向量组的线性相关性

例例1 1 求解方程组求解方程组 .2132,13,0432143214321xxxxxxxxxxxx解解:A施施行行初初等等行行变变换换对对增增广广矩矩阵阵 2132111311101111A21210014200011111420021210001111,00000212100211011程程组组为为且且是是无无穷穷个个解解，同同解解方方故故方方程程组组有有解解因因为为,42)A(R)A(R .212,2143421xxxxx 因此此方程组的全部解为因此此方程组的全部解为为为任任意意常常数数），（其其中中，21242312211ccc.21c2 c,21ccxxxx 543xxx，例例2 2 解线性方程组解线性方程组 076530230553203454321543215432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx解解对系数矩阵施行初等行变换对系数矩阵施行初等行变换 76513123115531234111A2622026220131103411100000000001311021201 ,5n2AR 因为因为所以方程组有无穷多解（有非零解）所以方程组有无穷多解（有非零解）将最简形矩阵对应的方程组写出：将最简形矩阵对应的方程组写出：0 xx3xx0 x2xx2x54325431即即 54325431xx3xxx2xx2x选取为选取为 为自由未知量，得方程组的全部解为：为自由未知量，得方程组的全部解为：35241332123211cxcxcxcc3cxc2cc2x为为任任意意常常数数），（其其中中，21cc【例3】当k为何值时，下面齐次方程组有非零解，并求其解0202021321321kxxxxkxxxx解：0212111kkA所以，当k=3或k=-2为时，该齐次方程组有非零解，且当k=3时，003201230111A000002500023102500250011100000125000231得同解方程组：0250233221xxxx23212523xxxx取x2=c,得原方程组的解：cxcxcx2523321(c为任意常数）02131100kk 6)1(kk)2)(3(62kkkk-5-n 个数组成的有序数组个数组成的有序数组称为一个称为一个 或或,其中其中 称为该行称为该行(列列)向向量的第量的第 i 个个.行向量与列向量统称为行向量与列向量统称为.ia naaa21),(21naaa或或:所讨论的向量如无说明均指列向量所讨论的向量如无说明均指列向量,而行向量用列向量的转置而行向量用列向量的转置表示表示.向量的向量的运算和运算和运算同矩阵的这两种运算一样运算同矩阵的这两种运算一样.-6-由若干个同维数的列由若干个同维数的列(行行)向量组成的集合称为一个向量组成的集合称为一个.如无特殊说明如无特殊说明,向量组总是指只含有限个向量的向量组向量组总是指只含有限个向量的向量组.:解的全体是一个含无穷多个解的全体是一个含无穷多个 n 维列向量的向量组维列向量的向量组.)(0nArxAnm mnmmnnaaaaaaaaa212222111211 mnmmnnaaaaaaaaa212222111211:mn 的矩阵的矩阵 A 全体列向量是含全体列向量是含 n 个个 m 维列向量的向量组维列向量的向量组,简称简称;全体行向量是含全体行向量是含 m 个个 n 维的行向量组维的行向量组,简称简称.-7-对于向量组对于向量组 ,表达式表达式mA ,:21)(2211Rkkkkimm )(2211Rimm 称为向量组称为向量组 A 的一个的一个线性组合线性组合.又如果又如果 是向量组是向量组 A 的一个线的一个线性组合性组合,即即 则称向量则称向量 可由向量组可由向量组 A 线性表示线性表示.Ab52b,52b,10,01:A2121线线性性表表示示能能由由向向量量组组，所所以以因因为为及及向向量量向向量量组组例例 -8-看看三维空间中的向量看看三维空间中的向量(如图如图)设设 可表为可表为22114 kk 4 421,说明说明321,这三个向量任何一个都不能由其它两个这三个向量任何一个都不能由其它两个向量线性表示向量线性表示,说明它们是异面的说明它们是异面的.这三个向量在一个平面内这三个向量在一个平面内(共面共面).1 3 2 4-9-我们把上面这种向量之间的最基本的关系予以推我们把上面这种向量之间的最基本的关系予以推广广,并换一种叫法并换一种叫法.