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3 3 导数的运算法则导数的运算法则 定理定理1 1并并且且也也可可导导们们的的和和、差差、积积、商商则则它它可可导导在在区区间间如如果果函函数数,)(),(Ixvxu).0)()()()()()()()()3(2 xvxvxvxuxvxuxvxu);()()()()()()2(xvxuxvxuxvxu );()()()()1(xvxuxvxu 一、求导的四则运算一、求导的四则运算导数的四则运算算法则导数的四则运算算法则证证(3)(3),0)(,)()()(xvxvxuxf设设hxfhxfxfh)()(lim)(0 hxvhxvhxvxuxvhxuh)()()()()()(lim0 hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0 证证(1)(1)、(2)(2)略略.导数的四则运算算法则导数的四则运算算法则hxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()()()()()()(lim0 )()()()()()()()(lim0 xvhxvhxvhxvxuxvhxuhxuh 2)()()()()(xvxvxuxvxu 导数的四则运算算法则导数的四则运算算法则结论得证结论得证推论推论;)()()1(11 niiniixfxf);()()2(xfCxCf ()12112121(3)()()()()()()()()()().nininnjnjfxfx fxfxfx fxfxfx fxfxfx=+=L LLLLLLLLL导数的四则运算算法则导数的四则运算算法则例例1 1.sin223的导数的导数求求xxxy 解解23xy x4 例例2 2.ln2sin的导数的导数求求xxy 解解xxxylncossin2 xxxylncoscos2 xxxln)sin(sin2 xxx1cossin2 .cos x.2sin1ln2cos2xxxx 应用举例应用举例例例3 3.tan的导数的导数求求xy 解解)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 .sec)(tan2xx 即即.csc)(cot2xx 同理可得同理可得应用举例应用举例例例4 4.sec的导数的导数求求xy 解解)cos1()(sec xxyxx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin.cotcsc)(cscxxx 同理可得同理可得应用举例应用举例定理定理2 2.)(1)(,)(,0)()(yxfIxfyyIyxxy 且有且有内也可导内也可导在对应区间在对应区间那末它的反函数那末它的反函数且且内单调、可导内单调、可导在某区间在某区间如果函数如果函数即即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数.二、反函数的导数二、反函数的导数反函数求导法则反函数求导法则例例5 5.arcsin的导数的导数求函数求函数xy 解解,)2,2(sin内单调、可导内单调、可导在在 yIyx,0cos)(sin yy且且内有内有在在)1,1(xI)(sin1)(arcsin yxycos1 y2sin11 .112x .11)(arccos2xx 同理可得同理可得;11)(arctan2xx )(arcsin x.11)cot(2xx arc反函数求导法则反函数求导法则例例6 6.log的的导导数数求求函函数数xya,0ln)(aaayy且且,),0(内有内有在在 xI)(1)(log yaaxaayln1.ln1ax 解解,),(内单调、可导内单调、可导在在 yyIax反函数求导法则反函数求导法则定理定理3 3).()(,)(,)()(,)(0000000 xufdxdyxxfyxuufyxxuxx 且其导数为且其导数为可导可导在点在点则复合函数则复合函数可导可导在点在点而而可导可导在点在点如果函数如果函数因变量对自变量求导因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求等于因变量对中间变量求导导,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.(.(链式法则链式法则)三、复合函数的求导法则三、复合函数的求导法则复合求导法则复合求导法则证证,)(0可可导导在在点点由由uufy )(lim00ufuyu )0lim()(00 uufuy故故uuufy )(0则则xyx 0lim)(lim00 xuxuufx xuxuufxxx 0000limlimlim)().()(00 xuf 复合求导法则复合求导法则推广推广),(),(),(xvvuufy 设设.)(dxdvdvdududydxdyxfy 的导数为的导数为则复合函数则复合函数 ()yf u()uv ()vx 根据复合结根据复合结构图逐层求构图逐层求导导.dydydydxdudududu dvdxdv dx 复合求导法则复合求导法则例例7 7lnsin.yx 1)1)求函数的导数求函数的导数解解.sin,lnxuuy dxdududydxdy xucos1 xxsincos xcot 2)1,0yxx 求函数的导数求函数的导数 ln11xyexx 复合求导法则复合求导法则例例8 8.)1(102的导数的导数求函数求函数 xy解解)1()1(10292 xxdxdyxx2)1(1092 .)1(2092 xx例例9 9.arcsin22222的导数的导数求函数求函数axaxaxy 解解)arcsin2()2(222 axaxaxy2222222222121xaaxaxxa .22xa )0(a复合求导法则复合求导法则 ln,0v xv xu xf xu xu xf xe 例例10 10 幂指数函数求导数幂指数函数求导数 xxxfxxxx lnllnlnnnlx xxxxxx xxexxxxf xx xxeex eex 解解：1 ln1ln11lnxxxxxxx xxxxxx 复合求导法则复合求导法则axxaaaaxxln1)(logln)(xxeexx1)(ln)(xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2 1.1.常数和基本初等函数的导数常数和基本初等函数的导数xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21 四、小结四、小结总结总结2211)(arctan11)(arcsinxxxx 2211)cot(11)(arccosxxxx arc2.2.函数求导四则运算函数求导四则运算3.3.复合函数的求导法则复合函数的求导法则4.4.反函数的求导法则反函数的求导法则总结总结作业作业:习题习题3.3 3.3 1(1,2,71(1,2,7小题小题),3(2,4,5),3(2,4,5小题小题),7),7
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