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1 前面介绍了随机变量的数学期望和方前面介绍了随机变量的数学期望和方差，对于多维随机变量，反映差，对于多维随机变量，反映分量之间分量之间相互关系相互关系的数字特征中，最重要的，就的数字特征中，最重要的，就是本节要讨论的是本节要讨论的协方差和相关系数协方差和相关系数24.4 4.4 协方差和相关系数协方差和相关系数问题问题 对于二维随机变量对于二维随机变量(X,Y):已知联合分布已知联合分布边缘分布边缘分布 这说明对于二维随机变量，这说明对于二维随机变量，除了每个随机变除了每个随机变量各自的概率特性以外，相互之间可能还有某种联量各自的概率特性以外，相互之间可能还有某种联系系.问题是用一个什么样的数去反映这种联系问题是用一个什么样的数去反映这种联系.)()(YEYXEXE数数反映了随机变量反映了随机变量X,Y 之间的某种关系之间的某种关系3定义定义 称称)()(YEYXEXE为为X,Y 的的协方差协方差.记为记为)()(),cov(YEYXEXEYX可以证明协方差矩阵为半正定矩阵可以证明协方差矩阵为半正定矩阵A.协方差和相关系数的定义协方差和相关系数的定义为为（X,Y）的的协方差矩阵协方差矩阵称称)(),cov(),cov()(YVarXYYXXVar4 协方差的大小在一定程度上反映了协方差的大小在一定程度上反映了X和和Y相互间的关系，但它还受相互间的关系，但它还受X与与Y本身度量本身度量单位的影响单位的影响.例如：例如：Cov(kX,kY)=k2Cov(X,Y)为了克服这一缺点，对协方差进行标准化，为了克服这一缺点，对协方差进行标准化，这就引入了这就引入了相关系数相关系数的概念的概念.5若若Var(X)0,Var(Y)0,称称)()(),cov()()()()(YVarXVarYXYVarXVarYEYXEXE为为X,Y 的的 相关系数相关系数，记为，记为)()(),cov(YVarXVarYXXY事实上事实上，),cov(YXXY 若若,0XY 称称 X,Y 不相关不相关.无量纲无量纲 的量的量6 利用函数的期望或方差计算协方差利用函数的期望或方差计算协方差协方差和相关系数的计算协方差和相关系数的计算7 若二维离散型随机变量若二维离散型随机变量(X,Y)的分布律为的分布律为 且且Cov(X,Y)存在存在,则则(,),1,2,.ijijpP Xx Yyi j11(,)()()ijijjiCov X YxE XyE Y p8(2)若二维连续型随机变量若二维连续型随机变量(X,Y)的概率密的概率密度为度为 f(x,y),且且Cov(X,Y)存在，则存在，则 (,)()()(,)Cov X YxE XyE Yf x y dxdy(3)(,)()()()Cov X YE XYE X E Y9 Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)可见，可见，若若X与与Y 独立，独立，则则 Cov(X,Y)=0.证明：证明：Cov(X,Y)=EX-E(X)Y-E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)即即=EXY-XE(Y)-YE(X)+E(X)E(Y)10若若 X,Y 相互独立相互独立,则上式化为则上式化为随机变量随机变量和的方差与协方差的关系和的方差与协方差的关系()()()Var X YVar XVar Y()()()2(,)Var XYVar XVar YCov X Y11协方差的性质协方差的性质q)()()(),cov(),cov(YEXEXYEXYYXq q q q),cov(),cov(YXabbYaX),cov(),cov(),cov(ZYZXZYX)(),cov(XVarXX)()(|),cov(|2YVarXVarYX当且仅当当且仅当1)()(0XEXtYEYP时，等式成立时，等式成立Cauchy-Schwarz不等式不等式B B 协方差和相关系数的性质协方差和相关系数的性质12相关系数的性质相关系数的性质q q 1|XY1|XYCauchy-Schwarz不等式不等式的等号成立的等号成立即即Y 与与X 有线性关系的概率等于有线性关系的概率等于1，这种线性关系为这种线性关系为1)()()()(XDXEXYDYEYP13相关系数的性质相关系数的性质证明：证明：令令222()0,()EXYEXEYbEXEXYEYbEX EXbEXEX 故故,代入第二个方程得代入第二个方程得将将bEXEYa 14151617说明说明XY相相关关系系数数是是表表征征与与之之间间线线性性关关系系紧紧密密程程度度的的量量11XYXY ，当当时时，与与之之间间以以概概率率 存存在在着着线线性性关关系系；0XYXY，当当越越接接近近于于 时时，与与之之间间的的线线性性关关系系越越弱弱；0XYXY ，当当时时，与与之之间间不不存存在在线线性性关关系系 不不相相关关 X与与Y之间没有线性关系并不表示它们之间没有关系之间没有线性关系并不表示它们之间没有关系18q 0XYX,Y 不相关不相关0),cov(YX)()()(YEXEXYE)()()(YVarXVarYXVarX,Y 相互独立相互独立X,Y 不相关不相关若若 X,Y 服从二维正态分布，服从二维正态分布，X,Y 相互独立相互独立X,Y 不相关不相关q q 19求求 cov(X,Y),XY 1 0 p qX P 1 0 p qY P 例例1 1 已知已知 X,Y 的联合分布的联合分布为XYpij 1 010 p 0 0 q0 p 1p+q=1解：解：1 0 p qX Y P 20,)(,)(,)(,)(pqYVarpqXVarpYEpXE,)(pXYEcov(,)()()(),X YE XYE X E Ypqcov(,)1.()()XYX YVar X Var Y21例例2.2.设设 U(0,2),X=cos ,Y=cos(+),是给定的常数，求是给定的常数，求 XY 解解:其他,20,21)(ttf201()cos0,2E Xtdt201()cos()0,2E Ytdt22cos2121)cos()cos()(20dtttXYEcos21),cov(YX222011()cos,22E Xtdt1(),2Var XcosXY222011()cos(),22E Ytdt1(),2Var Y23221212(,;,;)N 例例3 设设(X,Y)服从二维正态分布服从二维正态分布 求求(1)X和和Y的相关系数的相关系数 (2)X和和Y不相关不相关 =0 242121,21f x y 解：解：(X,Y)的概率密度函数为的概率密度函数为 221122222112221exp2 1xxyy2222()221()2yYfye2121()211()2xXfxe(X,Y)关于关于X和和Y的边缘概率密度分别为的边缘概率密度分别为221122(),(),(),().E XVar XE YVar Y则 25dxdyyxfyxYXCov),()(),(21由于由于12212121xy 2212222122()12(1)2xyyedxdy26dsdtestttstysx222221121)()1(2122112 令dudteutttuuts22221)1(2221)(12 令272221 22(1)122221utedut edt 212222(1)12212212112utedutedt 28X，Y独立独立 =0X，Y不相关。不相关。XYcov(,)()()XYX YVar XVar Y故(,)X YXY 于是，二维正态随机变量的概率密度中的参数 就是 和 的相关系数。XY 因此，二维正态随机变量的分布完全可由，各自的数学期望，方差，以及它们的相关系数所确定.29例例4.4.设设(X,Y)N(1,1;4,4;0.5),Z=X+Y,求求 XZ 解解:,4)()(,1)()(YVarXVarYEXE2),cov(,21YXXY6),cov(),cov(),cov(YXXXZX12),cov(2)()()()(YXYVarXVarYXVarZVar231226XZ30 例例5 5：设设X N(0,4),Y P(2),XY=1/2,求求 E(X+Y)2.解解:E(X+Y)2=E(X+Y)2+Var(X+Y)注意到注意到=EX+EY)2+Var(X)+Var(Y)+2cov(X,Y)把条件代入即得把条件代入即得 E(X+Y)2=)()(),cov(YVarXVarYXXY由题设知由题设知:EX=0,Var(X)=4,EY=2,Var(Y)=2,XY=1/2,而而221031 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y),k,l 为非负整数。为非负整数。mk =E(Xk)称为称为X的的k阶原点矩，阶原点矩，k =E(X-E(X)k 称为称为X的的k阶中心矩，阶中心矩，mkl=E(X k Y l)称为称为X和和Y的的(k,l)阶混合阶混合原点矩，原点矩，kl=E(X-E(X)k(Y-E(Y)l 称为称为X和和Y的的(k,l)阶阶 混合中心矩混合中心矩.显然数学期望为显然数学期望为1阶原点矩阶原点矩,方差为方差为2阶中心矩阶中心矩,而而协方差为协方差为(1,1)阶混合中心矩阶混合中心矩.矩矩32例例6.6.设设X服从服从N(0,1)分布，求分布，求 E(X3),E(X4)。,02)(2332dxexXExdxexXEx24422)(dxexx2222332221)(xexf解：解：X的密度函数为：的密度函数为：注：此例是注：此例是128128页的特例。页的特例。2322xdex33作业作业:128页页:4.12;。
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