重积分的计算方法

重积分的计算方法重积分包括二重积分和三重积分，它是定积分的推广；被积函数由一元函数f（X）推广 为二元函数f （x,y）,三元函数（fx,y,z）;积分范围由数轴上的区域推广为平面域（二重积分） 和空间域（三重积分）。我个人在学习与复习多重积分这一块时，感到多重积分的计算比较 繁琐，而在日常生活中多重积分有着很多的应用。通过在图书馆查阅资料、以及老师的指点， 重积分的计算方法还是有规律可循的。为了更好的应用重积分，本人结合前人的经验，在这 里介绍几种常用的重积分计算方法，以及一些小技巧。着重介绍累次积分的计算与变量代换。 一 二重积分的计算1常用方法（1）化累次积分计算法 对于常用方法我们先看两个例子1 求y dxdy.其中 D是以（0?0）,（1；1）?D（0J）为顶点的三角形.解 v ey dy无法用初等函数表示二 积分时必须考虑次序JJx2e- dxdy = jdp x2ey dx2计算积分I =exdx +8 2对于重积分的计算主要采用累次积分法，即把一个二重积分表达为一个二次积分，通过两次定积分的计算求得二重积分值，分析上面的例子累次积分法其主要步骤如下：第一步：画出积分区域D的草图；第二步：按区域D和被积函数的情况选择适当的积分次序，并确定积分的上、下限； 第三步：计算累次积分。需要强调一点的是，累次积分要选择适当的积分次序。积分次序的不同将影响计算的繁简， 有些题这两种次序的难易程度可以相差很大，甚至对一种次序可以“积出来”，而对另一种 次序却“积不出来”。所以，适当选择积分次序是个很重要的工作。选择积分次序的原则是：尽可能将区域少分块，以简化计算过程；第一次积分的上、下限表达式要简单，并且容易根据第一次积分的结果作第二次积分。(2) 变量替换法5关于二重积分的换元法求工)在D上连续变换T： x=x(u,vy(u)将更艸平而上的闭区域D变成砂平面的闭区域D(1 x(u,v)=y(u,v)在D|上具有连续的一阶偏导数ff/(jc5j)rfx4y= ff/x(w,v),j(w,v)J(w?F)tfwrfv注意I作什么变换主要取决于积分区域D的形状, 同时也兼顾被积函数f(x,y)的形式.基本要求:变换后定限筒便，求积容易.3(x,y)= 1_ a(w,v) 一 3(w,v)着重看下面的例子：例x 设连续证明-A证二- y)dxdy Jj(x-丿岬-AA2-AJ町(轴+J町代必Aft0A二打狙讪+ )皿-40.4二7a)s_i 阳-.4在计算定积分时，求积的困难在于被积函数的原函数不易求得。从而适当地在计算重积 分时，求积的困难来自两个方面，除了被积函数的原因以外还在而且，有时候其积分区域往 往成为困难的主要方面。利用换元法的好处是可以把被积函数的形状进行转化，以便于用基本求积公式。 于积分区域的多样性。为此，针对不同的区域要讨论重积分的各种不同算法。(3) 极坐标变换公式(主要是 JJf(x,y)dxdy=JJf(pcos8,psin6)pdpd6)cm#rsin 6V002玉积分在极坐标系下的形式L极坐标的意义和极坐标幻直角坐标的转换公武fftTjj f (x,y)Mcr = JJ/frcosSsinS) r ndda = 十 dr *广 d8- r - drd0d8 r drdb面看一个例子：例计算重积分 7: K I- D FtNJLx = ,y = 与x + y二所西成:解：区域D如罔#|下.计算二重积分时，要从被积函数和积分域两个方面来考虑如何适当地选择坐标系，如能 采用适当的坐标系，往往可以收到事半功倍的效果。从积分域来考虑，一般情况下，圆形 扇形或者环形可以选用极坐标。