速度分解渡河模型

模型组合讲解一速度分解渡河模型【模型概述】在运动的合成与分解中，如何判断物体的合运动和分运动是首要问题，判断合运动的有 效方法是看见的运动就是合运动。合运动的分解从理论上说可以是任意的，但一般按运动的 实际效果进行分解。小船渡河和斜拉船等问题是常见的运动的合成与分解的典型问题【模型讲解】一、速度的分解要从实际情况出发0图1例1.如图1所示，人用绳子通过定滑轮以不变的速度K拉水平面上的物体A，当绳与 水平方向成。角时，求物体A的速度。解法一（分解法）：本题的关键是正确地确定物体A的两个分运动。物体A的运动（即 绳的末端的运动）可看作两个分运动的合成：一是沿绳的方向被牵引，绳长缩短。绳长缩短 的速度即等于七=V。；二是随着绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳长，只改变角度。 的值。这样就可以将七按图示方向进行分解。所以v 1及V2实际上就是七的两个分速度，如 图1所示，由此可得V 二二二%。a cosU cosU解法二（微元法）：要求船在该位置的速率即为瞬时速率，需从该时刻起取一小段时间来 求它的平均速率，当这一小段时间趋于零时，该平均速率就为所求速率。设船在。角位置经&时间向左行驶Ax距离，滑轮右侧的绳长缩短AL，如图2所示， 当绳与水平方向的角度变化 很小时， ABC可近似看做是一直 角三角形，因而有AL Ax AL = Axcos0，两边同除以得：丁 = 丁cos0 AtAt即收绳速率V0 = Va cos0，因此船的速率为:V 二a cos0图2总结：“微元法”。可设想物体发生一个微小位移，分析由此而引起的牵连物体运动的位 移是怎样的，得出位移分解的图示，再从中找到对应的速度分解的图示，进而求出牵连物体 间速度大小的关系。解法三（能量转化法）：由题意可知：人对绳子做功等于绳子对物体所做的功。人对绳子 的拉力为F，则对绳子做功的功率为P1 = Fv ；绳子对物体的拉力，由定滑轮的特点可知， 拉力大小也为F，则绳子对物体做功的功率为P2= FvA cos9 ,因为p= P2所以 v =二。2 A12A co 评点：在上述问题中，若不对物体A的运动认真分析，就很容易得出VA = v0 cos9的 错误结果；当物体A向左移动，0将逐渐变大，vA逐渐变大，虽然人做匀速运动，但物 体A却在做变速运动。*总结：解题流程：选取合适的连结点（该点必须能明显地体现出参与了某个分运动）； 确定该点合速度方向（物体的实际速度为合速度）且速度方向始终不变；确定该点合速 度的实际运动效果从而依据平行四边形定则确定分速度方向；作出速度分解的示意图，寻 找速度关系。二、拉力为变力，求解做功要正确理解例2.如图3所示，某人通过一根跨过定滑轮的轻绳提升一个质量为m的重物，开始时 人在滑轮的正下方，绳下端A点离滑轮的距离为H。人由静止拉着绳向右移动，当绳下端 到B点位置时，人的速度为v，绳与水平面夹角为0。问在这个过程中，人对重物做了多少 功？图3解析：人移动时对绳的拉力不是恒力，重物不是做匀速运动也不是做匀变速运动，故无 法用w = Fscos9求对重物做的功，需从动能定理的角度来分析求解。当绳下端由A点移到B点时，重物上升的高度为：H H （1 - sin 9） h =-H =sin 9sin 9重力做功的数值为：mgH （1 - sin 9） w =G sin 9当绳在B点实际水平速度为v时，v可以分解为沿绳斜向下的分速度七和绕定滑轮逆时 针转动的分速度v2，其中沿绳斜向下的分速度七和重物上升速度的大小是一致的，从图中 可看出：21v = v cos9以重物为研究对象，根据动能定理得： 1 。W人 - W = 2 mv2 - 0mgH（1 一 sin9） mv2 cos2 9WA =sin9+-【实际应用】小船渡河两种情况：船速大于水速；船速小于水速。两种极值：渡河最小位移；渡河最短时间。例3. 一条宽度为L的河，水流速度为v水，已知船在静水中速度为v船，那么：（1）怎样渡河时间最短？（2）若v船 v水，怎样渡河位移最小？（3）若v船 v水，怎样渡河船漂下的距离最短？解析：（1）小船过河问题，可以把小船的渡河运动分解为它同时参与的两个运动，一是 小船运动，一是水流的运动，船的实际运动为合运动。如图I所示。设船头斜向上游与河岸 成任意角0。这时船速在垂直于河岸方向的速度分量为v1 = v船sin9，渡河所需要的时间L L为t = 一 =: ，可以看出:L、v船一定时，t随sin0增大而减小;当9 = 90时，sin9 = 1v v sin 9船船L（最大）。所以，船头与河岸垂直t min =。船图4（2）如图5所示，渡河的最小位移即河的宽度。为了使渡河位移等于L,必须使船的合 速度v的方向与河岸垂直，即使沿河岸方向的速度分量等于0。这时船头应指向河的上游，v并与河岸成一定的角度。，所以有v船cos。= v水，即0 = arccos水。图5因为0 cos0 v水时，船才有可能垂直河岸渡河。（3）若v船 v水，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距离最 短呢？ 7如图6所示，设船头v船与河岸成。角。合速度v与河岸成a角。可以看出：a角越大， 船漂下的距离x越短，那么，在什么条件下a角最大呢？以v水的矢尖为圆心，v船为半径画v圆，当v与圆相切时，a角最大，根据cos0 =工v水图6船头与河岸的夹角应为0 = arccos船，船沿河漂下的最短距离为: v水，广气 7船 *0）- v in0船L Lv此时渡河的最短位移：s = =水cos0v船误区：不分条件，认为船位移最小一定是垂直到达对岸；将渡河时间最短与渡河位移最 小对应。【模型要点】处理“速度关联类问题”时，必须要明白“分运动”与“合运动”的关系：（1）独立性：一物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，各自产生效果（v分、s分）互不干扰。（2）同时性：合运动与分运动同时开始、同时进行、同时结束。（3）等效性：合运动是由各分运动共同产生的总运动效果，合运动与各分运动同时发生、 同时进行、同时结束，经历相等的时间，合运动与各分运动总的运动效果可以相互替代。功是中学物理中的重要概念，它体现了力对物体的作用在空间上的累积过程，尤其是变 力做功中更能体现出其空间积累的过程。所以在处理变力功可采用动能定律、功能原理、图 象法、平均法等。【模型演练】（2005祁东联考）小河宽为d，河水中各点水流速度大小与各点到较近河岸边的距离成正比，v = kx，k = 4：o，x是各点到近岸的距离，小船船头垂直河岸渡河，小船划水速 水d度为v0，则下列说法中正确的是（）A. 小船渡河的轨迹为曲线d .B. 小船到达离河岸-处，船渡河的速度为2voC. 小船渡河时的轨迹为直线D. 小船到达离河岸3d/4处，船的渡河速度为vTOv。答案：A