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第十五讲第十五讲 二重积分的计算二重积分的计算1 概念概念2 直角坐标系二重积分直角坐标系二重积分3 极坐标系二重积分极坐标系二重积分柱体体积柱体体积=底面积底面积高高特点：平顶特点：平顶.柱体体积柱体体积=？特点：曲顶特点：曲顶.),(yxfz D曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积一、问题的提出一、问题的提出播放播放 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、求和分割、求和、取极限的方法，如下动画演示、取极限的方法，如下动画演示步骤如下：步骤如下：用若干个小平用若干个小平顶柱体体积之顶柱体体积之和近似表示曲和近似表示曲顶柱体的体积，顶柱体的体积，xzyoD),(yxfz i),(ii先分割曲顶柱体的底，先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，并取典型小区域，.),(lim10iiniifV 曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积如果当各小闭区域的直径中的最大值如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数时，这和式的极限存在，则称此极限为函数),(yxf在闭区域在闭区域 D D 上的上的二重积分二重积分，记为记为 Ddyxf),(，即即 Ddyxf),(iiniif ),(lim10.(1)在在二二重重积积分分的的定定义义中中，对对闭闭区区域域的的划划分分是是任任意意的的.(2)当当),(yxf在在闭闭区区域域上上连连续续时时，定定义义中中和和式式的的极极限限必必存存在在，即即二二重重积积分分必必存存在在.对二重积分定义的说明：对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值负值 在直角坐标系下用平在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划行于坐标轴的直线网来划分区域分区域D，DDdxdyyxfdyxf),(),(dxdyd 故二重积分可写为故二重积分可写为xyo则面积元素为则面积元素为性质性质当当 为常数时，为常数时，k.),(),(DDdyxfkdyxkf 性质性质 Ddyxgyxf),(),(.),(),(DDdyxgdyxf （二重积分与定积分有类似的性质）（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质三、二重积分的性质性质性质对区域具有可加性对区域具有可加性.),(),(),(21 DDDdyxfdyxfdyxf 性质性质 假设假设 为为D D的面积，的面积，.1 DDdd 性质性质 若在若在D D上上),(),(yxgyxf.),(),(DDdyxgdyxf 特殊地特殊地.),(),(DDdyxfdyxf )(21DDD 则有则有 设设M、m分别是分别是),(yxf在闭区域在闭区域 D 上的上的最大值和最小值，最大值和最小值，为为 D 的面积，则的面积，则性质性质 设设函函数数),(yxf在在闭闭区区域域D上上连连续续，为为D的的面面积积，则则在在 D 上上至至少少存存在在一一点点),(使使得得性质性质（二重积分中值定理）（二重积分中值定理）DMdyxfm),(),(),(fdyxfD（二重积分估值不等式）（二重积分估值不等式）如果积分区域为：如果积分区域为：,bxa ).()(21xyx 其中函数其中函数 、在区间在区间 上连续上连续.)(1x)(2x,ba一、利用直角坐标系计算二重积分一、利用直角坐标系计算二重积分X型型)(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy 为为曲曲顶顶柱柱体体的的体体积积为为底底，以以曲曲面面的的值值等等于于以以),(),(yxfzDdyxfD 应用计算应用计算“平行截平行截面面积为已知的立面面积为已知的立体求体积的方法体求体积的方法,a0 xbzyx)(0 xA),(yxfz)(1xy)(2xy.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf 得得.),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf 如果积分区域为：如果积分区域为：,dyc ).()(21yxy Y型型)(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx D X X型区域的特点：型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于y y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.Y Y型区域的特点：穿过区域且平行于型区域的特点：穿过区域且平行于x x轴的直线与区域边界相交不多于两个交轴的直线与区域边界相交不多于两个交点点.若区域如图，若区域如图，3D2D1D在分割后的三个区域上分别在分割后的三个区域上分别使用积分公式使用积分公式.321 DDDD则必须分割则必须分割.xy 1例例 1 1 改改变变积积分分 xdyyxfdx1010),(的的次次序序.