向量的内积长度及正交性课件

向量的内积、长度及正交性第一节第一节 向量的内积、长度及正交性向量的内积、长度及正交性相似矩阵及二次型一、向量的内积及其性质一、向量的内积及其性质二、正交向量组、规范正交基二、正交向量组、规范正交基三、正交矩阵、正交变换三、正交矩阵、正交变换四、小结四、小结 思考题思考题向量的内积、长度及正交性一一、向量的内积、向量的内积1.向量的内积向量的内积规定规定 和和 的的内积内积为为定义定义 1 设两个设两个 n 维向量维向量 ，nnbbbaaa2121,nnbababa 2211,n 维向量的内积是维向量的内积是 几何向量内积几何向量内积(也称为点积、点乘、也称为点积、点乘、数量积、标量积数量积、标量积)的推广的推广.(即，对应分量的乘积之和即，对应分量的乘积之和)向量的内积、长度及正交性说明说明nnbababa 2211 TT ,则，内积可用矩阵记号表示为则，内积可用矩阵记号表示为 nnTbbbaaa2121),(1)当当 和和 都为都为列向量列向量时时(一般做法一般做法)，nnTaaabbb2121),(nnbababa 2211向量的内积、长度及正交性0,0 ，等号成立当且仅当，等号成立当且仅当 .；,(交换律交换律)；,kk(结合律结合律)；,(分配律分配律)根据定义，容易证明根据定义，容易证明内积具有如下运算性质内积具有如下运算性质：(设设,为为 n 维实向量，维实向量，k 为实数为实数),(2)若已知若已知 是行向量，是行向量，为列向量，则内积应为为列向量，则内积应为向量的内积、长度及正交性2.向量的长度向量的长度(2)任意非零向量任意非零向量 ，可通过长度进行，可通过长度进行单位化单位化，是单位向量是单位向量.即，即，定义定义 2 设设 n 维向量维向量22221,naaa 规定规定 的的长度长度(或或范数范数)为为,21 naaa(1)若若 ，则称向量，则称向量 为为单位向量单位向量.1 说明说明向量的内积、长度及正交性例例 1 1 已知已知,0132 ,0121 解解60)1(212222 计算两个向量单位化后的内积计算两个向量单位化后的内积.14 ,2125 146001)1()3(221 ,向量的内积、长度及正交性证证 参见参见 .定理定理 1 向量的内积满足向量的内积满足 222,即即 ,2 (称为称为Cauchy-Schwarz不等式不等式)向量长度的性质向量长度的性质：；kk(齐次性齐次性)(三角不等式三角不等式)性质性质显然成立，显然成立，性质性质的证明参见的证明参见 .附录附录 1附录附录 2,0 等号成立当且仅当等号成立当且仅当 ；(非负性非负性)O 向量的内积、长度及正交性根据定义，如果非零向量根据定义，如果非零向量 ,的内积的内积 ，则，则夹角夹角 =90o；反之亦然；反之亦然.0,3.向量的夹角向量的夹角定义定义 3 规定规定 n 维向量维向量 和和 的的夹角夹角为为 ,arccos定理定理 2 非零向量非零向量 ,正交正交(或垂直或垂直)的充要条件是的充要条件是0,说明说明 由于零向量与任何向量的内积为零，因此，也由于零向量与任何向量的内积为零，因此，也可以说零向量与任何向量正交可以说零向量与任何向量正交.因此因此向量的内积、长度及正交性对于齐次线性方程组对于齐次线性方程组 Am n x=O，即，即 00021212222211211nmnmmnnxxxaaaaaaaaaAx=O 的每个解向量都和矩阵的每个解向量都和矩阵 A 的每个行向量正交的每个行向量正交.因此，因此，Ax=O 的解集的解集(即解空间即解空间)就是就是与与 A 的行向量都的行向量都正交的全部向量的集合正交的全部向量的集合.这是这是Ax=O 的解空间的一个基本性质的解空间的一个基本性质.向量的内积、长度及正交性例例 2 2 已知已知 R3 中的两个向量中的两个向量 正交，正交，121 ,11121 求一个非零向量求一个非零向量 3，使得，使得 1,2,3 两两正交两两正交.分析分析 已知已知 1,2 相互正交，故只需求出与相互正交，故只需求出与 1,2 都都正交的一个向量正交的一个向量.