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中国石油大学统计系条条 件件 概概 率率乘乘 法法 公公 式式全全 概概 率率 公公 式式贝叶斯（贝叶斯（BayesBayes)公式公式1.5 1.5 条条 件件 概概 率率中国石油大学统计系 引例引例 设设 1010 件产品中有件产品中有 5 5 件不合格品，而件不合格品，而 5 5 件件不合格品中有不合格品中有 3 3 件次品件次品 2 2 件废品，现从件废品，现从 1010 件产品中任件产品中任取一件，求取一件，求（1 1）取得废品的概率；）取得废品的概率；（2 2）已知取到的）已知取到的是不合格品是不合格品,它是废品的概率。它是废品的概率。（2 2）已知取到的是不合格品，它是废品的概率为）已知取到的是不合格品，它是废品的概率为52)|(BAP)()(BnABn)()()()(nBnnABn)()(BPABP条条 件件 概概 率率Conditional Probability 中国石油大学统计系 可可以以验验证证)|(BAP满满足足公公理理化化定定义义，即即 （1 1）1)|(0BAP；（2 2）1)|(BP；中国石油大学统计系 由由引引例例及及定定义义 1 1-3 3 不不难难总总结结出出求求条条件件概概率率的的一一般般方方法法：01事事件件B发发生生后后，在在缩缩小小的的样样本本空空间间中中计计算算事事件件A发发生生的的概概率率)|(BAP；既既然然不不用用定定义义 1 1-3 3 也也可可求求条条件件概概率率)|(BAP，因因此此上上述述定定义义式式可可反反过过来来应应用用，即即先先求求概概率率)|(BAP、)(BP，由此计算由此计算)(ABP。即得计算积事件概率的乘法公式：即得计算积事件概率的乘法公式：01事事件件B发发生生后后，在在缩缩小小的的样样本本空空间间中中计计算算事事件件A发发生生的的概概率率)|(BAP；02在在样样本本空空间间中中先先计计算算)(ABP、)(BP，再再按按定定义义计计算算)|(BAP。中国石油大学统计系(1)设设P(B)0，且，且A B，则下列必然成立的是，则下列必然成立的是()P(A)P(A|B)P(A)P(A|B)(2)P(A)=0.6,P(A B)=0.84,P(B|A)=0.4,则则 P(B)=().0.6(2)课堂练习课堂练习中国石油大学统计系乘乘 法法 公公 式式 0)()|()()(BPBAPBPABP，（1-51-5）0)()|()()(APABPAPABP，（1-61-6）推广：推广：0)(121iAAAP,ni，32，则，则 )|()()(12121AAPAPAAAPn )|()|(121213nnAAAAPAAAP （1-71-7）在概率的计算中在概率的计算中,有时所考虑的事件比较复杂有时所考虑的事件比较复杂,不不易直接计算易直接计算,利用概率的性质可以简化计算利用概率的性质可以简化计算,从而启发从而启发我们如果能把一个较复杂的事件分解成若干简单事件我们如果能把一个较复杂的事件分解成若干简单事件（概率较易计算）的和事件等（概率较易计算）的和事件等,这将是非常有意义的。这将是非常有意义的。0)()|()()(BPBAPBPABP，（1-51-5）0)()|()()(APABPAPABP，（1-61-6）)|()()(12121AAPAPAAAPn )|()|(121213nnAAAAPAAAP （1-71-7）Multiplication Formula中国石油大学统计系 例例 1-13 1-13 设有设有 1010 个人抽签，其中三个是中，一个个人抽签，其中三个是中，一个人抽完后，下一个接着抽，求下列事件概率：人抽完后，下一个接着抽，求下列事件概率：A：“前二个人都没抽到中”；“前二个人都没抽到中”；：B “前二个人都抽到中”；“前二个人都抽到中”；C：“前二个人恰有一个抽到中”；“前二个人恰有一个抽到中”；D：“第二个人抽到中”。“第二个人抽到中”。)