原原式式 ydxyxfdy1010),(.解解积分区域如图积分区域如图xy 222xxy 例例 2 2 改改变变积积分分 xxxdyyxfdxdyyxfdx20212010),(),(2的的次次序序.原式原式 102112),(yydxyxfdy.解解积分区域如图积分区域如图例例 3 3 改变积分改变积分)0(),(20222 adyyxfdxaaxxax 的次序的次序.axy2 解解=ayaaaydxyxfdy02222),(原式原式 aayaadxyxfdy0222),(.),(2222 aaaaydxyxfdy22xaxy 22yaax a2aa2a例例 4 4 求求 Ddxdyyx)(2，其其中中D是是由由抛抛物物线线2xy 和和2yx 所所围围平平面面闭闭区区域域.解解两曲线的交点两曲线的交点),1,1(,)0,0(22 yxxy Ddxdyyx)(2 1022)(xxdyyxdxdxxxxxx)(21)(42102 .14033 2xy 2yx 2xy 2yx 二重积分在直角坐标下的计算公式二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次序）（在积分中要正确选择积分次序）二、小结二、小结.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf .),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf Y型型X型型设设)(xf在在1,0上上连连续续，并并设设Adxxf 10)(，求求 110)()(xdyyfxfdx.思考题思考题 1)(xdyyf不不能能直直接接积积出出,改改变变积积分分次次序序.令令 110)()(xdyyfxfdxI,思考题解答思考题解答则原式则原式 ydxyfxfdy010)()(.,)()(010 xdyyfdxxf故故 110)()(2xdyyfdxxfI xdyyfdxxf010)()()()()(1010dyyfdxxfxx .)()(21010Adyyfdxxf AoDiirr iirrriiiiiiiiirrr 2221)(21iiiirrr )2(21iiiiirrrr 2)(,iiirr .)sin,cos(),(DDrdrdrrfdxdyyxf 二、利用极坐标系计算二重积分二、利用极坐标系计算二重积分.)sin,cos()()(21 rdrrrfd ADo)(1 r)(2 r Drdrdrrf )sin,cos(二重积分化为二次积分的公式）二重积分化为二次积分的公式）区域特征如图区域特征如图,).()(21 r区域特征如图区域特征如图,).()(21 r.)sin,cos()()(21 rdrrrfd Drdrdrrf )sin,cos(AoD)(2r)(1rAoD)(r.)sin,cos()(0 rdrrrfd二重积分化为二次积分的公式）二重积分化为二次积分的公式）区域特征如图区域特征如图,).(0 r Drdrdrrf )sin,cos(Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()(020 rdrrrfd极坐标系下区域的面积极坐标系下区域的面积.Drdrd 二重积分化为二次积分的公式）二重积分化为二次积分的公式）区域特征如图区域特征如图).(0 rDoA)(r,2 0例例1 1 写写出出积积分分 Ddxdyyxf),(的的极极坐坐标标二二次次积积分分形形式式，其其中中积积分分区区域域,11|),(2xyxyxD 10 x.1 yx122 yx解解在极坐标系下在极坐标系下 sincosryrx所所以以圆圆方方程程为为 1 r,直直线线方方程程为为 cossin1 r,Ddxdyyxf),(.)sin,cos(201cossin1 rdrrrfd例例 2 2 计算计算dxdyeDyx 22，其中，其中 D 是由中心在是由中心在原点，半径为原点，半径为a的圆周所围成的闭区域的圆周所围成的闭区域.解解在在极极坐坐标标系系下下D：ar 0，20.dxdyeDyx 22 arrdred0202).1(2ae 例例 5 5 计计算算二二重重积积分分 Ddxdyyxyx2222)sin(,其其中中积积分分区区域域为为41|),(22 yxyxD.解解由由对对称称性性，可可只只考考虑虑第第一一象象限限部部分分，注注意意：被被积积函函数数也也要要有有对对称称性性.Ddxdyyxyx2222)sin(4 12222)sin(Ddxdyyxyx 210sin42rdrrrd.4 14DD 1D二重积分在极坐标下的计算公式二重积分在极坐标下的计算公式（在积分中注意使用对称性）（在积分中注意使用对称性）二、小结二、小结 Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()()(21 rdrrrfd.)sin,cos()(0 rdrrrfd.)sin,cos()(020 rdrrrfd 交交换换积积分分次次序序:).0(),(cos022 adrrfdIa思考题思考题,cos022:arDoxy思考题解答思考题解答 cosar Daararccos ararccos .),(arccosarccos0 araradrfdrI
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