指数型、对数型函数模型的应用实例课件

第第2 2课时课时 指数型、对数型指数型、对数型函数模型的应用实例函数模型的应用实例 2003 2003年年5 5月月8 8日，西安交通大学医学院紧急启动日，西安交通大学医学院紧急启动“建立非典建立非典流行趋势预测与控制策略数学模型流行趋势预测与控制策略数学模型”研究项目，马知恩教授率研究项目，马知恩教授率领一批专家昼夜攻关，于领一批专家昼夜攻关，于5 5月月1919日初步完成了第一批成果，并制日初步完成了第一批成果，并制成了供决策部门参考的应用软件。这一数学模型利用实际数据成了供决策部门参考的应用软件。这一数学模型利用实际数据拟合参数，并对全国和北京、山西等地的疫情进行了计算仿真，拟合参数，并对全国和北京、山西等地的疫情进行了计算仿真，结果指出，将患者及时隔离对于抗击非典至关重要结果指出，将患者及时隔离对于抗击非典至关重要.分析报告说，分析报告说，就全国而论，非典病人延迟隔离就全国而论，非典病人延迟隔离1 1天，就医人数将增加天，就医人数将增加10001000人左人左右；若外界输入右；若外界输入10001000人中包含一个病人和一个潜伏病人，将增人中包含一个病人和一个潜伏病人，将增加患病人数加患病人数100100人左右；若人左右；若4 4月月2121日以后，政府不采取隔离措施，日以后，政府不采取隔离措施，则高峰期病人人数将达则高峰期病人人数将达6060万人。这项研究在充分考虑传染病控万人。这项研究在充分考虑传染病控制中心每日发布的数据，建立了非典流行趋势预测动力学模型制中心每日发布的数据，建立了非典流行趋势预测动力学模型和优化控制模型，并对非典未来的流行趋势做了分析预测。和优化控制模型，并对非典未来的流行趋势做了分析预测。例例1.1.按复利计算利息的一种储蓄，本金为按复利计算利息的一种储蓄，本金为a a元，每期利率元，每期利率为为r r，设本利和为，设本利和为y y，存期为，存期为x x，写出本利和，写出本利和y y随存期随存期x x变化变化的函数式。如果存入本金的函数式。如果存入本金10001000元，每期利率元，每期利率2.25%2.25%，试计，试计算算5 5期后的本利和是多少？期后的本利和是多少？复利是计算利率的一个方法，即把前一期的利息和本金加复利是计算利率的一个方法，即把前一期的利息和本金加在一起做本金，再计算下一期的利息，设本金为在一起做本金，再计算下一期的利息，设本金为P P，每期利，每期利率为率为r r，本利和为，本利和为y,y,存期为存期为x,x,则复利函数式为则复利函数式为y=p(1+r)y=p(1+r)x x.思路分析思路分析 解：解：1 1期后本利和为期后本利和为：1yaara(1r)2 2期后本利和为期后本利和为：22ya(1r)x x期后，本利和为期后，本利和为：xya(1r)将将a=1000a=1000元，元，r=2.25%r=2.25%，x=5x=5代入上式：代入上式：55y1000(1 2.25%)1000 1.0225 由计算器算得：由计算器算得：y=1117.68y=1117.68（元）（元）其中其中t t表示经过的时间，表示经过的时间，表示表示t t0 0时的人口数，时的人口数，r r表示人口的年平均增长率表示人口的年平均增长率.例例2.2.人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据。口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据。早在早在17981798年，英国经济学家马尔萨斯（年，英国经济学家马尔萨斯（T.R.Malthus,T.R.Malthus,1766-1834)1766-1834)就提出了自然状态下的人口增长模型：就提出了自然状态下的人口增长模型：rt0yy e0y年份19501950195119511952195219531953195419541955195519561956195719571958195819591959人数万人5519655196563005630057482574825879658796602666026661456614566282862828645636456365994659946720767207下表是下表是1950195019591959年我国的人口数据资料：年我国的人口数据资料：(1)(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到率（精确到0.00010.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符期具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符;（2 2）如果按表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到）如果按表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到1313亿亿?