比例线段(一)

第四章第四章 图形的相似图形的相似4.1比例线段比例线段(一一)1.线段的比线段的比定义：在定义：在同一长度单位同一长度单位下，两条线段下，两条线段的长度的比叫做这两条线段的比。的长度的比叫做这两条线段的比。即如果用同一长度单位量得线段a、b的长度分别是m、n，那么a:b=m:n或ab=mn。在a:b或ab中，a叫比的前项，b叫比的后项已知已知 线段线段a、bab量得它们的长度a=2cm,b=3cm ，那么a、b两条线段的比就是它们长度的比。即 a:b=2:3或 ab=23 如果改用米、毫米作为线段的长度单位，那么a、b两条线段的比分别是：ab=0.02米0.03米=23 ab=20毫米30毫米23 注意注意:1.若若a:b=k,说明说明a是是b的的k倍。倍。2.两条线段的比与所采用的长度单位两条线段的比与所采用的长度单位 无关，但求比时两条线段的长度单无关，但求比时两条线段的长度单 位必须一致。位必须一致。3.两条线段的比值是一个没有单位两条线段的比值是一个没有单位的的 正数。正数。4.除了除了a=b外外,a:bb:a,ab与ba互为倒数互为倒数已知已知 线段线段a=2cm,b=30mm那那么么a,b两条线段的比是两条线段的比是对吗对吗?为什么为什么?ab=230=115 答答:不对不对.根据定义根据定义,在在同一长度单位同一长度单位下下,两条线段的长度的比叫做这两条两条线段的长度的比叫做这两条线段的比线段的比练习练习1:判断判断.练习练习2:(1)a=2m,b=0.4m;(2)a=6cm,b=6m;(3)a=50mm,b=6cm;(4)a=3m,b=10mm.求下列各题中求下列各题中 a:b 的值的值答答:(1)a:b=5(2)a:b=1:100(3)a:b=5:6(4)a:b=300 已知：A、B两地的实际距离AB=250m 画在地图上的距离 AB=5cm 求：图上距离与实际距离的比求：图上距离与实际距离的比例1(即该地图的比例尺即该地图的比例尺)解：解：AB=250m=25000cm BAB=525000=15000(即该地图的比例尺是即该地图的比例尺是1:5000)说明：说明：AB=5cm比例尺=图距实距答答:图上距离与实际距离的比是图上距离与实际距离的比是1:5000练习练习3.已知已知:一张地图的比例尺一张地图的比例尺1:32000000 量得北京到上海的图上距离大约量得北京到上海的图上距离大约为为3.5cm,求北京到上海的实际距离大约求北京到上海的实际距离大约是多少是多少km?解解:略略答答:北京到上海的实际距离大约北京到上海的实际距离大约 是是1120 km2.比例线段比例线段定义：在定义：在四条线段四条线段a,b,c,d中，如中，如果果a与与b的比等于的比等于c与与d的比，的比，即即ab=cd那么这四条线段那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段，简称叫做成比例线段，简称比例线段比例线段 已知线段已知线段a、b、c、d，如果，如果或或a:b=c:d，那么，那么a、b、c、d叫做成比叫做成比例线段。线段例线段。线段a、d叫比例叫比例外项外项，线段，线段b、c叫比例叫比例内项内项，线段，线段d叫叫a、b、c的的第四第四比例项比例项。ab=cd 如果作为比例内项的是相同的如果作为比例内项的是相同的线段，即线段，即 或或a:b=b:c，那么，那么线段线段b叫线段叫线段a、c的的比例中项比例中项。ab=bc说明说明：2.比例式中，项的次序不可任意改变。比例式中，项的次序不可任意改变。如如d是是a、b、c的第四比例项与的第四比例项与d是是b、c、a的第四比例项的意义是不同的。的第四比例项的意义是不同的。3.和一般的数构成的比例式不同，由线和一般的数构成的比例式不同，由线段构成的比例式的各项均为正数。段构成的比例式的各项均为正数。1.