电子线路：第4章 随机变量的数字特征

1关键词：数学期望方差协方差相关系数第4章 随机变量的数字特征2问题的提出：在一些实际问题中，我们需要了解随机变量的分布函数外，更关心的是随机变量的某些特征。例：在评定某地区粮食产量的水平时，最关心的是平均产量；在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的偏离程度；考察武汉市区居民的家庭收入情况，我们既需要知道家庭的年平均收入，又要研究贫富之间的差异程度；1 数学期望 例1：甲、乙两人射击比赛，各射击100次，其中甲、乙的成绩 如下：评定他们的成绩好坏。甲次数1080108910乙次数20651589108 109 80 10 1010801089109100100100100 8 209 65 10 1520651589108.95100100100100 1080108910100100100对于甲来说,、分别是 环、环、环的概率；2065158910100100100对于乙来说,、分别是 环、环、环的概率；解：计算甲的平均成绩：计算乙的平均成绩：所以甲的成绩好于乙的成绩。用概率加权的计算平均值，就得到了数学期望，也称均值。4定义：定义：111()1,2,kkkkkkkkkkkXP Xxpkx pXE Xx pE Xx p绝对收设离散型随机变量 的分布律为：若级数则称级数的和为随机变量的，数学期记望为即 敛，,0!keXP Xkkk的分布律为：()E X由上节例5已算得22 ()()()D XE XE X所以即泊松分布的均值与方差相等，都等于参数2()E X而(1)()E X XE X(1)E X XX222(2)!kkek0(1)!kkek kk22e e()()XD X。设，求 26 例4：(,)()XU a bD X。设，求22()()E Xx f x dx22()()()D XE XE X1 ()0 axbbaf x其他()2abE X上节例6已算得：21baxdxba333()baba223abab2222234abababab2()12ba解：X的概率密度为：27 例5：设随机变量X服从指数分布，其概率密度为：1 0()0(),()0 0 xexf xE XD Xx。，求()()E Xxf x dx解：即对指数分布而言，方差是均值的平方，而均值恰为参数即对指数分布而言，方差是均值的平方，而均值恰为参数01xxedx00|xxxeedx 22()()E Xx f x dx201xxedx2200|22xxx exedx22()()()D XE XE X于是 222228方差的性质：22,()()()X Ya b cD aXbYca D Xb D Y综合上述三项，设相互独立，是常数，则()0CD C 1.设 是常数，则2()()XCD CXC D X2.设 是随机变量，是常数，则有,()()()2()(),()()()X YD XYD XD YEXE XYE YX YD XYD XD Y3.设是两个随机变量，则有 特别，若相互独立，则有4.()0()1 ()D XP XCCE X且29证明：21.()()0D CECE C22222222222.()()()()()()()()D CXE CXE CXC E XCE XCE XE XC D X22223.()()()()()()()2()()()()2()()D XYEXYE XYEXE XYE YEXE XEYE YEXE XYE YD XD YEXE XYE Y4.证略。,()()()()()()0()()()X YXE XYE YEXE XYE YE XE XE YE YD XYD XD Y当相互独立时，与相互独立故所以30 例6：(,)(),()Xb n pE XD X。设，求1 1,2,0 kAkXknAk在第 次试验发生在第 次试验不发生Xkpk011-pp12 nXXXX易知：11()()()nniiiiE XEXE Xnp故知：()()(1)E XnpD Xnpp即，11()()()(1)nniiiiD XDXD XnppXnAp。解：随机变量 是 重伯努利试验中事件 发生的次数，设P(A)=引入随机变量：12,0 1nXXX于是相互独立，服从同一分布：,0 1n pnp以为参数的二项分布变量，可分解为 个相互独立且都服从以 为参数的分布的随机变量之和。例7：解：2(,)(),()XNE XD X。