(4) 对称法对 I = fx.y)dxdy若D关莘X轴对称=时 / = 0埶xd寸2卩心曲 若D关于7轴对称(2)乌f (斗刃时 1 = 2fJ fyxdyU =(Aj)(x,j)Gn,jLoJ 若D关于原点对称肖f(TC厂y) = /(x,卸(7-刃二/(心)时I =必旳D=(x,y)D,x(yOi 若D关于直线y=x对称$(y,x)dx心r)p称为关干积分变量的轮换对称性是參元积分所独有的性质、简单地说就是奇函数关于对称域的积分等于L偶函数关于对称域的积分等于对称的部分区域丄积分的两倍，完全类似于对称区间上奇偶函数的定积分的性质简述为“你对称，我奇偶”第四种对称法为轮换对称，它在应用中十分重要，下面详细介绍：首先所谓轮换对称性就是，如果把f(x,y)中的x换成y, y换成x后，f(x,y)的形式没有变化， 就说f(x,y)具有轮换对称性。例如x人2+y人2有轮换对称性，而2x+3y没有轮换对称性(因 为换完后是2y+3x，和原来的不一样)。下面说明轮换对称性在二重积分中的应用，我们知 道二重积分的积分区域的边界可以用方程f(x,y)=0表示，如果这里的f(x,y)具有轮换对称性, 那么被积函数中的x和y互换后积分结果不变。例如JJx人2dxdy，积分区域为圆周 x人2+y人2 = 1,由于轮换对称性可知JJx人2dxdy二JJy人2dxdy(这就是把被积函数中的x换 成了 y),因此积分=(1/2)JJ2x人2dxdy=(1/2)JJ(x人2+y人2)dxdy，再用极坐标计算就简单多了。下面举几个例子：例7设何劝在（卞2） I連卖讷将二重积分/：y化成定积分解 由积分域和被积函数的对称性 有f = 4jj/G x2+y2)dJDx :0x 1,0yx用极坐标0i?,0r scl seuSnl=tl& j/O Wr为将二次如分b为所需耍的建积分, 须变换积分次序对称法就是利用区域和被积函数的对称性简化积分。在做题时，先考虑区域和被积函数有无对称性，有时一看就知道积分为零，有时可使积分化 简。否则的话，就会把时间花在无谓的计算上，有时不仅仅“得不偿失”，而且往往是“有 失无得”。利用区域和被积函数对称性简化积分的方法可以总结为： 设域D关于x轴对称，x轴上方部分为D1，下方为D2, 设域D关于y轴对称，y轴右边的部分为D1,左边的部分为D2,（4） 特例当积分区域是一矩形，被积函数可以分离成只含x的函数和只含y的函数相乘时二重积分 可作两个定积分相乘。二 三重积分三重积分概念可以看作是二重积分概念的直接推广，它的计算也是化为累次积分，适当 地选择变量代换可使三重积分容易计算。与前面二重积分情况相同，三重积分也可以应用对 称法计算，即一般地，若区域D关于yoz平面对称，被积函数关于x是奇函数，则三重积分 必为零，类似地还可推出其它各种对称情况的三重积分。计算三重积分的一般步骤为：1画出空间域 D 的草图；2. 根据被积函数和积分域D选择适当的坐标和累次积分的次序，并将域D用相应的双边不 等式组表示；3. 完成累次积分的计算。这里，画好图形是计算的关键，因为积分变量变化的范围就是从图形上看出来的，于是 也就顺利地写出了积分限。其中柱坐标系中的定限化为平面直角坐标系的定限，球坐标中定 限化为平面极坐标系的定限。可以说，三重积分的计算方法可由二重积分推广过来，不再累述。三 结语 综上所述，重积分的计算的方法是有规律可循的。总体上，重积分的主要计算思路是先 化重积分为累次积分，难点是积分区域的分块、积分上下限的确定、积分次序的互换以及利 用变量代换是重积分简化。