以以 作为行向量构成矩阵作为行向量构成矩阵 ，ATT21,T1 T2 11112 1则则 Ax=O 的解和的解和 正交正交(亦和亦和 1,2 正交正交).TT21,向量的内积、长度及正交性令令 12111121TTA 建立齐次线性方程组建立齐次线性方程组 Ax=O，解方程组解方程组(过程略过程略)，可得基础解系，可得基础解系 101 解解于是，和于是，和 1,2 都正交的非零向量都正交的非零向量 3 可表示为可表示为(k 为非零实数为非零实数)k 3 00121111321xxx即即向量的内积、长度及正交性二二、正交向量组、规范正交基、正交向量组、规范正交基设设 是非零正交向量组，是非零正交向量组，s 21，1.正交向量组正交向量组 0 iTiii ，)(0 jijTiji ，),2,1,(sji 即即(非零非零)(正交正交)一组两两正交且不含零向量的向量组，一组两两正交且不含零向量的向量组，称为称为非零正交向量组非零正交向量组.定理定理 3 非零正交向量组是线性无关的非零正交向量组是线性无关的.证证向量的内积、长度及正交性设设 (*)Okkkss 2211对对(*)式两端同时左乘式两端同时左乘 ，得，得0 2211 sskkk T1 T1 T1 T1 由于各向量两两正交，故由于各向量两两正交，故00 0 11 kT1 其中其中 ，因此，必有，因此，必有 .0 1 T1 01 k同理，对同理，对(*)式两端同时左乘式两端同时左乘 ，可得，可得 .Ti 0 ik证毕证毕证明证明 线性无关，就是要证明上式中的组线性无关，就是要证明上式中的组合系数合系数),2,1(siki s 21，必须全为零必须全为零.向量的内积、长度及正交性2.规范正交基规范正交基例如，例如，是是 R2 的一个规范正交基的一个规范正交基.3/13/2 3/23/1，是正交单位向量组，则称是正交单位向量组，则称定义定义 4 设设 是是 r 维向量空间维向量空间 V 的一组基的一组基.r 21，r 21，如果如果r 21，是是 V 的一个的一个规范正交基规范正交基.一组两两正交的单位向量，称为一组两两正交的单位向量，称为正交单位向量组正交单位向量组，,0 ,1 jijiji若若若若，即即向量的内积、长度及正交性设设 是向量空间是向量空间 V 的一组规范正交基，的一组规范正交基，r 21，rxxx 22211 设设)(21r ，rxxx21 ,2211jrrjjxxx ,j 证证 ,22211jrjxxx 则则00 ,000 jjjx jx),2,1(rj 则向量则向量 在这组基下的坐标向量的第在这组基下的坐标向量的第 j 个分量为个分量为基基坐标向量坐标向量向量的内积、长度及正交性3.施密特施密特(Schimidt)正交化方法正交化方法施密特正交化方法：施密特正交化方法：一组线性无关的非零向量一组线性无关的非零向量与与 等价的正交单位向量组等价的正交单位向量组r 21，作特定的线性运算作特定的线性运算r 21，向量的内积、长度及正交性施密特正交化方法的基本步骤和思路：施密特正交化方法的基本步骤和思路：设设 是一组线性无关的非零向量是一组线性无关的非零向量.r 21，取取122 21k求求 ，使得，使得 ，即，即 2 和和 1正交正交.0,12 21k 11212 ,21k 1112,21k0 取取11 1112,21k得得向量的内积、长度及正交性 取取2133 31k32k令令 ，可得，可得 0,13 0,23 1113,31k 2223,32k于是，于是，222231111333,于是于是 1111222,向量的内积、长度及正交性 不断重复以上步骤，直到最后有不断重复以上步骤，直到最后有 111122221111,rrrrrrrrr 通过通过的的正交化正交化步骤，步骤，得到正交向量组：得到正交向量组：r 21，),2,1(rjjjj 即即(作为练习，证明作为练习，证明 都是非零向量都是非零向量)r 21，最后，再最后，再将将 单位化单位化为为 ，r 21，r 21，向量的内积、长度及正交性施密特正交化步骤施密特正交化步骤 小结小结：首先将线性无关的非零向量组首先将线性无关的非零向量组 正交化正交化：r 21，令令11 1111222,222231111333,111122221111,rrrrrrrrr 向量的内积、长度及正交性r 21，再将得到的再将得到的正交向量组正交向量组 单位化单位化：,111 ,222 rrr 这是因为：对一组线性无关的单位向量正交化后这是因为：对一组线性无关的单位向量正交化后,可能不再是单位向量可能不再是单位向量.