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1234例例3.设设,)(2xyxy解解:令,tyx求积分.d31xyxxyxy2)(即txy,123ttx,12tty而ttttxd)1()3(d2222 1原式ttttd)1()3(2222123tt132tttttd12Ct1ln221Cyx1)(ln2215.)0(13 ,13 323的渐近线求曲线kttkyttkx1lim33limlim121ttktkxyttx1a ,1 yxt由于所以,该曲线无水平渐近线和垂直渐近线.)1(limxyxktttkt13lim21kb .kxy故曲线有斜渐近线解解672)(d)(dyyy.)0,(dd ,1dd 322 yyyyyxyyx导出试从解解由复合函数及反函数的求导法则,得)()(1dddddddd22yyyxyyx2)(ddd)(dyyxxy3)(yy 例例11.dd ,22的导数对是的导数对是与yxyxxyyy 89高等院校非数学类本科数学课程10第九章 常微分方程本章学习要求：n了解微分方程、解、通解、初始条件和特解的概念.n了解下列几种一阶微分方程：变量可分离的方程、齐次方 程、一阶线性方程、伯努利（Bernoulli）方程和全微分 方程.熟练掌握分离变量法和一阶线性方程的解法.n会利用变量代换的方法求解齐次方程和伯努利方程.n知道下列高阶方程的降阶法：.)()(xfyn),(yxfy ),(yyfy n了解高阶线性微分方程阶的结构，并知道高阶常系数齐线 性微分方程的解法.n熟练掌握二阶常系数齐线性微分方程的解法.n掌握自由项（右端）为多项式、指数函数、正弦函数、余 弦函数以及它们的和或乘积的二阶常系数非齐线性微分方 程的解法.11 微分方程是精确表示自然科学中各种基本定律和各种问题的基本工具之一。现代建立起来的自然科学和社会科学中的数学模型大多都是微分方程。12 在许多物理、力学、生物等现象中，不能直接找到联系所研究的那些量的规律，但却容易建立起这些量与它们的导数或微分间的关系。含有未知函数的导数（或微分）的关系式。比如比如：物质在一定条件下的运动变化，要：物质在一定条件下的运动变化，要寻求寻求它的运它的运动、变化的动、变化的规律规律；某个物体在重力作用下自由下落，；某个物体在重力作用下自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律；火箭在发动机推要寻求下落距离随时间变化的规律；火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行的轨道，等等。动下在空间飞行，要寻求它飞行的轨道，等等。13 第一节 微分方程的基本概念常微分方程方程的阶数线性方程、非线性方程方程的解、通解、特解、所有解初始条件（定解条件）积分曲线（解的几何意义）初值问题、初值问题的解齐次方程、非齐次方程14常微分方程含有未知函数的导数（或微分）的方程，称为微分方程。未知函数可以不出现，但其导数一定要出现。未知函数为一元函数的微分方程，称为常微分方程。未知函数为多元函数的微分方程，称为偏微分方程。152 d dxtx 例xcyxybxysindddd220dd2xyyx322ddtxtx常微分方程常微分方程),(222222zyxfzuyuxu偏微分方程偏微分方程16常微分方程的阶数微分方程中所出现的未知函数的导数（或微分）的最高次数，称为微分方程的阶数。2 d dxtxxcyxybxysindddd22322ddtxtx一阶二阶二阶一阶一阶17线性方程、非线性方程若一个方程对未知函数及其导数的全体而言是一次的，且系数只与自变量有关（与未知函数及其导数无关），则称该方程为线性方程，否则，称之为非线性方程。)()(dy dxqyxpxxcyxybxysindddd22322ddtxtx一阶一阶二阶二阶一阶一阶线性线性线性线性非线性非线性18齐次方程、非齐次方程在方程中，不含未知函数及其导数的项，称为自由项。自由项为零的方程，称为齐次方程。自由项不为零的方程，称为非齐次方程。2 d dyxyxcyxybxysindddd22322ddtxtx一阶齐次线性方程一阶齐次线性方程二阶非齐次线性方程二阶非齐次线性方程一阶非齐次非线性方程一阶非齐次非线性方程19微分方程的一般表示形式微分方程的一般表示形式 为为阶微分方程的一般形式阶微分方程的一般形式n 0),()(。