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3.2.2 平面的法向量与平面的法向量与平面的向量表示平面的向量表示 已知平面已知平面，如果向量，如果向量 的基线与平面的基线与平面垂直，则向量垂直，则向量 叫做平面叫做平面的法向量或说的法向量或说向量向量 与平面与平面正交。正交。nnn 由平面法向量的定义可知，平面由平面法向量的定义可知，平面的一个的一个法向量垂直于与平面共面的所有向量。法向量垂直于与平面共面的所有向量。由于同时垂直于同一平面的两条直线平由于同时垂直于同一平面的两条直线平行，可以推知，一个平面的所有法向量互行，可以推知，一个平面的所有法向量互相平行。相平行。由平面法向量的性质，很容易通过向量由平面法向量的性质，很容易通过向量运算证明运算证明直线与平面垂直的判定定理直线与平面垂直的判定定理。直线与平面垂直的判定定理直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线和平面的两条相交直线垂如果一条直线和平面的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。直，那么这条直线垂直于这个平面。已知已知:a、b是平面是平面内内的两条相交直线，且的两条相交直线，且直线直线na，nb，求证：求证：n.由直线与平面垂直的判定定理，就可以由直线与平面垂直的判定定理，就可以推知，在平面推知，在平面AM1M2内的任一点内的任一点M都满足都满足条件条件式，式，又知满足条件又知满足条件的所有点的所有点M都在平面都在平面AM1M2内。内。这就说明，我们可以用这就说明，我们可以用式表述通过空式表述通过空间内一点并且与一个向量垂直的平面。间内一点并且与一个向量垂直的平面。式通常称为一个式通常称为一个平面的向量表示式平面的向量表示式。例例1.设设 分别是平面分别是平面,的法向量的法向量,根根据下列条件据下列条件,判断判断,的位置关系的位置关系.vu,)4,1,3(),5,3,2()3()4,4,2(),2,2,1()2()4,4,6(),5,2,2()1(vuvuvu垂直垂直平行平行相交相交例例2、设平面、设平面的法向量为的法向量为(1,2,2),平面平面的法向量为的法向量为(2,4,k),若若/，则，则k=；若若,则则 k=。451、已知、已知l/，且，且l的方向向量为的方向向量为(2,m,1)，平面平面的法向量为的法向量为(1,2),则则m=.1282、已知、已知l，且，且l的方向向量为的方向向量为(2,1,m),平面平面的法向量为的法向量为(1,2),则则m=.124练练 习习例例3已知点已知点A(a，0，0)，B(0，b，0)，C(0，0，c)，其中，其中abc0，如图，求平面，如图，求平面ABC的一个法向量。的一个法向量。=(bc，ac，ab)n例例4已知：已知：AB，AC分别是平面分别是平面的垂线的垂线和斜线，和斜线，BC是是AC在在内的射影，内的射影，l 且且lBC，求证：，求证：lAC.三垂线定理三垂线定理 三垂线定理三垂线定理:如果在平面内的一条直线与平面的一条如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它和这斜线在这个平面内的射影垂直，则它和这条斜线垂直。条斜线垂直。类似地可以证明类似地可以证明三垂线定理的逆定理：三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它和这条斜线在平面内的条斜线垂直，则它和这条斜线在平面内的射影垂直。射影垂直。1已知平面已知平面内有一个点内有一个点M(1,1,2)，平面平面的一个法向量是的一个法向量是 (6,3,6)，则下列点则下列点P中在平面中在平面内的是内的是()AP(2,3,3)BP(2,0,1)CP(4,4,0)DP(3,3,4)nA2正四棱锥的侧棱长与底面边长都是正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为则侧棱与底面所成的角为()A75B60 C45 D30C3正四棱锥正四棱锥SABCD中，中，O为顶点在底为顶点在底面上的射影，面上的射影，P为侧棱为侧棱SD的中点，且的中点，且SOOD，则直线，则直线BC与平面与平面PAC所成的角是所成的角是_30DABCDEFxyzMN7在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1中中,E,F分别分别是是BB1,CD中点，求证：中点，求证：D1F平面平面ADE.8如图，在底面是菱形的四棱锥如图，在底面是菱形的四棱锥PAB CD中中,ABC=60,PA=AC=a,PB=PD=a,点点E在在PD上上,且且PE:ED=2:1.在棱在棱PC上是否存上是否存在一点在一点F,使使BF平面平面AEC?证明你的结论。证明你的结论。2
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