资源描述
常数，常数，SnSnn112221E2()dQPPEl0211()d()4qrq rR方程：方程：定义：定义：计算式：计算式：边界条件：边界条件：21nn1122（导体表面）（导体表面）（一般形式）（一般形式）（电介质分界面）（电介质分界面）3.1 静电位函数静电位函数 例例 3.1.1 求电偶极子的电位。求电偶极子的电位。解解 在球坐标系中在球坐标系中211202104)11(4)(rrrrqrrqrcos)2/(222rddrrcos22drr由于由于r d,cos21drr302020444cos)(rrrrqdrrpep 电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。dqp+q电偶极子电偶极子zodq1r2rr),(rPcos)2/(221rddrrErErrdd21sinCr 将将 和和 代入上式，代入上式，解得解得E 线方程为线方程为ErE电偶极子的电场强度电偶极子的电场强度)sincos2(430eerrq)sin11()(rerererErcos2CrCrp204cos等位线等位线电场线电场线电偶极子的场图电偶极子的场图电场线微分方程电场线微分方程：等位线方程等位线方程：000()()ddPPoOPOElErEr若选择点若选择点O为电位参考点，即为电位参考点，即()0O000()coszPErer EE r 在球坐标系中，取极轴与在球坐标系中，取极轴与 的方向的方向一致，即一致，即 ，则有，则有00zEe E0E000()()cosxzPEreE ee zE zree z 在圆柱坐标系中，取在圆柱坐标系中，取 与与x 轴方向一致，即轴方向一致，即 ，而，而00 xEe E0E0ExzOPr 例例3.1.2 求均匀电场的电位分布。求均匀电场的电位分布。解解 选定均匀电场空间中的一点选定均匀电场空间中的一点O为坐标原点，而任意点为坐标原点，而任意点P 的的位置矢量为位置矢量为 ，则，则r0()PEr xyzL-L(,)z zddlzRz 解解 由于轴对称性，电位与由于轴对称性，电位与 无关。无关。在带电线上位于在带电线上位于 处的线元处的线元 ，它，它到点到点 的距离的距离 ，则则22()Rzzddlz(,)Pz 02201()d4()LlLrzzz2200ln()4LlLzzzz220220()()ln4()()lzLzLzLzL例例3.1.3 求长度为求长度为2L、电荷线密度为、电荷线密度为 的均匀带电线的电位。的均匀带电线的电位。0l2222000220002()lnlnln422lllLLLLLrLL 在上式中若令在上式中若令 ，则可得到无限长直线电荷的电位。当，则可得到无限长直线电荷的电位。当 时，上式可写为时，上式可写为 LRL 当当 时，上式变为无穷大，这是因为电荷不是分布在有限时，上式变为无穷大，这是因为电荷不是分布在有限区域内，而将电位参考点选在无穷远点之故。区域内，而将电位参考点选在无穷远点之故。L 若选择若选择=a 的点为电位参考点，则有的点为电位参考点，则有002ln2lLCa 00()ln2lar在上式中加上一个任意常数在上式中加上一个任意常数002()ln2lLrC 例例3.1.4 两块无限大接地导体平板分别置于两块无限大接地导体平板分别置于 x=0 和和 x=a 处，处，在两板之间的在两板之间的 x=b 处有一面密度为处有一面密度为 的均匀电荷分布，如图所的均匀电荷分布，如图所示。求两导体平板之间的电位和电场。示。求两导体平板之间的电位和电场。0S 解解 在两块无限大接地导体平板之间，除在两块无限大接地导体平板之间，除 x=b 处有均匀面电处有均匀面电荷分布外，其余空间均无电荷分布，故电位函数满足一维拉普拉荷分布外，其余空间均无电荷分布，故电位函数满足一维拉普拉斯方程斯方程212d()0,(0)dxxbx222d()0,()dxbxax111222()()xC xDxC xD方程的解为方程的解为obaxy两块无限大平行板两块无限大平行板0S1()x2()x0110(),0SbaCDa 002200,SSbbCDa 010020()(),(0)()(),()SSa bxxxbabxaxbxaa 0110()()()SxabE xxea 1221122021000SDC aDC bDC bDCC 利用边界条件，有利用边界条件，有xb12()(),bb0210()()Sx bxxxx 处，处，最后得最后得0 x 处，处，1(0)0 x a2()0a 处，处，所以所以0220()()SxbE xxea 例例 3.1.5 均匀带电圆环的标量电位。