解解:（1 1）设设1951195119591959年的人口增长率分别为年的人口增长率分别为于是于是,1951,195119591959年期间年期间,我国人口的年均增长率为我国人口的年均增长率为由由155196(1r)56300可得可得19511951的人口增长率为的人口增长率为1r0.0200同理可得，同理可得，2r0.02103r0.02294r0.02505r0.01976r0.02237r0.02768r0.02229r0.0184123456789r,r,r,r,r,r,r,r,r.123456789r(rrrrrrrrr)90.0221根据表格中的数据作出散点图根据表格中的数据作出散点图,并作出函数的图象并作出函数的图象.令令0y55196,则我国在则我国在1950195019591959年期间的人口年期间的人口增长模型为增长模型为0.0221ty55196e,tN.由图可以看出由图可以看出,所得模型所得模型 与与1950195019591959年的实际人口数据基本吻合年的实际人口数据基本吻合.0.0221ty55196e,tN所以所以,如果按上表的增长趋势如果按上表的增长趋势,那么大约在那么大约在19501950年后的第年后的第3939年年(即即19891989年年)我国的人口就已达到我国的人口就已达到1313亿亿.由此可以看由此可以看到到,如果不实行计划生育如果不实行计划生育,而是让人口自然增长而是让人口自然增长,今天我国今天我国将面临难以承受的人口压力将面临难以承受的人口压力.（1 1）将）将y=130000y=130000代入代入0.0221ty55196e,tN.t38.76.由计算器可得由计算器可得（2 2）海拔为）海拔为h h米处的大气压强为米处的大气压强为0.5066(100.5066(105 5Pa)Pa)，求该处的海拔求该处的海拔h h （c,kc,k为常量）为常量）y=cey=cekxkx在海拔在海拔5(km)5(km)处的大气压强为处的大气压强为0.5683(100.5683(105 5Pa)Pa)，在海拔在海拔5.5(km)5.5(km)处的大气压强为处的大气压强为0.5366(100.5366(105 5Pa)Pa)，（1 1）问海拔）问海拔6.712(km)6.712(km)处的大气压强约为多少？处的大气压强约为多少？（精确到（精确到0.0001)0.0001)y y与与x x之间的函数关系式是之间的函数关系式是 是是y(10y(105 5Pa)Pa)，练习练习:科学研究表明：在海拔科学研究表明：在海拔x(km)x(km)处的大气压强处的大气压强解：解：(1)(1)把把x=5,y=0.5683,x=5.5,y=0.5366x=5,y=0.5683,x=5.5,y=0.5366代入函数表达式代入函数表达式y=cey=cekxkx ，得：，得：把把 x=6.712x=6.712代入上述函数式，得代入上述函数式，得0.4668(100.4668(105 5Pa)Pa)答：答：6.712(km)6.712(km)高空的大气压强为高空的大气压强为0.4668(100.4668(105 5Pa).Pa).55.50.56830.5366kkc ec e0.1151.01kc 0.11551.01(10 Pa)xye0.115 6.7121.01ye(2)(2)由由1.011.01e e-0.115x-0.115x=0.5066=0.5066答答:该处的海拔为该处的海拔为6(km)6(km)解得解得x=6(km)x=6(km)0.50660.115ln1.01x例例3 3 以下是某地不同身高的未成年男性的体重平均值表以下是某地不同身高的未成年男性的体重平均值表身高身高(cm)体重体重(kg)(kg)60607070808090901001001101101201201301301401401501501601601701706.136.13 7.907.909.999.9912.1512.1515.0215.0217.5017.5026.8626.8620.9220.9231.1131.1138.8538.8547.2547.25 55.0555.05根据上表中各组对应的数据，能否建立恰当的函数模型，根据上表中各组对应的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性身高使它能比较近似地反映这个地区未成年男性身高ykgykg与身与身高高xcmxcm的函数关系？试写出这个函数的解析式的函数关系？试写出这个函数的解析式若体重超过相同身高男性体重平均值的若体重超过相同身高男性体重平均值的1.21.2倍为偏胖，倍为偏胖，低于低于0.80.8倍为偏瘦，那么该地某校一男生身高倍为偏瘦，那么该地某校一男生身高 175 cm 175 cm 体体重重78 kg78 kg，他的体重是否正常？，他的体重是否正常？分析：分析：(1)(1)根据上表的数据描点画出图象（如下）根据上表的数据描点画出图象（如下）(2)(2)观察这个图象，发现各点的连线是一条向上弯曲的曲观察这个图象，发现各点的连线是一条向上弯曲的曲线，根据这些点的走向趋势，我们可以考虑用函数线，根据这些点的走向趋势，我们可以考虑用函数y=y=abx来近似反映来近似反映.