()(21AAPAP)|()(121AAPAP1579610715192103)|()()()(12121AAPAPAAPBP)()(2121AAAAPCP157)()(2121AAPAAP中国石油大学统计系或或 15/7)(1)(BAPCP 由于由于DADAD11且且DADA11，由可加性由可加性)()()()(1111DAPDAPDADAPDP)|()()|()(1111ADPAPADPAP1039310792103第三个人抽到中的概率第三个人抽到中的概率)()(3213213213213AAAAAAAAAAAAPAP )|()|()(213121AAAPAAPAP )|()|()(213121AAAPAAPAP 8192103829710382931078396107103中国石油大学统计系 由例由例 1-111-11 计算知，计算知，11AA )(11112AADDADADA3213213213213AAAAAAAAAAAAA)(212121213AAAAAAAAA且且21212121AAAAAAAA、两两互不相容，两两互不相容，其共同点是将其共同点是将要考虑的事件化为要考虑事件与若干个两两互不相容要考虑的事件化为要考虑事件与若干个两两互不相容事件的积事件的和事件。事件的积事件的和事件。抛开问题的具体意义，将其共性抽象化，得全概抛开问题的具体意义，将其共性抽象化，得全概率公式：率公式：中国石油大学统计系 定理定理 1-11-1 设设nAAA，21为两两互斥事件，且为两两互斥事件，且niiA1，0)(iAP，（ni，21）则）则A有有 niiiAAPAPAP1)|()()(（1-81-8）证明：证明：由条件由条件A，则则niiniiAAAAAA11由由nAAA,21，两两互斥知两两互斥知nAAAAAA,21，也两两互斥，也两两互斥，因此由概率的有限可加性及乘法公式得因此由概率的有限可加性及乘法公式得niiAAPAP1)()(niiAAP1)(niiiAAPAP1)|()(全概率公式全概率公式（Total Probability Formula）全概率演示中国石油大学统计系 全概率公式用于求复杂事件的概率全概率公式用于求复杂事件的概率.使用全概率公式关键在于寻找另一组事件使用全概率公式关键在于寻找另一组事件 来来“分割分割”样本空间样本空间.全概率公式最简单的形式：全概率公式最简单的形式：注意点注意点(1)()()(|)()(|)P AP B P A BP B P A B 中国石油大学统计系 例例 1-14 1-14 设有一箱同类产品是由三家工厂生产的，设有一箱同类产品是由三家工厂生产的，其中其中 1/21/2 是第一家工厂生产的，其余两家各生产是第一家工厂生产的，其余两家各生产 1/41/4，又知第一、二家工厂生产的产品有又知第一、二家工厂生产的产品有 2%2%的次品，第三家的次品，第三家工厂生产的产品有工厂生产的产品有 4%4%的次品，现从箱中任取一只，问的次品，现从箱中任取一只，问取到的是次品的概率是多少？取到的是次品的概率是多少？则则321AAA，且，且0)(iAP，又又由由于于321AAA、两两两互不相容，两互不相容，故由全概率公式得故由全概率公式得31)|()()(iiiAAPAPAP025.0100441100241100221中国石油大学统计系 要调查要调查“敏感性敏感性”问题中某种比例问题中某种比例 p；两个问题：两个问题：A：生日是否在：生日是否在7月月1日前日前？B：是否考试作弊：是否考试作弊？抛硬币回答抛硬币回答A或或B.答题纸上只有：答题纸上只有：“是是”、“否否”.可用全概率公式分析可用全概率公式分析“敏感性敏感性”问题问题.敏感性问题的调查敏感性问题的调查中国石油大学统计系)|(AAPi)()(APAAPi31)|()()|()(jjjiiAAPAPAAPAP进而得进而得 )|(1AAP3111)|()()|()(jjjAAPAPAAPAP 4.0025.0100221同理得同理得2.0)|(2AAP，4.0)|(3AAP。由条件概率定义由条件概率定义、乘法公式、全概率公式得、乘法公式、全概率公式得中国石油大学统计系 定理定理 1-21-2（Bayes公式）公式）设设nAAA，21为两两互为两两互不相容事件，且不相容事件，且niiA1，0)(iAP，（ni,21，）则则A，0)(AP，有，有 )|(AAPinjjjiiAAPAPAAPAP1)|()()|()(（ni,21，）（1-91-9）证明略。