圆环的半径为均匀带电圆环的标量电位。圆环的半径为a，电，电荷密度为荷密度为l。解解 如图所示，由于具有轴对称性，如图所示，由于具有轴对称性，标量电位与标量电位与 无关，计算无关，计算 xO z 平面上的标平面上的标量电位与电场强度即可量电位与电场强度即可。(sincos)rxzre rr ee(cossin)rxzre aa eeddla222221 2(sincos)sincos)rrraar221 22sincosraar均匀带电圆环均匀带电圆环axzyrRdlrPOl2221 20001d()d442sincosllCarlRraar对于远区，有对于远区，有r a，所以，所以21 21 2112121()sincos1sincosaaarrrrrrr1(1sincos)arr2001()(1sincos)d4laarrr00244laqrr于是得到于是得到在在z轴上轴上，02221 20001d()d442sincosllCarlRraar222 1 222 1 2000d(0,0,)4llaazrara电位的多极展开电位的多极展开 零极子零极子:处于一个几何点的电荷系统称为零极子，其电性质处于一个几何点的电荷系统称为零极子，其电性质 只需用总电量只需用总电量q q表示，其电位为表示，其电位为014qrr 电偶极子与电偶极矩电偶极子与电偶极矩,di iVipq rprrVp与座标系有关；对称系统与座标系有关；对称系统p0电偶极子场电偶极子场：3014p rrr 21r任意任意电荷系统的电偶极矩电荷系统的电偶极矩电偶极子电偶极子：两个等值异号相距微小距离的点电荷系统，总两个等值异号相距微小距离的点电荷系统，总 电量电量Q0，用电偶极矩，用电偶极矩 p=ql 表示其电特性表示其电特性Or(r)V 电四极子与电四极矩电四极子与电四极矩电四极子场电四极子场：230114xzplxrQzr 对于分量任意任意电荷系统的电四极矩电荷系统的电四极矩233,011124iji jijQx xrr xyzOQyzxyzOQxzxyzOQxx电四极子电四极子：两个大小相同、方向相反的电偶极子两个大小相同、方向相反的电偶极子p 构成构成 的系统，的系统，Q0，p0，电特性用电四极矩表示。，电特性用电四极矩表示。电四极矩场电四极矩场：VrxxQVjiijd)(3 电荷系统电位的多极展开电荷系统电位的多极展开 01d4VrrVrr当当r l 时，时，31,231)1(21)1(11jijijiiirxxxxrxxrrr31,203100)1(241)1(414)(jijiijiiirxxQrxprqrOVRPl rrr可展开为可展开为)(r)()()(210rrrVrqVd)(VrxpViid)(VrxxQVjiijd)(3 电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统 储存电荷储存电荷能力的物理量。能力的物理量。定义：定义：qC 孤立导体的电容孤立导体的电容 两个带等量异号电荷（两个带等量异号电荷（q）的的 导体构成电容器，其电容为导体构成电容器，其电容为12qqCU 特点特点：电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电：电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电 介质的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。介质的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。E02U1qq孤立导体所带的电量孤立导体所带的电量孤立导体的电位孤立导体的电位 电容器的电容电容器的电容3.2 导体系统的电容与部分电容导体系统的电容与部分电容 计算电容的方法计算电容的方法方法二方法二：E02U1qq方法一方法一：UqC qE21dlEUnESE SSSqdUqC U 例例 3.2.1 如图所示的平行双线传输线，导线半径为如图所示的平行双线传输线，导线半径为a，两导，两导线的轴线距离为线的轴线距离为D，且，且 D a，求传输线单位长度的电容。，求传输线单位长度的电容。l 解解 设两导线单位长度带电量分别为设两导线单位长度带电量分别为 。由于。由于D a，故可，故可近似地认为电荷分别均匀分布在两导线近似地认为电荷分别均匀分布在两导线的表面上。应用高斯定理和叠加原理，的表面上。