概率论与数理统计：第1章 第六节事件的独立性

概率统计第五节独立性第五节独立性 若若P P(A A)=P=P(A|BA|B)，事件，事件B B的发生与否对的发生与否对A A发生的可能性毫发生的可能性毫无影响，直观上，称无影响，直观上，称A A，B B两事件独立，这时有两事件独立，这时有 P P（ABAB）=P=P（A A）P P（B B）。）。因此有如下定义。因此有如下定义。1.1.定义定义 设A，B为两事件，如果具有等式 P（AB）=P（A）P（B）则称A,B为相互独立的事件,又称A,B相互独立。2.2.性质性质（1）若事件A与事件B相互独立，则A与B、与B、与B也相互独立。概率统计（2 2）若）若P(A)0P(A)0，P(B)0P(B)0，则，则A A，B B相互独立，与相互独立，与A A，B B互不互不相容不能同时成立。相容不能同时成立。因为若它们同时成立，则因为若它们同时成立，则P(AB)=P(P(AB)=P()=P(A)P(B)=0)=P(A)P(B)=0，与与P(A)0P(A)0，P(B)0P(B)0矛盾。矛盾。定理 设设A A，B B是两事件，且是两事件，且P P(A A)0(P(0(P(B)0)0)，则，则A A，B B相相互独立的充要条件是互独立的充要条件是P(B|A)=P(B)(P(A|B)=P(A)P(B|A)=P(B)(P(A|B)=P(A)。证明：只需证若事件A与事件B相互独立，则A与B相互立。所以，A与B相互独立。由于BA=A-AB，ABA,而P(AB)=P(A)P(B)，从而P(BA)=P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)P(B)=P(A)P(B)概率统计 定义 设设A A，B B，C C是三事件，如果具有等式是三事件，如果具有等式 P(AB)=P(A)P(B),P(AB)=P(A)P(B),P(BC)=P(B)P(C),P(BC)=P(B)P(C),P(AC)=P(A)P(C).P(AC)=P(A)P(C).则称三事件则称三事件A A，B B，C C两两独立。两两独立。一般，当事件一般，当事件A A，B B，C C两两独立时，等式两两独立时，等式 P P（ABCABC）=P=P（A A）P P（B B）P P（C C）不一定成立，例如：不一定成立，例如：例1:假设我们掷两次骰子,并定义事件A,B,C如下 A=“第一次掷得偶数”，B=“第二次掷得奇数”，C=“两次都掷得奇数或偶数”。证明A,B,C两两独立,但不满足等式P(ABC)=P(A)P(B)P(C)概率统计证明证明:容易算出容易算出 P(A)=1/2,P(B)=1/2,P(C)=1/2,P(A)=1/2,P(B)=1/2,P(C)=1/2,P(AB)=1/4,P(AC)=1/4,P(AB)=1/4,P(AC)=1/4,P(BC)=1/4,P(ABC)=0.P(BC)=1/4,P(ABC)=0.从而具有等式 P(AB)=P(A)P(B);P(AC)=P(A)P(C);P(BC)=P(B)P(C)所以A,B,C两两独立.容易看出 P(ABC)=0P(A)P(B)P(C)概率统计定义 设设A A，B B，C C是三事件，如果具有等式是三事件，如果具有等式 ).()()()(),()()(),()()(),()()(CPBPAPABCPCPAPACPCPBPBCPBPAPABP 则称A，B，C，为相互独立的事件。12)11(0132 nCCCCCnnnnnnnn 一般地，设A1，A2，An，是n个事件，如果对于任意k(1kn),任意1i1i2ikn,具有等式 P（Ai1Ai2Aik）=P（Ai1）P（Ai2）P（Aik）则称A1，A2，An为相互独立的事件。在上式中包含的等式总数为概率统计（1 1）若）若A A1 1,A,A2 2,A,An n相互独立相互独立,则其中任意则其中任意m m个事件个事件 A Ai1i1,A,Ai2i2,A,Aimim相互独立（相互独立（2mn2mn）。）。（2 2）若）若A A1 1，A A2 2，A An n相互独立，则把其中任意相互独立，则把其中任意m m个事个事 件换成各自的对立事件后构成的件换成各自的对立事件后构成的n n个事件也相互个事件也相互 独立（独立（1mn1mn）。）。注：若事件是独立的，则许多概率的计算可以大为简化，注：若事件是独立的，则许多概率的计算可以大为简化，例如若例如若A A1 1，A An n相互独立，则相互独立，则A A1 1，A A2 2，A An n同时发同时发生的概率为生的概率为 P(AP(A1 1A A2 2A An n)=P(A)=P(A1 1)P(A)P(A2 2)P(AP(An n)。