设，求XZ先求标准正态变量的数学期望和方差221()2tZte的概率密度为：221()02tE Ztedt于是 22()(),()()()XZE XEZD XDZD Z因为，故2()()D ZE Z22212tt edt222211|122ttteedt 2,即正态分布的两个参数分别是该分布的数学期望和方差。012121222222220111122(,)1,2,(,)nnnnnniiinCC XC XC XN CXNinCCCCCCCC若且它们相互则它们的线性组合独立是不全：为0的常数(1,3)(2,4),23(4,48)XNYNX YZXYN如:，且相互独立，则n独立的 个正态变量的线性组合仍服从正态分布：33例8：设活塞的直径(以cm计)汽缸的直径 X,Y相互独 立，任取一只活塞，任取一只汽缸，求活 塞能装入汽缸的概率。2(22.40,0.03),XN2(22.50,0.04),YN()(0)P XYP XY解：按题意需求2(0.10,05)0.XYN由于()(0)P XYP XY故有0(0.10)()0.05(2)0.977234表1 几种常见分布的均值与方差数学期望 方差 分布率或分布率或 密度函数密度函数 分布分布01分布分布 p p(1-p)二项分布二项分布b(n,p)npnp(1-p)泊松分布泊松分布 均匀分布均匀分布U(a,b)指数分布指数分布正态分布正态分布1()(1)0,1kkP Xkppk1()(1)0,1,.,kkknP XkC ppkn()()!0,1,.,kP Xkekk1(),()0,baaxbf x其它a+b22(b-a)12()EP,0()0,xexf x其它1212(,)N 22()21()2xf xex 2353 协方差及相关系数 对于二维随机变量(X,Y)，除了讨论X与Y的数学期望和方差外，还需讨论描述X与Y之间相互关系的数字特征。这就是本节的内容。定义：()()(,)(,)()().(,)()()XYXYEXE XYE YXYCov X YCov X YEXE XYE YCov X YD X D YXY量称为随机变量 与 的协方差，记为：，即称为随机变量 与 的相关系数.是一个无量纲的量36协方差的性质：(,)?()?Cov aXbY cXdYD aXbY22()()()(,)()()2(,)acD XbdD Yadbc Cov X Ya D Xb D YabCov X Y答案：思考题：思考题：(,)(,)(,)()1.Cov X YCov Y XCov X XD X，(,2.)()()()Cov X YE XYE X E Y (,)(,),3.Cov aX bYabCov X Ya b是常数1212 (,)(,)(,4.)Cov XXYCov X YCov XY37 1,()12.110 0XYXYXYa bP YabXbb 存在常数，使 特别的，时，；时，相关系数的性质：1.1XY,XYX Y相关系数是一个用来表征之间线性关系紧密程度的量00(,),XYe a bX Y当较大时，较小，表明线性关系的程度较好；001(,)0,XYe a bX Y当时，表明之间以概率1存在线性关系；00(,),XYe a bX Y当较小时，较大，表明线性关系的程度较差；380 XYXYXYXY定义：，称 与 不相关注意，与 不相关，只是对于线性关系而言的与 相互独立是就一般关系而言的0XYXY随机变量 与 不相关，即的等价条件有：1.(,)0Cov X Y 2.()()()E XYE X E Y3.()()()D XYD XD YXYXYXYXY从而可知，当 与 相互独立与 一定不相关反之，若 与 不相关，与 却不一定相互独立39 例1：设X,Y 服从同一分布，其分布律为：X -1 0 1 P 1/4 1/2 1/4 已知P(X =|Y|)=0,判断X和Y是否不相关？是否 不独立？.,10111 401 211 41 41 21 4jiX YXYpp解：先求的联合分布率：000001 41 41 41 440()(1)1 40 1 2 1 1 40()(1)(1)1 4(1)1 1 41(1)1 4 1 1 1 40E XE XY (,)0,OVYCX YX所以，与即不相关.(1,1)0,(1)(1)1 4 1 4P XYP XP Y (1,1)(1)(1)P XYP XP YXY 所，与以不独立。