应用高斯定理和叠加原理，可得到两导线之间的平面上任一点可得到两导线之间的平面上任一点P 的的电场强度电场强度011()()2lxE xexDx两导线间的电位差两导线间的电位差21011d()d2DalaUElxxDx001(F/m)ln()ln()lCUDaaD axyzxDaP0lnlDaa 例例3.2.2 同轴线内导体半径为同轴线内导体半径为a，外导体半径为，外导体半径为b，内外导体，内外导体间填充的介电常数为间填充的介电常数为 的均匀介质，的均匀介质，求同轴线单位长度的电容。求同轴线单位长度的电容。()2lEe内外导体间的电位差内外导体间的电位差1()dd2bblaaUEell 解解 设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为 和和 ，应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为故得同轴线单位长度的电容为故得同轴线单位长度的电容为12(F/m)ln(/)lCUb aab同轴线同轴线ln(/)2lb a部分（分布）电容部分（分布）电容三导体静电独立系统三导体静电独立系统多芯电缆多芯电缆120120单个导体上的电量单个导体上的电量qC 部分电容的概念部分电容的概念三个导体时，三个导体时，其中：其中：C12为导体为导体1、2间的电容；间的电容；C10为导体与大地间的电容为导体与大地间的电容N个导体存在，导体个导体存在，导体 i 上的电量与它和其它导体之间的电上的电量与它和其它导体之间的电 位差（包括大地）有关，即有位差（包括大地）有关，即有 11,2,3,Niijijiiijj iqCCi 22012212)(CCq1202q12C10C20C1q11021121)(CCq双导体时，一个导体上的电量双导体时，一个导体上的电量)(21 Cq物理意义：物理意义：导体系统中各导体间都存在电容导体系统中各导体间都存在电容各导体的电荷正比于导体间的电位差，其比例系数称为部各导体的电荷正比于导体间的电位差，其比例系数称为部 分电容分电容关于部份电容关于部份电容Cij的讨论的讨论 Cij为导体为导体 i 与导体与导体 j 之间的电容；而之间的电容；而Cii为导体为导体 i 本身的电容，本身的电容，即与大地间的电容，可写成即与大地间的电容，可写成Cii=Ci0 Cij=Cji （ij），对称性（互易性），对称性（互易性）Cij只与导体的几何形状、介质性质和各导体的相对位置有只与导体的几何形状、介质性质和各导体的相对位置有 关，与各导体所带电量无关关，与各导体所带电量无关例例3.2.3 两个同心导体球壳，半径分别为两个同心导体球壳，半径分别为a和和b，离地很，离地很远。求部分电容。远。求部分电容。解：解：由于球壳离地很远，可以认为电荷在导由于球壳离地很远，可以认为电荷在导体表面均匀分布。两个球壳上的电量分别为体表面均匀分布。两个球壳上的电量分别为 1121211122121222qCCqCC由于由于C12、C21、C11、C22与与q1、q2无关，可任意选择无关，可任意选择q1和和q2值。值。令令q1=0，q2=1，得，得12014b121111010004CCCb静电屏蔽静电屏蔽2122220011044CCCbb 孤立球的电容孤立球的电容bC22aC12=C21121212000111,0,444baqqabab 令令01211204104abbaCCabba 得得2100002112104444baCbabbabCCba 或或同心球电容同心球电容3.3 静电场能量与静电力静电场能量与静电力2e111ddd222VVVWD E VE E VEV 2e111222wD EE EE 1d2eVWVe12iiiWqe12iiiWq 点电荷系统的电场能量点电荷系统的电场能量 电容器中储存的电场能量电容器中储存的电场能量22e111222WqUCUqC 静电场能量静电场能量 电场能量密度电场能量密度 带电导体系统的电场能量带电导体系统的电场能量 例例 3.3.1 半径为半径为a 的球形空间内均匀分布有电荷体密度为的球形空间内均匀分布有电荷体密度为的电荷，试求静电场能量。的电荷，试求静电场能量。5202420622020220154)d49d49(21arrrarrraa10()3rrEera 解解：方法一方法一，利用利用 计算计算 VVEDWd21e 根据高斯定理求得电场强度根据高斯定理求得电场强度 3220()3raEerar故故VEVEVEDWVVVd21d21d2121220210e112ddaraErEr 方法二方法二：利用利用 计算计算 VVWd21e 故故e11d2VWV220()()23rara3200dd33arararrr250415a2222001()4d2 23ararr 例例3.3.2 原子核是一个带电为原子核是一个带电为q q 的点电荷，周围均匀分布有的点电荷，周围均匀分布有带负电的球形电子云。