性质性质概率统计例例2:2:若若A A1 1，A A2 2，A An n相互独立，且相互独立，且P P（A Ai）=P=Pi，i=1,2,i=1,2,n,n,求求A A1 1,A,An n这这n n个事件至少有一个发生的个事件至少有一个发生的概率。概率。解解:所求的概率所求的概率 niinAPAAAP1211)(niiniPAPAPAP12111概率统计例例3 3：电路系统的可靠性。如图，两个系统各有电路系统的可靠性。如图，两个系统各有2n2n个元个元件，其中系统件，其中系统先串联后并联，系统先串联后并联，系统 先并联后串联。先并联后串联。求两个系统的可靠性大小并加以比较。设每个元件正求两个系统的可靠性大小并加以比较。设每个元件正常工作的概率为常工作的概率为r,且相互独立。且相互独立。A1B1A2B2BnAn系统 A1B1A2B2AnBn系统 解：.设Ai,i,Bi i分别表示两条支路中第i个元件正常工作P(A)：中第一条支路的可靠性，P(B)：中第二条支路的可靠性。所以AB表示正常工作（并联）概率统计)()()(11并联并联而而nniiniirAPAPAP 同理 P(B)=rn所以P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=rn+rn-r2n=R 第一对元件可靠性P(A1B1)=P(A1)+P(B1)-P(A1)P(B1)=2r-r2，第二对元件的可靠性P(A2B2)=P(A2)+P(B2)-P(A2)P(B2)=2r-r2,概率统计第第n n对元件的可靠性对元件的可靠性 P(AP(An nB Bn n)=P(A)=P(An n)+P(B)+P(Bn n)-P(A)-P(An n)P(B)P(Bn n)=2r-r)=2r-r2 2 于是于是 R=r(2-r)n=rn(2-r)n 比较大小比较大小.比较比较2-r2-rn n与与(2-r)(2-r)n n的大小。的大小。显然显然:2-r:2-rn n(2-r)(2-r)n n.概率统计试验的独立性试验的独立性 n n个试验个试验E E1 1,E,E2 2,E En n的独立性，指在的独立性，指在n n次试验中每次试验次试验中每次试验结果出现的概率都不受其他次试验的影响。则称这结果出现的概率都不受其他次试验的影响。则称这n n个试个试验是独立的。验是独立的。若若E1=E2=En，称为，称为n n次重复独立试验。次重复独立试验。概率统计第六节贝努利概型第六节贝努利概型 考虑一个简单的试验，它只出现（或只考虑）两种结果，如。一般地，试验E只有两种结果A和A,而P(A)=p（0p 0 或或 P(A)0 的的制约。制约。B=第一次掷出第一次掷出6点点，概率统计 现有五个乒乓球，三个新的，两个旧的，现现有五个乒乓球，三个新的，两个旧的，现 每每 次取一个，取两次，分别就不放回抽取与次取一个，取两次，分别就不放回抽取与放回抽取放回抽取 两种情况。两种情况。设：设：A：第一次取到新球：第一次取到新球 (1)不放回地取两次不放回地取两次 )()()(APABPABP引例引例2解：解：求：在第一次取到新球的条件下第二次取到新球求：在第一次取到新球的条件下第二次取到新球 的概率。的概率。B：第二次取到新球：第二次取到新球534253 53206 5.021 概率统计(2)有放回地取两次有放回地取两次设设 A,B是两个事件，如果具有等式：是两个事件，如果具有等式：)()()(BPAPABP 则称则称 A,B 为为 相互独立相互独立 的事件。的事件。注：注：由定义易证以下关于独立性的命题由定义易证以下关于独立性的命题定义定义1)()()(APABPABP 535353 53)(BP 概率统计若若 A与与 B 相互独立相互独立证证:（只证（只证 其余自证）其余自证）相互独立相互独立与与 BA)()(ABAPBAP AAB 而而()()P AP AB由可减性由可减性与独立性与独立性所以：所以：,B与与AA与与,BBA与与也相互独立。也相互独立。()()()P AP A P B()()P AP B ()(1()P AP B 若若()0,()0P AP B 与与A,B互不相容互不相容不能同时成立。不能同时成立。相互独立相互独立,A B概率统计 设设 A,B,C 三个事件三个事件,如果具有如果具有 如下等式：如下等式：)()()(BPAPABP则称则称 A,B,C 两两独立两两独立。若若A,B,C 两两独立，两两独立，)()()()(CPBPAPABCP 不一定成立不一定成立。定义定义2(两两独立两两独立)注：注：满足成立条件上式才能成立？满足成立条件上式才能成立？问题：问题：三个事件的三个事件的“相互独立相互独立”的概念的概念)()()(CPBPBCP)()()(CPAPACP 概率统计 设设 A,B,C 是三个事件，如果具有等式：是三个事件，如果具有等式：)()()()()()()()()()()()()(CPBPAPABCPCPAPACPCPBPBCPBPAPABP则称事件则称事件 A,B,C 为为相互独立相互独立的事件。