解：解：将已知数据输入计算机，画出图像；将已知数据输入计算机，画出图像；如果取其中的两组数据（如果取其中的两组数据（7070，7.907.90）（）（160160，47.2547.25）xya b根据图像，选择函数根据图像，选择函数进行拟合进行拟合代入函数代入函数xyab由计算器得由计算器得a2,b1.02xy2 1.02从而函数模型为从而函数模型为将已知数据代人所得函数关系式，或作出所得函数的图将已知数据代人所得函数关系式，或作出所得函数的图象，可知此函数能较好地反映该地区未成年男性体重与象，可知此函数能较好地反映该地区未成年男性体重与身高的关系身高的关系所以，该地区未成年男性体重关于身高的函数关系式可所以，该地区未成年男性体重关于身高的函数关系式可以选为以选为xy2 1.02 xy2 1.02 175y2 1.02将将x=175x=175代人代人得得 有计算器计算得有计算器计算得 y y63.9863.98，所以，这个男生体重偏胖所以，这个男生体重偏胖781.221.263.98由于由于点评：点评：函数拟合与预测的步骤：函数拟合与预测的步骤：能够根据原始数据、表格能够根据原始数据、表格,绘出散点图；绘出散点图；通过考察散点图通过考察散点图,画出画出“最贴近最贴近”的直线或曲线，的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线即拟合直线或拟合曲线如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，一如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，一“点点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况几乎是不可能发生的这种情况几乎是不可能发生的利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据控制，为决策和管理提供依据因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是是“最贴近最贴近”的了的了根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式数关系式为常数为常数)，xya bc,(a,b,c已知四月份该产品的产量为已知四月份该产品的产量为1.371.37万件，万件，请问：用以上那个函数作模拟函数较好？说明理由。请问：用以上那个函数作模拟函数较好？说明理由。练习：练习：某工厂今年某工厂今年1 1月、月、2 2月、月、3 3月生产某产品分别为月生产某产品分别为1 1万万件、件、1.21.2万件、万件、1.31.3万件，为估计以后每月的产量，以这万件，为估计以后每月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y y与月份与月份x x的关系，模拟函数可选用二次函数或的关系，模拟函数可选用二次函数或2ypxqxr(p0)解：解：设二次函数为：设二次函数为：p q r 1p0.054p 2q r 1.2q0.359p 3q r 1.3r0.7 由已知得由已知得2y0.05x0.35x0.7 所以所以21y0.05 40.35 4 0.7 1.3 当当x=4x=4时，时，又对于函数又对于函数 xy a bc 23abc1a0.8abc1.2b0.5abc1.3c1.4 由已知得：由已知得：x1y0.8()1.42 所以所以421y0.8()1.41.352 当当x=4x=4时，时，21|y1.37|0.020.07|y1.37|由四月份的实际产量为由四月份的实际产量为1.371.37万件万件,选用函数选用函数 作模拟函数较好。作模拟函数较好。x1y0.8()1.42（2 2）利用待定系数法，确定具体函数模型；）利用待定系数法，确定具体函数模型；1.1.利用给定函数模型或建立确定的函数模型解决实际问利用给定函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题的方法题的方法:（3 3）对所确定的函数模型进行适当的评价；）对所确定的函数模型进行适当的评价；（1 1）根据题意选用恰当的函数模型来描述所涉及的数量）根据题意选用恰当的函数模型来描述所涉及的数量之间的关系；之间的关系；（4 4）根据实际问题对模型进行适当的修正）根据实际问题对模型进行适当的修正.2.2.本节课的体会：根据收集到的数据，作出散点图，本节课的体会：根据收集到的数据，作出散点图，然后通过观察图象，判断问题适用的函数模型，借助然后通过观察图象，判断问题适用的函数模型，借助计算器或计算机数据处理功能，利用待定系数法得出计算器或计算机数据处理功能，利用待定系数法得出具体的函数解析式，再利用得到的函数模型解决相应具体的函数解析式，再利用得到的函数模型解决相应的问题，这是函数应用的一个基本过程的问题，这是函数应用的一个基本过程.勇气产生在斗争中，勇气是在每天对困难的顽强抵抗中养成的。