电子云的半径为带负电的球形电子云。电子云的半径为r0 0，其总电量为，其总电量为q q。求。求原子模型的结合能。原子模型的结合能。解解：结合能：结合能 =电子云自能电子云自能 +云与核的相互作用能。云与核的相互作用能。030 0()4rqrEerrr 201dd22VVWE D VEV自0022222003200 000 03()4 d()4 d242420rrqrqqrrrrrrr由高斯定理得电子云产生的电场由高斯定理得电子云产生的电场020()4rqEerrr q-qr00023220 000 00ddd(3)448rrrrqrqqrErrrrrrr 022232000 000 0133d(3)4 d24820rVqqrqWVrrrrrr自0032000 000 03(0)ddd448rrqrqqErrrrrr =20 03(0)8qWqr 互2220 00 00 033320840qqqWWWrrr 合互自1d2VWV自也可以由也可以由 计算计算W自自 虚位移法虚位移法：假设第假设第i个带电个带电导体在电场力导体在电场力Fi的作用下发的作用下发生位移生位移dgi，则电场力做功，则电场力做功dAFidgi，系统的静电能量改变，系统的静电能量改变为为dWe。其中其中dWS是与各带电体相连接的外电源所提供的能量。是与各带电体相连接的外电源所提供的能量。具体计算中，可假定各带电导体的电位不变，或假定各带具体计算中，可假定各带电导体的电位不变，或假定各带电导体的电荷不变。电导体的电荷不变。静电力静电力外源提供能量外源提供能量=电场力所作功电场力所作功+静电能量增量静电能量增量 dddSiieWF gW即即根据能量守恒定律，该系统的功能关系为根据能量守恒定律，该系统的功能关系为（1）各带电导体的电荷不变各带电导体的电荷不变说明：说明：表示取消外源后，电场力作功必须靠减少电场中静电表示取消外源后，电场力作功必须靠减少电场中静电 能量来实现。能量来实现。多导体系统多导体系统(K 断开断开)ddiieF gW eiiWFg q不变不变 此时，所有带电体都不和外电源此时，所有带电体都不和外电源相连接，则相连接，则 dWS0，因此，因此说明说明：外源提供的能量有一半用于静电能量的增量，另一半用外源提供的能量有一半用于静电能量的增量，另一半用 于电场力做功。于电场力做功。（2）各带电导体的电位不变各带电导体的电位不变多导体系统多导体系统(K 闭合闭合)1111dd()d22NNeiiiiiiWqq系统所改变的静电能量系统所改变的静电能量即即d2dSeWWddiieF gWeiiWFg 不变不变 此时，各带电导体应分别与外电压此时，各带电导体应分别与外电压源连接，外电压源向系统提供的能量源连接，外电压源向系统提供的能量11dd()dNNSiiiiiiWqq解法一解法一：电位不变电位不变cdWfe0222022dSUdCU2e21CUW dSC0例例3.3.3 试求图示平行板电容器极板的电场力。试求图示平行板电容器极板的电场力。平行板电容器平行板电容器取取 d 为广义坐标（相对位置坐标）为广义坐标（相对位置坐标）负号表示电场力企图使负号表示电场力企图使 d 减小，即电容增大。减小，即电容增大。解法二解法二：电荷不变电荷不变SdqCqW022e2210202SqdWfcq负号表示电场力企图使负号表示电场力企图使 d 减小，即电容增大。减小，即电容增大。2200220022222dUSESSDSf例例3.3.4 有一平行金属板电容器，有一平行金属板电容器，极板面积为极板面积为lb，板间距离为，板间距离为d，用一块，用一块介质片（宽度为介质片（宽度为b、厚度为、厚度为d，介电常数，介电常数为为）部分填充在两极板之间，如图所示。）部分填充在两极板之间，如图所示。设极板间外加电压为设极板间外加电压为U0，忽略边缘效应，忽略边缘效应，求介质片所受的静电力。求介质片所受的静电力。