概率论与数理统计：第三章 随机变量的数字特征2

记为记为)|()(YXEYg，它有以下性质：，它有以下性质：EXYXEE)|(证明：证明：dyyfygYEgYXEEY)()()()|()|()(yYXEyg dxyxxfYX)|(|dxyfyxfxY)(),(将此结果代入上式得将此结果代入上式得dxdyyfyfyxfxYXEEYY)()(),()|(dxdyyxfx),(EXdxxxfX)(类似地可定义离散型随机变量的条件数学期望。类似地可定义离散型随机变量的条件数学期望。Conditional Mathematical Expectation 偏离程度，记为偏离程度，记为EXX，则称则称EXXE为平均为平均偏离程度。偏离程度。常常用用2)(EXXE来来代代替替EXXE作作为为描描述述随随机机变变量量与与数数学学期期望望的的偏偏离离程程度度的的一一个个量量。并称其为并称其为随机变量的方差。随机变量的方差。一方差的概念、性质及计算一方差的概念、性质及计算 定义定义 3-43-4 设设X为随机变量，若为随机变量，若2)(EXXE存在，存在，则称则称2)(EXXE为为X的方差，记为的方差，记为DX或或)(XVar，即，即 2)(EXXEDX （3-83-8）而而DX称为称为X的标准差或均方差，记为的标准差或均方差，记为)(X。方方差差是是X的的函函数数)(Xg=2)(EXX 的的数数学学期期望望。3.2 Variance3.2 VarianceDeviation Deviation from meanStandard Deviation 对于离散型随机变量对于离散型随机变量X，若其概率分布为，若其概率分布为kkpxXP），（21k则有则有 12)(kkkpEXxDX （3-93-9）对于连续型对于连续型vrX，若其概率分布为，若其概率分布为)(xf，则有，则有 dxxfEXxDX)()(2 （3-103-10）计算方差的一个重要公式计算方差的一个重要公式:22)(EXEXDX （3-113-11）事事实实上上,dxxfEXxEXxDX)()(2222EX2)(2 EX2)(EX22)(EXEX 方差具有如下性质：方差具有如下性质：（1 1）0DC （C为常数）；为常数）；证明：证明：0)(2222CCECECDC （2 2）DXCCXD2)(（C为为常常数数）；证明：证明：22)()()(CXECXECXD2222)(EXCEXCDXC2 （3 3）设）设X为随机变量，为随机变量，C为常数且为常数且EXC，则，则 2)(CXEDX （4 4）设）设X与与Y相互独立，则相互独立，则DYDXYXD)(（5 5）设）设X为为vr，0DX的充分必要条件是的充分必要条件是1 CXP，C为常数。为常数。Necessary and sufficient condition （3 3）设）设X为随机变量，为随机变量，C为常数且为常数且EXC，则，则 2)(CXEDX 证明：证明：)2()(222CCXXECXE222CCEXEX222)(CCEXEXDX2)(CEXDX由条件由条件EXC 知知0)(2CEX，所以所以2)(CXEDX 证证明明：D XYE XYE XY()()()2 （4 4）设）设X与与Y相互独立，则相互独立，则 DYDXYXD)(2)()(EYYEXXE22)()(2)(EYYEEYYEXXEEXXEDYDX 其其中中 )(EXEYYEXXEYXYEEYYEXXEEXEYEXEYEXEYEXYEXEYEXY 0EXEYEXEY 对对于于有有限限个个相相互互独独立立的的随随机机变变量量nXXX,21，有有 )(21nXXXDnDXDXDX21 二二几几种种常常见见分分布布的的vr的的方方差差 （1 1）（0-10-1）分布）分布 )1(pBX，解：解：由于由于pEX pppEX)1(0122所以所以22)(EXEXDXpqpppp)1(2 （2 2）Binomial Distribution)(pnBX，现介绍一种简单方法：现介绍一种简单方法：令令 不发生次试验事件，第发生次试验事件，第AiAiXi01），（ni21则则)10(1，kqpkXPkki即即iX服从服从(0-1)(0-1)分布，分布，由由X的定义的定义（n次试验中事件次试验中事件A发生次数）知发生次数）知nXXXX21故故得得 )(21nXXXEEXnpEXEXEXn21由由nXXX，21的独立性得的独立性得)(21nXXXDDXnpqDXDXDXn21故故0!kkkekEX1)!1(kkke01)!1(kkke022!kkkekEX0!)1(kkkekkkEXkekkkk0!)1(2222)!2(kkke2222)(EXEXDX 由由（3-23-2）式得）式得dxxxfEX)(babadxabx21dxxfxEX)(22badxabx12322baba于是于是22)(EXEXDX222)(41)(31abbaba2)(121abdxexEXx22)(2121dtettxt22121)(dtet22121dtett22121dxexXEDXx22)(212221)()(2)(XEDXdxexx22)(21221)(22112222220222xtttt edtt edt 特别地，当特别地，当)10(，NX时时10DXEX，0212021222222222dueuduuueuutu222212232)(0121)(dxexEXx02222231)(dxexEXx DXEXEX22()2112221010()1 ()()()xxEXxxedxxedx01(1)()()xx e dx()()2210120()1 ()()()xxEXxxedxxedx12201(2)()()xxe dx22(1)()(1)()EX常见分布的数学期望和方差常见分布的数学期望和方差解：解：dxxxfEX)(10 xdxx21)2(dxxx1dxxfxEX)(2210212267)2(dxxxxdxx于于是是 6/1)(22EXEXDX 例例 3-11 3-11 已知随机变量已知随机变量X的均值为的均值为EX，标准，标准差为差为)(XD。试求随机变量。试求随机变量XX*（称为标准（称为标准化随机向量）的均值与方差。化随机向量）的均值与方差。解：解：EX*=EXEX()()10 *DX=)(1)(2XDXD22)(1XEXE112DX)(),(20211，UYNX37312422DYDXYXDEYEXYXE)()()(),(20211，UYNX31120212112)(,DYEYDXEX2)(32)32(22EYDYEXYXE解解 （1 1）随随机机向向量量（X，Y）有有四四个个可可能能值值：（-1 1，-1 1），（-1 1，1 1），（1 1，-1 1），（1 1，1 1）。;411,11,1UUPYXP;01,11,1UUPYXP;211,11,1UUPYXP.411,11,1UUPYXP于于是是，得得X和和Y的的联联合合概概率率分分布布为为 Y X 1 1 -1 1/4 1/2 1 0 1/4（2 2）YX 和和2)(YX 的概率分布为的概率分布为 YX,412210412 2)(YX.214210 由此可见由此可见)(YXE=04242 )(YXD=2)(2YXE 解解：引引入入随随机机变变量量 ,0,1号盒子号球不是装入第第号盒子号球恰好装入第第iiiiXi