nyyyyxF 0sindddd),(22。xcyxybxyyyyxF20方程的解、通解、特解、所有解方程的解、通解、特解、所有解能使微分方程成为恒等式的函数，称为方程的解。能使微分方程成为恒等式的函数，称为方程的解。如果如果 n 阶微分方程的解中含有阶微分方程的解中含有n 个相互独立的任意个相互独立的任意常数，则称此解为常数，则称此解为 n 阶微分方程的通解。阶微分方程的通解。一般说来，不含有任意常数的解，称为方程的特解。一般说来，不含有任意常数的解，称为方程的特解。通常由一定的条件出发，确定方程通解中的任意常通常由一定的条件出发，确定方程通解中的任意常数来得到特解。但有些特解不能由通解求出，必须利用数来得到特解。但有些特解不能由通解求出，必须利用其它方法直接由方程解出。其它方法直接由方程解出。所有解通解不能包含在通解内的所有特解。所有解通解不能包含在通解内的所有特解。21 例 sincos 为微分方程的解：为微分方程的解：验证函数验证函数axaxy )0(02。为常数为常数 ayay解解,cossinaxaaxay),sin(cossincos222axaxaaxaaxay 代入方程，得代入方程，得 0,)sincos()sincos(222 axaxaaxaxayay sincos 为此微分方程的解。为此微分方程的解。故函数故函数axaxy22初始条件（定解条件）初始条件（定解条件）由自然科学、社会科学以及数学本身建立微由自然科学、社会科学以及数学本身建立微分方程时，往往同时知道微分方程的解应满足某分方程时，往往同时知道微分方程的解应满足某些已知的条件。这些已知条件就称为微分方程的些已知的条件。这些已知条件就称为微分方程的初始条件或定解条件。初始条件或定解条件。常微分方程常微分方程初始条件初始条件称为初值问题（柯西问题）称为初值问题（柯西问题）23 例1解解处上任意一点的平面曲线设通过点),()2 ,1(0yxMLM.2 的方程，求此曲线的切线的斜率为Lx，则有设曲线的方程为)(xyy .2ddxxy应满足条件此外，函数)(xyy，2)(1xxy)1(积分，得式两边关于将 )1(xCxxxy2d2)2()3(，得代入将)3()2(,1C 故所求的曲线方程为12 xy微分方程微分方程初始条件初始条件通解通解特解特解24 例1解解处上任意一点的平面曲线设通过点),()2 ,1(0yxMLM .2 的方程，求此曲线的切线的斜率为Lx，则有设曲线的方程为)(xyy .2ddxxy应满足条件此外，函数)(xyy，2)(1xxy)1(积分，得式两边关于将 )1(xCxxxy2d2)2()3(，得代入将)3()2(,1C 故所求的曲线方程为12 xy微分方程微分方程初始条件初始条件通解通解特解特解Cxxxy2d212 xy有何想法？有何想法？25积分曲线（解的几何意义）积分曲线（解的几何意义）常微分方程解的几何图形称为它的积分曲线。常微分方程解的几何图形称为它的积分曲线。通解的图形是一族积分曲线。通解的图形是一族积分曲线。特解是这族积分曲线中过某已知点的那条曲线。特解是这族积分曲线中过某已知点的那条曲线。12 xyxyOCxy2)2 ,1(0M26例例2.列车在平直路上以sm20的速度行驶,制动时获得加速度,sm4.02a求制动后列车的运动规律.解解:设列车在制动后 t 秒行驶了s 米,已知4.0dd22ts,00ts200ddtts由前一式两次积分,可得2122.0CtCts利用后两式可得0,2021CC因此所求运动规律为tts202.02说明说明:利用这一规律可求出制动后多少时间列车才能停住,以及制动后行驶了多少路程.即求 s=s(t).27 例4解解?04d 222的解是否为微分方程函数ydtyeyx28 例5解解 .,212求此微分方程微分方程的通解为xCey 22xCxey 212 yCex)21(2yxy 12xyy 12xyy29求该曲线所满足的微分方程.例例.已知曲线上点 P(x,y)处的法线与 x 轴交点为 QPQxyox解解:如图所示,yYy1)(xX 令 Y=0,得 Q 点的横坐标yyxX,xyyx即02 xyy点 P(x,y)处的法线方程为且线段 PQ 被 y 轴平分,30 在求微分方程数值解时，往往需要研究解的存在性、在求微分方程数值解时，往往需要研究解的存在性、唯一性和稳定性。