0()lx bbxCdd所以电容器内的电场能量为所以电容器内的电场能量为220001()22ebUWCUlxxd0200()2exUWbUFxd不变由由 可求得介质片受到的静电力为可求得介质片受到的静电力为eiiWFg不变 解解 平行板电容器的电容为平行板电容器的电容为部分填充介质的平行板电容器部分填充介质的平行板电容器dbU0lx由于由于0，所以介质片所，所以介质片所受到的力有将其拉受到的力有将其拉进电容器的趋势进电容器的趋势22022()eqdqWCblxx2020()2()exqWdqFxblxx 不变000()bUqCUlxxd200()2xbUFd 此题也可用式此题也可用式 来计算来计算eiiWFg q不变不变设极板上保持总电荷设极板上保持总电荷q不变，则不变，则由此可得由此可得由于由于同样得到同样得到EJ0d0dlESJCS00EJ微分形式：微分形式：积分形式：积分形式：E02恒定电场恒定电场的基本方程的基本方程本构关系：本构关系：电位函数电位函数0)(21nJJe0)(21nEEe场矢量的边界条件场矢量的边界条件n2211222111n21n)()()(JeeSJJDD导电媒质分界面上的电荷面密度导电媒质分界面上的电荷面密度nn221121,电位的边界条件电位的边界条件3.4 恒定电场恒定电场恒定电场与静电场的比拟恒定电场与静电场的比拟 对应物理量对应物理量静电场静电场EEDJqI恒定电场恒定电场GC基本方程基本方程ED,EEJ0202n2n1t2t1 DDEEn2n1t2t1 JJEE静电场（静电场（区域）区域）00d,0dlESJCS0,0EJ,E0,0DEnn221121 ,nn221121 ,本构关系本构关系位函数位函数边界条件边界条件恒定电场（电源外）恒定电场（电源外）0d,0dlESDCS 如果两种场具有相同的场方程和相同的边界条件，则其解如果两种场具有相同的场方程和相同的边界条件，则其解也相同。只需求出一种场的解，就可以用对应的物理量作替换也相同。只需求出一种场的解，就可以用对应的物理量作替换而得到另一种场的解。这种求解场的方法称为而得到另一种场的解。这种求解场的方法称为比拟法比拟法。,D E 0U静电场静电场 电极电极1 电极电极2S1S2,J E 0U恒定电场恒定电场 电极电极1 电极电极2S1S2 工程上，常在电容器两极板之间、同轴电缆的芯线与外壳之工程上，常在电容器两极板之间、同轴电缆的芯线与外壳之间，填充不导电的材料作电绝缘。这些绝缘材料的电导率远远小间，填充不导电的材料作电绝缘。这些绝缘材料的电导率远远小于金属材料的电导率，但毕竟不为零，因而当在电极间加上电压于金属材料的电导率，但毕竟不为零，因而当在电极间加上电压U 时，必定会有微小的漏电流时，必定会有微小的漏电流 J 存在。存在。UIG IUGR1电阻电阻,J E 0U恒定电场恒定电场 电极电极1 电极电极2S1S2 漏电导漏电导：绝缘电阻绝缘电阻：CGCG 电导的计算电导的计算 方法一方法一：方法二方法二：（静电比拟法）（静电比拟法）方法三方法三：IJEUGUEJIG,J E 0U恒定电场恒定电场 电极电极1 电极电极2S1S2 例例3.4.1一个有两层介质的平行板电容器，其参数分别为一个有两层介质的平行板电容器，其参数分别为 1、1 和和 2、2，外加电压，外加电压U。求介质面上的自由电荷密度。求介质面上的自由电荷密度。解解：极板是理想导体，：极板是理想导体，为等位面，电流沿为等位面，电流沿z 方向。方向。1n2nJJ 由由1n2nSDD由由U1d2d11,22,zo12121 12 212()ddU UUEdEdJ12121122,JJJJEE12JJJ1212()ddJ U111SDJ上211 22 121212112()SDDJUdd 介222SDJ下 例例3.4.2 填充有两层介质的同轴电缆，内导体半径为填充有两层介质的同轴电缆，内导体半径为a，外导体半径为外导体半径为c，介质的分界面半径为，介质的分界面半径为b。两层介质的介电常。两层介质的介电常数为数为 1 和和 2、电导率为、电导率为 1 和和 2。设内导体的电压为。设内导体的电压为U0，外，外导体接地。求：（导体接地。求：（1）两导体之间的电流密度和电场强度分）两导体之间的电流密度和电场强度分布；（布；（2）介质分界面上的自由电荷面密度。）介质分界面上的自由电荷面密度。外导体外导体内导体内导体介质介质2 2介质介质1J1212Iabc11、22、0U （1）设同轴电缆中单位长度的径向电流为）设同轴电缆中单位长度的径向电流为 I，则由则由SdJSI111()2JIEeab 介质中的电场介质中的电场222()2JIEebc 解解 电流由内导体流向外导体，在分界面上只有法向分量，电流由内导体流向外导体，在分界面上只有法向分量，所以电流密度成轴对称分布。可先假设电流为所以电流密度成轴对称分布。可先假设电流为I，求出电流密度求出电流密度 的表达式，然后求出的表达式，然后求出 和和 ，再由，再由 确定出电流确定出电流 I。