式子 ab=cd 或 a:b=c:d叫比例式比例式分别是ab=cd，bc=ad例例4 已知线段已知线段a=10mm,b=6cm c=2cm,d=3cm.问：这四条线段是否成比例？为什么问：这四条线段是否成比例？为什么?想一想想一想:是否还可以写出其他几是否还可以写出其他几组成比例的线段组成比例的线段.答：这四条线段成比例答：这四条线段成比例a=10mm=1cmdb=36=12即线段即线段a、c、d、b成比例成比例答:可以.如:ad=cbca=bdda=bc例例4 已知线段已知线段a=10mm,b=6cm c=2cm,d=3cm.想一想想一想:是否还可以写出其他几是否还可以写出其他几组成比例的线段组成比例的线段.等例例5.已知已知:ABC中中,D、E分别分别是是AB、AC的中点，那么线段的中点，那么线段AD、AB、DE、BC是否成比是否成比例线段？为什么？例线段？为什么？ABCDEAD=12ABADAB=12DE为ABC中位线DE=12BCDEBC=12ADAB=DEBCABCDE证明:D为AB中点答答:AD,AB,DE,BC成比例线段成比例线段AD,AB,DE,BC成比例线段成比例线段 现在有一棵很高的古树，欲测出现在有一棵很高的古树，欲测出它的高度，但又不能爬到树尖上去直它的高度，但又不能爬到树尖上去直接测量，你有什么好的方法吗？接测量，你有什么好的方法吗？例例6ABCABC 比如，量得树比如，量得树AB的影长的影长BC=20m，木杆长木杆长AB=1.5m，影长，影长BC=2.5m,求求:树树AB的高的高解解:在相同时刻的物高与影长成比例在相同时刻的物高与影长成比例ABBC=ABBC 即 AB20=1.52.5AB=3520=12(m)答答:树树AB的高为的高为12米米小结：小结：1.线段的比就是它们长度的比。注意线段的比就是它们长度的比。注意长度单位要一致。长度单位要一致。3.比例式中，项的次序不可任意改变。比例式中，项的次序不可任意改变。2.比例式ab=cd或a:b=c:d中，a、d叫比例外项 b、c叫比例内项,d叫第四比例项。特别的，在比例式中，两个比例内项相同时 即ab=bc 或 a:b=b:c,b叫a、c的比例中项。已知：在RtABC中，C90，斜边AB=4求：ABBC,ACABCAB例2想一想：想一想：AB=4这个条件如果去掉，此这个条件如果去掉，此题能不能做？题能不能做？AB30 4解：RtABC中，BC=12AB=2 AC=AB2-BC2=2 3ABBC=42=2,ACAB=2 34=32ABABC30 422 3ABC解:RtABC中,BC=12AB设 BC=X 则 AB=2XAC=AB2-BC2=3X30 2x1x3xABBC=2xx=2 ACAB=3X2X=32例例3 求正方形的边长与对角线的比求正方形的边长与对角线的比ADBC已知已知:正方形正方形ABCDBD是对角线是对角线求求:AB:BDABCD是正方形 AB=AD=XBD=AB2+AD2=2X解:设正方形边长为XABBD=X2X=12=22ADBCx2xx说明：由上面两题可知说明：由上面两题可知1.有一锐角是有一锐角是30 的直角三角形中的直角三角形中,三边三边(从小到大从小到大)的比是的比是1:3:22.等腰直角三角形中等腰直角三角形中,三边三边(从小到从小到大大)的比是的比是1:1:23x2xxxx2x30 练习练习4:求等边三角形的高与边长的比求等边三角形的高与边长的比ABCD已知已知:等边三角形等边三角形ABC求求:AD:AB解解:略略AD:AB=3:2ADBC于于D30 3xx2x练习练习5:ABCDE30 2x3xx已知:如图 在菱形ABCD中,解:略 ACBD=AEBE=3 4.特殊图形特殊图形(1).有一锐角是有一锐角是30 的直角三角形中的直角三角形中,三边三边(从小到大从小到大)的比是的比是1:3:2(2).等腰直角三角形中等腰直角三角形中,三边三边(从小从小到到大大)的比是的比是1:1:23x2xxxx2x30