连接另一直角边的中点与圆和斜边的交点构切线 例 6、如图，以 RtABC 的直角边 AC 为直径作O，交 AB 于 D 点，OEAB 交 BC 于 E 点。（1）求证：DE 为O 的切线（2）若55cosOED，OA=5，求：BDES。练习 1、如图，RtABE 中，ABAE 以 AB 为直径作O，交 BE 于 C，弦 CDAB,F 为 AE 上一点，连 FC，则 FC=FE(1)求证 CF 是O 的切线；（2）已知点 P 为O 上一点，且 tanAPD=21,连 CP，求 sinCPD 的值。OEDCBAMOPABCOEDCBAword 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 OPCDBAGDCEBFOA 练习 2、已知:如图,AB是O 的直径,BC切O于B,AC交于P,D为BC边的O 中点，连结DP(1)DP是O 的切线；(2)若3cos5A，O 的半径为 5，求DP的长.练习 3、以 RtABC 的直角边 AB 为直径的O 交斜边 AC 于点 D，点 E 是 BC 的中点，连 DE.判断 DE 与O 的位置关系，并证明；连 AE，过 D 作 DFAB 于点 F，交 AE 于点 G.若 AC=10，tanC=34。求 DG 的长。
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