J012ddbcabUEE1E2E()2IJeac12021()ln()ln()UJeacb ac b 20121()ln()ln()UEeabb ac b 10221()ln()ln()UEebcb ac b 故两种介质中的电流密度和电场强度分别为故两种介质中的电流密度和电场强度分别为120212ln()ln()UIb ac b 01212ddln()ln()22bcabIbIcUEEab由于由于于是得到于是得到12011121ln()ln()SaUeEab ac b 21022221ln()ln()ScUeEcb ac b 1221021()ln()ln()Ubb ac b nSeD （2）由）由 可得，介质可得，介质1内表面的电荷面密度为内表面的电荷面密度为介质介质2外表面的电荷面密度为外表面的电荷面密度为两种介质分界面上的电荷面密度为两种介质分界面上的电荷面密度为J2112I122211()SbeEeE 例例3.4.3 求同轴电缆的绝缘电阻。设求同轴电缆的绝缘电阻。设内外的半径分别为内外的半径分别为a、b，长度为长度为l，其间，其间媒质的电导率为媒质的电导率为、介电常数为、介电常数为。解解：设由内导体流向外导体的电流为设由内导体流向外导体的电流为IablGRln211ddln22baIIbUlla ElbalIJ2lIJE2)/ln(2ablUIG012222000,0U 例例3.4.4 在一块厚度为在一块厚度为h 的导电板上，的导电板上，由两个半径为由两个半径为 r1 和和 r2 的圆弧和夹角为的圆弧和夹角为 0 的两半径割出的一段环形导电媒质，如图的两半径割出的一段环形导电媒质，如图所示。计算沿所示。计算沿 方向的两电极之间的电方向的两电极之间的电阻。设导电板的电导率为阻。设导电板的电导率为。解解：设在沿设在沿 方向的两电极之间外方向的两电极之间外加电压加电压U0，则电流沿则电流沿 方向流动，而且方向流动，而且电流密度是随电流密度是随 变化的，变化的，电位电位 只是变只是变量量 的函数。的函数。代入边界条件代入边界条件环形导电媒质块环形导电媒质块r1hr2 0J21CC10020,CUCU电流密度电流密度00UJEe两电极之间的两电极之间的电流电流21002001ddlnrSrUU hrIJSee hr故故沿沿 方向的两电极之间的电阻方向的两电极之间的电阻为为0021()ln(/)URIhrr000UU所以所以00UEee 环形导电媒质块环形导电媒质块r1hr2 0J 定义定义BA3.5 恒定磁场恒定磁场矢量磁位与标量磁位矢量磁位与标量磁位 微分方程微分方程(0)J JA202 A(0)A VVRrJrAd)(4)(磁矢位的边界条件磁矢位的边界条件 磁矢位的计算公式：磁矢位的计算公式：12AAn121211()SeAAJCSSlASASBddd 利用磁矢位计算磁通量：利用磁矢位计算磁通量：例例 3.5.1 求小圆环电流回路的远区矢量磁位与磁场。小圆形回求小圆环电流回路的远区矢量磁位与磁场。小圆形回路的半径为路的半径为a，回路中的电流为，回路中的电流为I。解解 如图所示，由于具有轴对称性，如图所示，由于具有轴对称性，矢量磁位和磁场均矢量磁位和磁场均与与 无关，计算无关，计算xz平面平面上的矢量磁位与磁场上的矢量磁位与磁场将不失一般性。将不失一般性。(sincos)rxzre rr ee(cossin)rxzre aa eedd(sincos)dxyle aeea 222221 2(sincos)sincos)rrraar221 22sincosraar小圆环电流小圆环电流aIxzyrRdlrIP对于远区，有对于远区，有r a，所以，所以21 21 2112121()sincos1sincosaaarrrrrrr1(1sincos)arr2001()(1sincos)(sincos)d4xyIaaA reerrrrrr202sin4yI aer r由于在由于在 =0面上面上 ，所以上式可写成，所以上式可写成yeerr于是得到于是得到20022()sinsin44I aISA reerr rrrr11(sin)()sinrBAeAerArrr rrrr03(2cossin)4rISeerrr式中式中S=a2是小圆环的面积。是小圆环的面积。载流小圆环可看作为磁偶极子，载流小圆环可看作为磁偶极子，为磁偶极子的磁矩为磁偶极子的磁矩（或磁偶极矩），则（或磁偶极矩），则mpISrr02()sin4mpA rerrrr或或 03()4mA rprrrrrr03()(2cossin)4mrpB reerrrrr 解解：先长度为：先长度为2L的直线电流的磁矢位。