软测量实例：最小二乘法线性拟合题目

最小二乘法就是将一组符合 Y=a+bX 关系的测量数据，用计算的方法求出最佳的 a 和b。显然，关键是如何求出最佳的a和b。(1) 求回归直线 设直线方程的表达式为：y = a + bx(2-6-1)要根据测量数据求出最佳的a和b。对满足线性关系的一组等精度测量数据(x，y)，i i假定自变量X的误差可以忽略，则在同一 x下，测量点y和直线上的点a+bx的偏差diiiii如下：d = y - a - bx111d = y - a - bx222d = y - a - bxn n n显然最好测量点都在直线上(即d=d=d =0)，求出的a和b是最理想的，但1 2 n测量点不可能都在直线上，这样只有考虑dd2、dn为最小，也就是考虑d+d2+d为最小，但因d、d、d有正有负，加起来可能相互抵消，因此不可取；而|d | +n12n1| d | +| d |又不好解方程，因而不可行。现在采取一种等效方法：当d 2+d 2+d 22n12n对a和b为最小时，d、d、d也为最小。取(d 2+d 2+d 2)为最小值，求a12n12n和 b 的方法叫最小二乘法。D = d 2i i=1=D =工 d 2i i=1艺y. -a-bx 2ii i=1(2-6-2)D对a和b分别求一阶偏导数为:=工 2 (y - a - bx )(-1) = -2Xy daiiii=1i=1- na - b 工 x ii=1罟=2 (叮 a-bx)(-1)x =i=1再求二阶偏导数为2工 x y - a 艺 x - bK x 2iiii=1i=1ii=1d 2 Dda2巴=2工x 2db 2ii=1显然：= 2n 0 ；da2少=2工x 2 0db 2ii=1则：y - a - bx 0xy - ax - bx 2 0（2-6-5）解得：a y - bx（2-6-6）b xyxy（2-6-7）b2x 2 - x 2b 值带入线性方程 y a + bx，即得到回归直线方程。将 a 、满足最小值条件，令一阶偏导数为零：yy -na-byx 0iii 1i 1（2-6-3）引入平均值：yx y -aiii1工 x - bH x 2 0iii 1i 1（2-6-4）X 为x ；nii1-丄工y；nii1-i yX 2 X 2 ；nii1xy 丄工x yn i i i1R例9：灵敏电流计的电流常数K和内阻R的测量公式为R -U - R测得的ig2 K Rd gi1数据同例7,其中间处理过程如下，试用最小二乘法求出K和R,并写出回归方程的表 ig达式。解：测量公式与线性方程表达式y = a+bx比较：y R2 xUb RKRdi1数据处理如表 2-6-3表 2-6-3i12s45678平均值R =0.100Q R =4350.0Qd=40.0mmR (Q)400.0350.0300.0250.0200.0150.0100.050.0225.02U(V)2.822.492.151.821.511.180.840.561.67125r22 (104Q 2)16.0012.259.0006.2504.0002.2501.0000.2506.375厶U2 (V2)7.956.204.623.312.281.390.710.313.34625RU(1 O2Q V)11.38.726.454.553.021.770.840.284.615625中间过程可多取位：X =1.67125 y =225.0 x2 =3.34625 y 2 =6.375X104 xy =461.5625求回归方程的系数r xy - xyb 二=154.61923042x2 - x2a = y 一 bx =-33.4代换R =_a =33.4QgR人s = b =154.6192304KRdiiRK = =3.7170X 10-9A/mmi bR di