唯一性和稳定性。参考书：参考书：由北京大学、复旦大学、中山大学编写的由北京大学、复旦大学、中山大学编写的常微分方程常微分方程均可。均可。微分方程的解不一定都能用初等函数表示出来。微分方程的解不一定都能用初等函数表示出来。此时可求数值解此时可求数值解31常微分方程的初等方法介绍常微分方程的解法分离变量法常数变易法积分因子法变量代换法降阶法高阶线性常系数微分方程解法特征值法变量代换法32第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程33)()(ddygxfxy变量可分离方程变量可分离方程 xyfxydd齐次方程齐次方程222111ddcybxacybxafxy可化为齐次方程的方程可化为齐次方程的方程0)(ddyxpxy一阶线性齐方程一阶线性齐方程)()(ddxqyxpxy一阶线性非齐方程一阶线性非齐方程nyxqyxpxy)()(dd伯努利方程伯努利方程34)()(ddygxfxy变量可分离方程变量可分离方程 xyfxydd齐次方程齐次方程0)(ddyxpxy一阶线性齐方程一阶线性齐方程)()(ddxqyxpxy一阶线性非齐方程一阶线性非齐方程nyxqyxpxy)()(dd伯努利方程伯努利方程)()(ddygxfxy变量可分离方程变量可分离方程 222111ddcybxacybxafxy可化为齐次方程的方程可化为齐次方程的方程35一、变量可分离方程一、变量可分离方程如果一阶微分方程可以化为下列形式：如果一阶微分方程可以化为下列形式：xxfyygd)(d)(则称原方程为变量可分离的方程。则称原方程为变量可分离的方程。运用积分方法即可求得变量可分离方程的通解：运用积分方法即可求得变量可分离方程的通解：xxfyygd)(d)(其中其中C 为积分后出现的任意常数。为积分后出现的任意常数。),(。就是原方程的通解就是原方程的通解积分的结果积分的结果Cxyy 将一个方程化为变量分离方程并求出其通解的过程，将一个方程化为变量分离方程并求出其通解的过程，称为分离变量法。称为分离变量法。36 例解解 ),(11 002的特解。的特解。的通解，并指出过点的通解，并指出过点求方程求方程yxxy原方程即原方程即 ,1dd2xxy对上式两边积分，得原方程的通解对上式两边积分，得原方程的通解Cxy arctan )(。x，故，故时，时，当当00 yyxx arctan00，xyC的特解为的特解为从而，过点从而，过点),(00yx arctanarctan00。xyxy37 例解解 )1(21dd 2。求解微分方程求解微分方程yxy 01 2分离的方程分离的方程时，该方程可化为变量时，该方程可化为变量当当y d1d22，xyy对上式两边积分，得原方程的通解对上式两边积分，得原方程的通解 11ln1。Cxyy经初等运算可得到原方程的通解为经初等运算可得到原方程的通解为 11。xxCeCey)(1CeC38 1 01 2，代入原方程可知：，代入原方程可知：，得出，得出令令yy 1 也是原方程的解。也是原方程的解。y 1 0 1，所以，所以，对应于对应于；对应于对应于由于由于CyCy原方程的解为原方程的解为 11，xxCeCey )(。为任意常数为任意常数C39 例解解 0d)1(d)1(2的通解。的通解。求方程求方程yxyxy，得，得方程两边同除以方程两边同除以)1)(1(2yx 01d1d2。yyxx两边同时积分，得两边同时积分，得|ln|1|ln21|1|ln2，Cyx|1|1|2。即即Cyx故所求通解为故所求通解为 11 2。yCx 因为只因为只求通解，所求通解，所以不必再讨以不必再讨论了。论了。40 例解解 2dd 。的所有解的所有解求方程求方程yxy原方程即原方程即。)0(d2dyxyy两边积分，得两边积分，得 ，Cxy故通解为故通解为 )(2。Cxy 0 被包含在通解内。被包含在通解内。也是方程的解，但它不也是方程的解，但它不易验证易验证y 0 为方程的奇解此时称y 工程技术中工程技术中解决某些问题时，解决某些问题时，需要用到方程的需要用到方程的奇解。奇解。41作业P323 1，2，3大题奇数小题4243
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