证明略。贝叶斯（贝叶斯（BayesBayes)公式公式全概率演示中国石油大学统计系 乘法公式是求乘法公式是求“几个事件同时发生几个事件同时发生”的概率；的概率；全概率公式是求全概率公式是求“最后结果最后结果”的概率；的概率；贝叶斯公式是已知贝叶斯公式是已知“最后结果最后结果”，求，求“原因原因”的概率的概率.中国石油大学统计系 解：解：由由Bayes公式得公式得)|(ABP)|()()|()()|()(BAPBPBAPBPBAPBP141.06959803.0995.098.0005.098.0005.0 这说明虽然患此种癌的病人该化验指标绝大部分这说明虽然患此种癌的病人该化验指标绝大部分呈阳性，但该化验指标呈阳性的人患此种癌的比例并呈阳性，但该化验指标呈阳性的人患此种癌的比例并不高。不高。中国石油大学统计系 例例 1 1-1 16 6 有有朋朋友友远远方方来来访访,他他乘乘火火车车、轮轮船船、汽汽车车、飞飞机机的的概概率率分分别别为为 3 3/1 10 0、1 1/5 5、1 1/1 10 0、2 2/5 5,而而乘乘火火车车、轮轮船船、汽汽车车、飞飞机机迟迟到到的的概概率率分分别别为为 1 1/4 4、1 1/3 3、1 1/1 12 2、0 0。结结果果他他来来迟迟了了,试试问问此此人人乘乘火火车车来来的的概概率率是是多多少少？则问题化为求则问题化为求)|(1AAP。)|(1AAP4111)|()()|()(jjjAAPAPAAPAP2105212110131514110341103 Exit中国石油大学统计系 思考练习：思考练习：设设 1010 件产品中有件产品中有 4 4 件是不合格品，件是不合格品，从从中任取两件，已知所取两件中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的另一件也是不合格品的概率。概率。解：解：设设A表示：表示：“两件都“两件都是不合格品”；是不合格品”；B表示：表示：“两件中至少有一件“两件中至少有一件是不合格品”。是不合格品”。则所求概率为则所求概率为)|(BAP，)|(BAP)(/)(BPABP显显然然BA，故故)()(APABP15/2)(21024CCAP3/21)(21026CCBP所所以以5132152 或在缩小的样本空间中求或在缩小的样本空间中求)|(BAP，即，即51)|(24141624CCCCBAP Exit中国石油大学统计系 思思考考练练习习：两两箱箱同同种种类类的的零零件件，第第一一箱箱装装 5 50 0 件件，其其中中 1 10 0 件件一一等等品品，第第二二箱箱 3 30 0 件件，其其中中 1 12 2 件件一一等等品品，今今通通过过抛抛掷掷一一枚枚均均匀匀硬硬币币决决定定从从哪哪一一箱箱中中取取零零件件，现现若若取取出出的的第第 1 1 件件是是一一等等品品，并并把把它它放放回回去去，问问从从同同一一箱箱中中抽抽取取的的第第 2 2 件件也也是是一一等等品品的的概概率率。依题意，要求依题意，要求)|(12BBP，由条件概率公式，由条件概率公式)(/)()|(12112BPBBPBBP为此先求为此先求)(1BP及及)(21BBP。)()()()(211121111ABPABPABABPBP)|()()|()(212111ABPAPABPAP中国石油大学统计系)()()()(211121111ABPABPABABPBP)|()()|()(212111ABPAPABPAP103301221501021)()()()(22112122112121ABBPABBPABBABBPBBP)|()()|()(22121211ABBPAPABBPAP101)3012(21)5010(212231103101)(/)()|(12112BPBBPBBP Exit中国石油大学统计系 Exit中国石油大学统计系 Exit中国石油大学统计系 Exit
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