的事件。12,nA AA推广推广：设设 是是 n 个事件个事件,如果如果 对于任意对于任意121kiiin )1(nkk 任意任意定义定义 3注注 概率统计则则称称 为为相互独立相互独立的事件。的事件。12,nA AA 相互独立与两两独立的相互独立与两两独立的关系关系：两两独立两两独立 n 个事件个事件任何两个任何两个彼此独立彼此独立故相互独立故相互独立 两两独立两两独立,反之则不真反之则不真1212()()()()kkiiiiiiP A AAP AP AP A 具有等式：具有等式：相互独立相互独立 n个事件个事件任意任意 k个个 都都 是独立的是独立的)(nk 1232 nCCCnnnnn（它（它含有含有个等式）个等式）概率统计 n 个独立事件个独立事件和和 的概率公式的概率公式:nAAA,21设设事件事件 相互独立相互独立,则则）nAAAP21(1)(121nAAAP P(A1+An)()()(nAPAPAP211 也就是说，也就是说，n 个独立事件至少个独立事件至少有一个发生的概率等于有一个发生的概率等于1 减去减去各自对立事件概率的乘积各自对立事件概率的乘积.也相互独立也相互独立nAAA,21也相互独也相互独立立由由对对偶偶律律概率统计nAAA,21则则“至少有一个发生至少有一个发生”的概率为：的概率为：121()()()nP A P AP A发生的概率发生的概率,1npp nAAA,21若设若设 n 个独立事件个独立事件分别为分别为:类似类似可以得出：可以得出：nAAA,21至少有一个不发生至少有一个不发生”的概率为：的概率为：“12()nP AAA121()1(1)(1)nnP AAApp+121nPPP概率统计可见可见,P(AB)=P(A)P(B)由于由于:P(A)=4/52=1/13,从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记 A=抽到抽到 K,B=抽到的牌是黑色的抽到的牌是黑色的 问：事件问：事件A、B是否相互独立？是否相互独立？解：解：所以：所以：P(AB)=2/52=1/26 ，P(B)=26/52=1/2 设设 A,B是两事件是两事件,且且P(A)0,若若 A,B相互独立相互独立 则：则：，反之亦然。，反之亦然。)()(BPABP 注：注：在实际应用中在实际应用中,往往往往根据问题的实际意义去判断根据问题的实际意义去判断两事件是否独立两事件是否独立.根据两事件独立的定义根据两事件独立的定义,说明事件说明事件A、B是相互独立的是相互独立的定理：定理：例如：例如：概率统计此例也可以通过此例也可以通过计算条件概率计算条件概率去得出相互独立的结论去得出相互独立的结论:如如上例中上例中：从一副不含大小王的扑克牌中任取一张：从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记：记：A=抽到抽到K,B=抽到的牌是黑色的抽到的牌是黑色的则则:由于由于 P(A)=1/13,P(A|B)=2/26=1/13 可根据实际意义，由于可根据实际意义，由于“甲命中甲命中”并不影响并不影响“乙乙命中命中”的概率，故认为的概率，故认为A、B 独立独立.（即一事件发生（即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率）与否并不影响另一事件发生的概率）例如：例如：甲、乙两人向同一目标射击，甲、乙两人向同一目标射击，记记 A=甲命中甲命中,B=乙命中乙命中，A与与B是否独立？是否独立？即：即：P(A)=P(A|B)，说明事件说明事件A、B 独立。独立。概率统计AB即即:若若A、B 互斥，且互斥，且 P(A)0,P(B)0,则则 A 与与 B 不独立不独立.而而 P(A)0，P(B)0故故 A、B不独立不独立(1)因为：因为：P(AB)=0P(AB)P(A)P(B)即：即：（1）如图的两个事件是独立的吗？）如图的两个事件是独立的吗？（2）能否在样本空间）能否在样本空间S 中找两个事件中找两个事件,它们既它们既 相互独立又互斥相互独立又互斥?它的反问它的反问题呢？题呢？例例1解：解：概率统计S（2）所要寻找的这两个事件就是）所要寻找的这两个事件就是 S 和和 注注 意意:不难发现，不难发现，与任何事件都独立与任何事件都独立.反之反之，若，若 A与与 B 独立，且独立，且 P(A)0,P(B)0,则则 A、B 不互斥。不互斥。