41 21222112222212122(,)1 (,)21()()()()1exp22(1)X Yf x yxxyyXYXYXY 例：设服从二维正态分布，它的概率密度为：求 和 的相关系数，并证明 与 相互独立与 不相关,X Y解：由于的边缘概率密度为：121()2211()2XXfxex ；222()2221()2YYfyey 续续221122(),()(),()E XD XE YD Y所以；4212(,)()()Cov X YEXY而12()()(,)xyf x y dxdy 121()221221222212212()()2211()2(1)Xxyedxexpyxdy 121()221221211()()2Xxexdx 121()2222111()2Xxedx 221121(,)()()XYCov X YD XD Y于是续43(,),X YX YX Y即二维正态变量的概率密度中的参数就是的相关系数，因而二维正态变量的分布完全可由各自的均值、方差以及它们的相关系数所确定。(,)0(,)XYXYXYX YXYX Y若服从二维正态分布，那么 和 相互独立现在知道，从而和 不相知：对于二维正态变量来关，与说相互独立44 例3：设X,Y相互独立服从同一分布，记U=X-Y,V=X+Y,则随机变量U与V是否一定不相关，是否一定独立？,(,)(,)()()0VCOV U VCOV XY XYD XD YUV解：先求U的协方差：所以，与 一定不相关。1UVXYUV当与 不一定独立。举例如下：（）设 与 独立，服从正态分布，则（，）也服从正态分布，对于二维正态分布，独立与不相关等价，从而U与V独立。2(1,1 2),(0 1)(1,0)(1,0)0(1)(1)(1,0)1 4,(0)(0)(0,0)1 4,(1,0)(1)(0)XbP UVP XYXYP UP XYP XYP VP XYP XYP UVP UP VU（）即分布）所以与V不独立。454 矩、协方差矩阵 XY定义：设 和 是随机变量()1,2,()kkE XkX若存在，则阶 原它为 的点称矩；()1,2,kkEXE XkX若存在，则称它为 的 阶中心矩；,1,2,klE X Yk llXYk若存在 存在，则称它为 和 的阶混合矩；()(),1,2,klEXE XYE YkklXlY若存在，阶 则称它为的混合中心矩；显然，最常用到的是一、二阶矩461211212212(,)()(,)(,)(,)()XXD XCov XXXXCov XXD X协方差矩阵定义：设二维随即变量的四个二阶中心矩存在，将它们排成矩阵：，称为的协方差矩阵。12112121221212(,)(,),1,2,()(,)(,)(,)()(,)(,)(,)()(,)nijnnnnnnnXXXCov XXi jnD XCov XXCov XXCov XXD XCov XXCov XXCov XXD XnXXX设维随机变量，都存在，称矩阵为 维随即变量的协方差矩阵，协方差矩阵是一个对称矩阵。利用协方差矩阵，可由二维正态变量的概率密度推广，得到n维正态变量的概率密度。122211112222122222121212(,)()()()()11(,)exp22(1)21XXxxxxf x x 已知服从二维正态分布，其概率密度为：1122,XXX引入列向量：，2112122122(,)XXC 的协方差矩阵为：22212(1)C 它的行列式为 2121221211CCC 的逆矩阵为2121221221111 122121112221112122(,)()()=,()11(,)()()2(,)(,)2)nnnnnnnTnnXXXXE XXE XXXE XfCXXXXXx xxexXpXCXC上式容易推广到 维正态变量的情况引入列向量：是的协方差矩阵,的概率密度定义为：12221121211(,)(,)exp()()2(2)TXXf x xXCXC于是的概率密度可写成：22111222221212()()()()1()()21TXXYYXCX 经计算，49n维正态变量具有以下四条重要性质：121212(,),1,2,(,)1.ninnnXXXX inXXXXXXn维正态变量的每一个分量都是正态变量；反之，若都是正态变量，且相互独立，则是 维正态变量；12121122122.(,),nnnnnnXXXnXXXl Xl Xl Xl ll维随机变量服从 维正态分布的任意线性组合服从一维正态分布其中不全为零121212(,),(1,2,),3.)nkjkXXXnY YYXjnY YY若服从 维正态分布，设是的线性函数，则(也服从多维正态分布；这一性质称为正态变量的线性变换不变性121212(,),4.nnnXXXnXXXXXX设服从 维正态分布，则相互独立两两不相关