初中奥林匹克数学竞赛辅导讲义及训练习题--转化—可化为一元二次方程的方程

1 初中奥林匹克数学竞赛辅导讲义-转化可化为一元二次方程的方程 数学(家)特有的思维方式是什么?若从量的方面考虑，通常运用符号进行形式化抽象，在一个概念和公理体系内实施推理计算，若从“转化”这个侧面又该如何回答?匈牙利女数学家路莎彼得在无穷的玩艺一书中写道：“作为数学家的思维来说是很典型的，他们往往不对问题进行正面攻击，而是不断地将它变形，直至把它转化为已经能够解决的问题”转化与化归是解分式方程和高次方程(次数高于二次的整式方程)的基本思想解分式方程，通过去分母和换元；解高次方程，利用因式分解和换元，转化为一元二次方程或一元一次方程去求解【例题求解】【例 1】若0515285222xxxx，则1522 xx的值为 思路点拨 视xx522为整体，令yxx522，用换元法求出y即可 【例 2】若方程xxp2有两个不相等的实数根，则实数p的取值范围是()A1p B0p C01p D01p 思路点拨 通过平方有理化，将无理方程根的个数讨论转化为一元二次方程实根个数的讨论，但需注意注02xxp的隐含制约 注：转化与化归是一种重要的数学思想，在数学学习与解数学题中，我们常常用到下列不同途径的转化：实际问题转化大为数学问题，数与形的转化，常量与变量的转化，一般与特殊的转化等 解下列方程：（1）121193482232222xxxxxxxx；2 (2)1)1998()1999(33xx；（3）42)113(1132xxxxxx 按照常规思路求解繁难，应恰当转化，对于(1)，利用倒数关系换元；对于(2)，从1)1998()1999(xx受到启示；对于(3)，设113xxy，则可导出yx、xy的结果 注：换元是建立在观察基础上的，换元不拘泥于一元代换，可根据问题的特点，进行多元代换【例 4】若关于x的方程xkxxxxxk1122只有一个解(相等的解也算作一个)，试求k的值与方程的解 思路点拨 先将分式方程转化为整式方程，把分式方程解的讨论转化为整式方程的解的讨论，“只有一个解”内涵丰富，在全面分析的基础上求出k的值 注：分式方程转化为整式方程不一定是等价转化，有可能产生增根，分式方程只有一个解，可能足转化后所得的整式方程只有一个解，也可能是转化后的整式方程有两个解，而其中一 3 个是原方程的增根，故分式方程的解的讨论，要运用判别式、增根等知识全面分析【例 5】已知关于x的方程655)(2xaxxax有两个根相等，求a的值 思路点拨 通过换元可得到两个关于x的含参数a的一元二次方程，利用判别式求出a的值 注：运用根的判别式延伸到分式方程、高次方程根的情况的探讨，是近年中考、竞赛中一类新题型，尽管这种探讨仍以一元二次方程的根为基础，但对转换能力、思维周密提出了较高要求 学历训练 1若关于x的方程0111xax有增根，则a的值为 ；若关于x的方程122xax 曾一 1 的解为正数，则a的取值范围是 2解方程121)10)(9(1)2)(1(1)1(1)1(1xxxxxxxx得 3已知方程mxmx2123有一个根是 2，则m=4方程9733322xxxx的全体实数根的积为()A60 B一 60 C10 D一 10 5解关于x的方程1112xxxkxx不会产生增根，则是的值是()A2 B1 C不为 2 或一 2 D无法确定 6已知实数x满足01122xxxx，那么xx1的值为()A1 或一 2 B一 1 或 2 C1 D一 2 4 7(1)如表，方程 1、方程 2、方程 3、，是按照一定规律排列的一列方程，解方程 1，并将它的解填在表中的空格处；(2)若方程11bxxa(ba)的解是1x=6，2x=10，求a、b的值该方程是不是(1)中所给的一列方程中的一个方程?如果是，它是第几个方程?(3)请写出这列方程中的第n个方程和它的解，并验证所写出的解适合第n个方程 序号 方 程 方程的解 1 1216xx 1x=2x=2 1318xx 1x=4 2x=6 3 14110 xx 1x=5 2x=8 8解下列方程：（1）619122112222xxxxxxx ；（2）081318218111222xxxxxx；(3)120)4)(3)(2)(1(xxxx；(4)1)1(3)1(222xxxx 9已知关于x的方程02212222mxxmxx，其中m为实数，当 m 为何值时，方程恰有三个互不相等的实数根?求出这三个实数根 10方程222121xxxx的解是 11解方程214127165123112222xxxxxxxx得 12方程87329821xxxxxxxx的解是 13若关于x的方程03121422xxa恰有两个不同的实数解，则实数a的取值范围是 5 14解下列方程：(1)6)1)(43()76(2xxx；(2)222222)243()672()43(xxxxxx；（3）3)1(22xxx；（4）310221xxx 15当a取何值时，方程2212212xxaxxxxx有负数解?16已知01585234xxxx，求xx1的值 17已知：如图，四边形 ABCD 为菱形，AF上 AD 交 BD 于 E 点，交 BC 于点 F(1)求证：AD2=21 DEDB；(2)过点 E 作 EGAE 交 AB 于点 G，若线段 BE、DE(BE0)的两个根，且菱形 ABCD 的面积为36，求 EG 的长 6 参考答案 7 8