向量可由其余的向量线性表示向量可由其余的向量线性表示,则称该向量组则称该向量组线性相关线性相关;否则否则,如果任一向量都不由其余向量线性表示如果任一向量都不由其余向量线性表示,则称该向则称该向量组量组线性无关线性无关(或独立或独立).mA ,:21设向量组设向量组如果其中一个如果其中一个 该定义不是用数学式子表达的该定义不是用数学式子表达的,不便于理论推导不便于理论推导.如何改成数学表达式如何改成数学表达式?-10-02211 mmkkk mkkk,21如果存在不全为零的数如果存在不全为零的数使得使得则称该向量组则称该向量组线性相关线性相关.否则否则,如果设如果设02211 mmkkk 便能推出便能推出021 mkkk则称该向量组则称该向量组线性无关线性无关.-11-02211 nnxxx 存在不全为零的数存在不全为零的数 使使nxxx,21即即 ,021nAAx 有非零解有非零解.nAr)(nA ,:21向量组向量组线性相关线性相关(按定义按定义)(转化为方程组转化为方程组)上面方程组有非零解上面方程组有非零解.(用矩阵的秩用矩阵的秩),(,),(,),(:742520111321 已已知知试讨论向量组试讨论向量组 及向量组及向量组 的的321,21,线性相关性线性相关性.解：设解：设1122330 xxx 即即123102012401570 xxx 系数行列式系数行列式1021240157 齐次线性方程组有非零解，所以向量齐次线性方程组有非零解，所以向量 线性相关线性相关123,向量向量12,对应分量不成比例，所以线性无关。对应分量不成比例，所以线性无关。例例1-13-,742,520,111321 问向量组问向量组,321 ,21 和和的线性相关性的线性相关性?000220201751421201,321 r2,321 r,321 的线性相关的线性相关.2,21 r,21 的线性无关的线性无关.例例1方法2例例2:n维向量维向量 10001000121,neee讨论它们的线性相关性讨论它们的线性相关性.12,nEe ee 结论结论:线性无关线性无关解解:上述向量组又称上述向量组又称基本向量组基本向量组或或单位坐标向量组单位坐标向量组.问题问题:n=3时时,321,eee分别是什么？分别是什么？-15-TTTt),3,1(,)3,2,1(,)1,1,1(321 t 取何值时取何值时,下列向量组线性相关下列向量组线性相关?tA31321111,321 记记03)(,321 AAr线线性性相相关关 512021011131321111 tttA当当 t=5 时时,上面向量组线性相关上面向量组线性相关.例例2-16-(参见参见P90定理定理5)(3)“部分相关部分相关,则整体相关则整体相关.反之反之”111,642,321321 观察知观察知 相关相关,从而从而 相关相关.21,321,使用方便的一些推论使用方便的一些推论(2)两个向量线性相关当且仅当它们的对应分量成比例两个向量线性相关当且仅当它们的对应分量成比例;一个零向量线性相关一个零向量线性相关,一个非零向量线性无关；一个非零向量线性无关；-17-(4)“个数大于维数必相关个数大于维数必相关”AA 的列组是的列组是 4 个个 3 维向量维向量,必相关必相关.mnAnm ,设设要证要证 A 的列组线性相关的列组线性相关.nmAr )(-18-(5)nA ,:21 ,:21nA无关无关,相关相关则则 可由可由 A 唯一表示唯一表示.(P106定理定理3.1)这由这由1)|()(nArArn nnxxx2211有唯一解有唯一解.nArAr )|()(又说明又说明:如果一个向量可用无关组表示如果一个向量可用无关组表示,则表法必然是唯一的则表法必然是唯一的.为以后引用方便为以后引用方便,给它起个名子叫给它起个名子叫唯一表示定理唯一表示定理.-19-写成矩阵乘积写成矩阵乘积:)()()(ArACrBr 从而从而(6)向量向量 组组 B 可由向量组可由向量组 A 表示表示,则则)()(ArBr(后者的后者的 A,B是矩阵是矩阵)存在矩阵存在矩阵 C 使得使得 B=ACmnnm ,2121 为以后引用方便为以后引用方便,给它起个名子叫给它起个名子叫表示不等式表示不等式.-20-(7)如果一个向量组能由向量个数比它少的向量组表示如果一个向量组能由向量个数比它少的向量组表示,则必相关则必相关.(Steinitz定理定理)2112 21243 21365 321,则则必相关必相关mB ,:21nA ,:21如果如果可由可由表示表示,又又 mn,则则 B 必相关必相关.mnArBr )()(-21-(8)“短的无关短的无关,则长的也无关则长的也无关”.反之反之 43,2121 是无关的是无关的.43,2121 也是无关的也是无关的.nBrArnnlnm )()(nBrnl )(