电流元的直线电流的磁矢位。电流元 到到点点 的距离的距离 。则。则22()RzzddzI le I z(,)Pz 0221()d4()LzLIA rezzz220ln()4LzLIezzzz 22022()()ln4()()zzLzLIezLzL 例例 3.5.2 求无限长线电流求无限长线电流 I 的磁矢位，设电流沿的磁矢位，设电流沿+z方向流动。方向流动。与计算无限长线电荷的电位一样，令与计算无限长线电荷的电位一样，令 可得到无限长线电流可得到无限长线电流的磁矢位的磁矢位 L 01()ln2zIA reCxyzL-L(,)z zddzI le I zR220000,mmmqa Mqa Mq 下下上上上上当当r l 时，可将磁柱体等效成磁偶极子，时，可将磁柱体等效成磁偶极子，则利用与静电场的比较和电偶极子场，有则利用与静电场的比较和电偶极子场，有33001144mmprp rrr 200mmzpqlpq leaM l：其中其中0mB 解解：M为常数，为常数，m=0，柱内没有磁荷。在柱的两个端面上，柱内没有磁荷。在柱的两个端面上，磁化磁荷为磁化磁荷为0000,mmMM 下下上上R1R2rPzx-l/2l/2M 例例3.3.3半径为半径为a、长为、长为l的圆柱永磁体，沿轴向均匀磁化，的圆柱永磁体，沿轴向均匀磁化，其磁化强度为其磁化强度为 。求远区的磁感应强度。求远区的磁感应强度。0zMe M 1.磁通与磁链磁通与磁链 ii3.6 电感电感 单匝线圈形成的回路的磁链定单匝线圈形成的回路的磁链定 义为穿过该回路的磁通量义为穿过该回路的磁通量 多匝线圈形成的导线回路的磁多匝线圈形成的导线回路的磁 链定义为所有线圈的磁通总和链定义为所有线圈的磁通总和 CI 细回路细回路 粗导线构成的回路，磁链分为粗导线构成的回路，磁链分为 两部分：一部分是粗导线包围两部分：一部分是粗导线包围 的、磁力线不穿过导体的外磁通量的、磁力线不穿过导体的外磁通量 o；另一部分是磁力线穿过；另一部分是磁力线穿过 导体、只有粗导线的一部分包围的内磁通量导体、只有粗导线的一部分包围的内磁通量 i。iCI o粗回路粗回路 设回路设回路C中的电流为中的电流为I，所产生的磁场与回路，所产生的磁场与回路 C 交链的磁链为交链的磁链为，则磁链，则磁链 与回路与回路 C 中的电流中的电流 I 有正比关系，其比值有正比关系，其比值IL 称为回路称为回路 C 的自感系数，简称自感。的自感系数，简称自感。外自感外自感ILii ILoo 2.自感自感 内自感；内自感；粗导体回路的自感：粗导体回路的自感：L=Li+Lo 自感只与回路的几何形状、尺寸以及周围磁介质有关，与电自感只与回路的几何形状、尺寸以及周围磁介质有关，与电流无关。流无关。自感的特点：自感的特点：解解：先求内导体的内自感。设同轴：先求内导体的内自感。设同轴线中的电流为线中的电流为I，由安培环路定理，由安培环路定理2222diCIIHlIaa022,22iiIIHBaa穿过沿轴线单位长度的矩形面积元穿过沿轴线单位长度的矩形面积元dS=d 的磁通为的磁通为02ddd2iiIBSa(0)a 例例3.6.1 求同轴线单位长度的自感。设内导体半径为求同轴线单位长度的自感。设内导体半径为a，外导，外导体厚度可忽略不计，其半径为体厚度可忽略不计，其半径为b，空气填充。，空气填充。得得与与di交链的电流为交链的电流为22IIa 则与则与di相应的磁链为相应的磁链为304ddd2iiIIIaabadIiB因此内导体中总的内磁链为因此内导体中总的内磁链为30040dd28aiiIIa08iiLI故单位长度的内自感为故单位长度的内自感为再求内、外导体间的外自感。再求内、外导体间的外自感。00ddln22booaIIba00ln82iobLLLa20IB0dd2ooId则则0ln2oobLIa故单位长度的外自感为故单位长度的外自感为单位长度的总自感为单位长度的总自感为 例例3.6.2 计算平行双线传输线单位的长度的自感。设导线的半计算平行双线传输线单位的长度的自感。设导线的半径为径为a，两导线的间距为，两导线的间距为D，且，且D a。导线及周围媒质的磁导率。导线及周围媒质的磁导率为为0。0011d()dln2DaoaIIDaBSxxDxa011()()2yIB xexDx穿过两导线之间沿轴线方向为单位长度的面积的外磁链为穿过两导线之间沿轴线方向为单位长度的面积的外磁链为 解解 设两导线流过的电流为设两导线流过的电流为I。由。由于于D a，故可近似地认为导线中的，故可近似地认为导线中的电流是均匀分布的。