20212022学年新教材高中数学课时素养评价十七第二章圆锥曲线22第2课时双曲线方程及性质的应用含解析北师大版选择性必修第一册

十七双曲线方程及性质的应用 (15分钟30分)1已知m1且m0，则二次曲线1与1必有()A不同的顶点 B不同的焦距C相同的离心率 D相同的焦点【解析】选D.若m0，则1mm0，则二次曲线1表示焦点在x轴上的椭圆，此时c2a2b21m(m)1，故焦点坐标为(1，0)，因此与椭圆1具有相同的焦点当0m0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，1，x1x224，y1y230，由得，从而1，又因为a2b2c29，故a24，b25，所以E的方程为1.3设F是双曲线1(a0，b0)的右焦点，过点F作斜率为3的直线l与双曲线左、右支均相交，则双曲线离心率的取值范围为()A(1，) B(1，)C(，) D(，)【解析】选C.双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx，由斜率为3的直线l过双曲线的右焦点，且与双曲线左、右支各有一个交点，则3，即b29a2，c210a2，可得e.4(2019全国卷)双曲线C：1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若|PO|PF|，则PFO的面积为()A B C2 D3【解析】选A.由双曲线的方程1可得一条渐近线方程为yx；在PFO中|PO|PF|，过点P作PHOF.因为tan POF，OF，OHOF，所以PH；所以SPFO.5(2020天津高二检测)已知双曲线1的两条渐近线分别为直线l1，l2，经过右焦点F且垂直于l1的直线l分别交l1，l2于A，B两点，且2，求该双曲线的离心率【解析】双曲线的渐近线的方程为yx.不妨设直线l的方程为y，由可得，所以A.由可得，所以B，因为2，故，整理得到c22a22b2，即3c24a2，故e. (30分钟60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1(2020池州高二检测)与椭圆C：1共焦点且过点的双曲线的标准方程为()Ax21 By22x21C1 Dx21【解析】选C.设双曲线的方程为1(a0，b0)，根据题意得解得a2b22，所以该双曲线的标准方程为1.2(2020长沙高二检测)设点M，N均在双曲线C：1上运动，F1，F2是双曲线C的左、右焦点，则的最小值为()A2 B4 C2 D以上都不对【解析】选B.由题意，设O为F1F2的中点，根据向量的运算，可得2，又由N为双曲线C：1上的动点，可得a，所以22a4，即的最小值为4.3(2020沈阳高二检测)若圆x2(y)2r2与双曲线1没有公共点，则半径r的取值范围是()A0r B0rC0r D0r【解析】选C.若圆x22r2与双曲线1没有公共点，则半径r小于双曲线上的点到圆心距离的最小值，设双曲线上任意点P，圆心A，当y时，的最小值为，所以半径r的取值范围是0r0，b0)的实轴长为6，焦距为10，右焦点为F，则下列结论正确的是()AC的渐近线上的点到F距离的最小值为4BC的离心率为CC上的点到F距离的最小值为2D过F的最短的弦长为【解析】选AC.由题意知，2a6，2c10，即a3，c5，因为b2c2a2，所以b225916，解得b4，所以右焦点为F，双曲线C的渐近线方程为yx，对于选项A：由点F向双曲线C的渐近线作垂线时，垂线段的长度即为C的渐近线上的点到F距离的最小值，由点到直线的距离公式可得，d4，故选项A正确；对于选项B：因为a3，c5，所以双曲线C的离心率为e，故选项B错误；对于选项C：当双曲线C上的点为其右顶点时，此时双曲线C上的点到F的距离最小为2，故选项C正确；对于选项D：过点F且斜率为零的直线与双曲线的交点为A，B，此时过点F的最短弦为AB6，故选项D错误三、填空题(每小题5分，共10分)7如果双曲线1右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是_.【解析】如图，因为OAAF，F(c，0)，所以xA，因为A在右支上且不在顶点处，所以a，所以e2.答案：(2，)8已知双曲线C的方程为1(a0)，过原点O的直线l与双曲线C相交于A，B两点，点F为双曲线C的左焦点，且AFBF，则ABF的面积为_【解析】双曲线C的方程为1(a0)，过原点O的直线l与双曲线C相交于A，B两点，点F为双曲线C的左焦点，且AFBF，设AFm，BFn，可得mn2a，m2n24c2，可得：m2n22mn4a2，可得：mnc2a2b29.答案：9四、解答题(每小题10分，共20分)9已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，虚轴长为4.(1)求双曲线的标准方程(2)过点(0，1)，倾斜角为45的直线l与双曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，求OAB的面积【解析】(1)依题意可得解得a1，b2，c，所以双曲线的标准方程为x21.(2)直线l的方程为yx1，联立消去y得3x22x50，设A(x1，y1)，B(x2，y2)由根与系数的关系可得x1x2，x1x2，则|AB|x1x2|，原点到直线l的距离为d，所以SOAB|AB|d.所以OAB的面积为.10已知双曲线C：1.(1)求与双曲线C有共同的渐近线，且实轴长为6的双曲线的标准方程(2)P为双曲线C右支上一动点，点A的坐标是(4，0)，求|PA|的最小值【解析】(1)由题可设所求双曲线的方程为(0)，当0时，方程为1，令4得，即双曲线方程为1，当0时，方程为1，令3得3，即双曲线方程为1，所以双曲线的标准方程为1或1.(2)设P(x0，y0)(x02)，满足1，|PA|.则当x0时，|PA|有最小值，为.1已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|4|PF2|，则双曲线的离心率e的最大值为_.【解析】由双曲线定义知|PF1|PF2|2a，又已知|PF1|4|PF2|，所以|PF1|a，|PF2|a，在PF1F2中，由余弦定理得cos F1PF2e2，要求e的最大值，即求cos F1PF2的最小值，因为cos F1PF21，所以cos F1PF2e21，解得e，即e的最大值为.答案：2已知椭圆C1的方程为y21，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点，O为坐标原点(1)求双曲线C2的方程(2)若直线l：ykx与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且2，求k的取值范围【解析】(1)设双曲线C2的方程为1(a0，b0)，则a2413，c24，再由a2b2c2，得b21，故双曲线C2的方程为y21.(2)将ykx代入y21，得(13k2)x26kx90.由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得所以k21且k2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.所以x1x2y1y2x1x2(kx1)(kx2)(k21)x1x2k(x1x2)2.又因为2，即x1x2y1y22，所以2，即0，解得k23.由得k21，故k的取值范围为.