s而：而：与与 S 独立且互斥独立且互斥 则则:所以所以:P(S )=P()P(S)=0 概率统计(1)设设A、B为互斥事件，且为互斥事件，且 P(A)0,P(B)0,下面四个结论中，正确的是：下面四个结论中，正确的是：独立与互斥的区别和联系的思考题独立与互斥的区别和联系的思考题:1.P(B|A)0 2.P(A|B)=P(A)3.P(A|B)=0 4.P(AB)=P(A)P(B)(2)设设A、B为独立事件，且为独立事件，且P(A)0,P(B)0,下面四个结论中，正确的是：下面四个结论中，正确的是：1.P(B|A)0 2.P(A|B)=P(A)3.P(A|B)=0 4.P(AB)=P(A)P(B)答案答案：(1)3 ;(2)1,2,4概率统计 甲、乙、丙三台机床独立工作甲、乙、丙三台机床独立工作,由一个操作由一个操作者照管者照管,某段时间内它们不需要操作者照管某段时间内它们不需要操作者照管的概率分别为的概率分别为 0.9,0.8,0.85求：求：(1)没有没有 一台机床一台机床 不需要不需要 照管的概率照管的概率 (2)至少至少 一台机床一台机床 需要需要 照管的概率照管的概率 (3)至多至多 一台机床一台机床 不需要不需要 照管的概率照管的概率设设 A,B,C：分别表示甲，乙，丙三台机床：分别表示甲，乙，丙三台机床 不需要照管不需要照管 因为：三台机床要不要照看是相互独立的因为：三台机床要不要照看是相互独立的例例 2解：解：概率统计(1)()()()()P ABCP A P B P C(2)()()P ABCP ABC 388.085.08.09.01 (3)D:至多只有一台机床不需要照看至多只有一台机床不需要照看)()()()()(CBAPCBAPCBAPCBAPDP 059.085.02.01.015.08.01.015.02.09.0003.0 甲甲,乙乙,丙三台丙三台机床不需要机床不需要照管的概率照管的概率分别为分别为:0.9,0.8,0.85(10.9)(10.8)(10.85)0.0031()()()P A P B P C 1()P ABC 概率统计 三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的 概率分别为概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人，问三人中至少有一人 能将密码译出的概率是多少？能将密码译出的概率是多少？将三人编号为将三人编号为 1，2，3，记记 Ai=第第 i 个人破译出密码个人破译出密码 i=1,2,3已知已知:P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4则则:P(A1+A2+A3)()()(1321APAPAP)(1321AAAP6.0534332541 所求为所求为:P(A1+A2+A3)由独立性由独立性例例3.解：解：1231 1()1()1()P AP AP A 概率统计 下图是一个串并联电路示意图下图是一个串并联电路示意图.A、B、C、D、E、F、G、H 都是电路中的元件。都是电路中的元件。它们下方它们下方 的数是它们各自正常工作的概率。的数是它们各自正常工作的概率。ABCEDFGH95.095.095.070.00.7070.075.075.0例例4.求：电路正常工作的概率。求：电路正常工作的概率。概率统计P(W)=P(A)P(B)P(C+D+E)P(F+G)P(H)将电路正常工作记为将电路正常工作记为 W，由于各元件独立工，由于各元件独立工 作，故有：作，故有：其中其中:1()()()0.973P C P D P EP(C+D+E)=1()()0.9375P F P GP(F+G)=()0.783P W 代入得：代入得：解：解：ABCEDFGH95.095.095.070.00.7070.075.075.0概率统计设有电设有电路图路图开关电路中开关开关电路中开关 a,b,c,da,b,c,d 开或关的概率都是开或关的概率都是 0.5,0.5,且各开关是否关闭是且各开关是否关闭是相互独立相互独立的。的。求：灯亮的概率以及若已见灯亮，开关求：灯亮的概率以及若已见灯亮，开关 a,b同时关同时关 闭的概率。闭的概率。设设 A,B,C,D：表示开关：表示开关 a,b,c,d关闭关闭;E：表示灯亮：表示灯亮例例5.解：解：abcdE概率统计)()(,DCABPEP 则则)()()()()()()(ABCDPCDPABDPABCPDPCPABP )()()()()()()()()()()()()()()()(DPCPBPAPDPCPDPBPAPCPBPAPDPCPBPAP 8125.0),(ABABEEAB 故故而而3077.08125.05.05.0)()(EPABP加法原理加法原理由独由独立性立性)()()(EPABEPEABP 故得故得：