应用安培环路定电流是均匀分布的。应用安培环路定理和叠加原理，可得到两导线之间的理和叠加原理，可得到两导线之间的平面上任一点平面上任一点P 的磁感应强度为的磁感应强度为xyzxDaPII于是得到平行双线传输线单位的长度的外自感于是得到平行双线传输线单位的长度的外自感00lnlnooD aDLIaa00ln4ioDLLLa00284iL 两根导线单位的长度的内自感为两根导线单位的长度的内自感为故得到平行双线传输线单位的长度的自感为故得到平行双线传输线单位的长度的自感为 对两个彼此邻近的闭合回路对两个彼此邻近的闭合回路C1和回路和回路C2，当回路，当回路C1中通过电中通过电流流 I1时，不仅与回路时，不仅与回路C1交链的磁交链的磁链与链与I1成正比，而且与回路成正比，而且与回路C2交交链的磁链链的磁链 12也与也与I1成正比，其比成正比，其比例系数例系数12121IM 称为回路称为回路C1 对回路对回路C2 的互感系数，简称互感。的互感系数，简称互感。21212IM 3.互感互感同理，回路同理，回路 C2 对回路对回路 C1 的互感为的互感为C1C2I1I2Ro1dl2dl2r1r 互感只与回路的几何形状、尺寸、两回路的相对位置以及周围互感只与回路的几何形状、尺寸、两回路的相对位置以及周围 磁介质有关，而与电流无关。磁介质有关，而与电流无关。满足互易关系，即满足互易关系，即M12=M21 当与回路交链的互感磁通与自感磁通具有相同的符号时，互当与回路交链的互感磁通与自感磁通具有相同的符号时，互 感系数感系数M为正值；反之，则互感系数为正值；反之，则互感系数M为负值为负值。互感的特点：互感的特点：101112d()4CIlA rR120122112dd4CCllMMMR 4.4.纽曼公式纽曼公式 如图所示的两个如图所示的两个回路回路C1和回路和回路C2，回路回路C1中的电流中的电流 I1在回路在回路C2上的任一点上的任一点产生的矢量磁位产生的矢量磁位 2121210121dd4dCCCRllIlA回路回路C1中的电流中的电流 I1产生的磁场与回路产生的磁场与回路C2交链的磁链为交链的磁链为C1C2I1I2Ro1dl2dl2r1r1201212dd4CCllMR 故得故得2102121dd4CCllMR 同理同理纽曼公式纽曼公式02IBe0001dd dd22dbzdbSddIIzBSz由图由图中中可知可知()tan(3)3()zbdbd长直导线与三角形回路长直导线与三角形回路Idz60bddSz穿过三角形回路面积的磁通为穿过三角形回路面积的磁通为 解解 设长直导线中的电流为设长直导线中的电流为I，根据根据安培环路定律，得到安培环路定律，得到 例例3.6.3 如图所示，长直导线与三角如图所示，长直导线与三角形导体回路共面，求它们之间的互感。形导体回路共面，求它们之间的互感。031()d2dbdIbd03()ln(1)2Ibbdbd03()ln(1)2IbMbdbId因此因此故长直导线与三角形导体回路的互感为故长直导线与三角形导体回路的互感为 例例3.6.4 如图所示，两个互相平行且共轴的圆形线圈如图所示，两个互相平行且共轴的圆形线圈C1和和C2，半径分别为半径分别为a1和和a2，中心相距为，中心相距为d。求它们之间的互感。求它们之间的互感。12120021212121ddd d cos44CCCCllllMrrrr 2221 2211212212cos()rrdaaa a于是有于是有 2201221212221 200121221cos()dd42cos()a aMdaaa a 20122221 201212cos d22cos a adaaa a 解解 利用纽曼公式来计算，则有利用纽曼公式来计算，则有两个平行且共轴的线圈两个平行且共轴的线圈2Cd1a2a1C1dl2dl21xyz121式中式中=2 1为为 与与 之间的夹角，之间的夹角，dl1=a1d 1、dl2=a1d 2，且，且1dl2dl 若若d a1，则，则2221 2221 21 212121222222cos2cos 1a adaaa adada221 2122222cos1a adada于是于是 222012012122222 3 2220222cos1cos d22a aa aa aMdadada 一般情况下，上述积分只能用椭圆积分来表示。但是若一般情况下，上述积分只能用椭圆积分来表示。但是若d a1或或d a2时，可进行近似计算。时，可进行近似计算。
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