说明说明(1)正确的顺序是正确的顺序是先先正交化，正交化，再再单位化单位化.(2)向量空间的基一般不是规范正交基，但是可以通向量空间的基一般不是规范正交基，但是可以通过施密特正交化步骤，构造出一组规范正交基，这过施密特正交化步骤，构造出一组规范正交基，这称为：对基进行称为：对基进行规范正交化规范正交化.向量的内积、长度及正交性 12164131;3/53/53/5 例例 3 3 014 ,131 ,121321 解解用施密特正交化方法将这组基规范正交化用施密特正交化方法将这组基规范正交化.设设 R3 的一组基为的一组基为;11 1111222,取取222231111333,首先将首先将 正交化正交化：321,向量的内积、长度及正交性 3/53/53/53/253/25121620143 202再把再把 单位化单位化，321,6/16/26/1 61 111 222 333 83 2/102/1,3/13/13/1 3/252 向量的内积、长度及正交性例例 4 4 已知已知,111 解解 令矩阵令矩阵 ，)1 ,1 ,1(TA(的解的解与与 A 的行向量的行向量 正交，亦即与正交，亦即与 正交正交)OAx T 求两个向量，与求两个向量，与 共同构成非零正交向量组共同构成非零正交向量组.0)1 ,1 ,1(321 xxxOAx 即即建立方程组建立方程组 ，向量的内积、长度及正交性 1,2 线性无关，且线性无关，且都与都与 正交正交.再将再将 1,2 正交化：正交化：1111222,11 取取,101 2/112/1于是，于是，是一个非零正交向量组是一个非零正交向量组.21,.110 ,10121 解解 Ax=O，得基础解系，得基础解系向量的内积、长度及正交性三三、正交矩阵、正交变换、正交矩阵、正交变换1.正交矩阵正交矩阵定义定义 5 若若 n 阶方阵阶方阵 A 满足满足 ATA=E，则，则 A 为为正交矩阵正交矩阵.根据定义，容易证明如下根据定义，容易证明如下正交矩阵的性质正交矩阵的性质：设设 A,B 皆为皆为 n 阶正交矩阵，则阶正交矩阵，则 (即即 )也是正交矩阵；也是正交矩阵；AB 也是正交矩阵；也是正交矩阵；;1TAA 1 ATA;1 1 或或A向量的内积、长度及正交性按列分块为按列分块为),(21n 设设 ，nnnnnnaaaaaaaaaA212222211211证证定理定理 4 A为为 n 阶正交矩阵的充要条件是：阶正交矩阵的充要条件是：A 的列向量的列向量组是正交单位向量组组是正交单位向量组.),(2121nTnTTTAA 21212121 TnTnnTTnTT11 TnTn 22 T向量的内积、长度及正交性说明说明Rn 的规范正交基是的规范正交基是“(含含 n 个个 n 维向量的维向量的)正交单位向正交单位向量组量组”.因此，定理因此，定理 4 亦可表述为亦可表述为A为为n 阶正交矩阵的充要条件是：阶正交矩阵的充要条件是：A 的列向量组是的列向量组是 Rn 的一组规范正交基的一组规范正交基”.因此，因此，的充要条件是：的充要条件是：EAAT 1,ii iTi )(0,jijijTi ),2,1,(nji 证毕证毕向量的内积、长度及正交性 2121000021212121212121212121AA 的列向量都是单位向量，且两两正交，的列向量都是单位向量，且两两正交，例例 4 4 验证验证是正交矩阵是正交矩阵.解解故故 A 是正交矩阵是正交矩阵.向量的内积、长度及正交性2.正交变换正交变换【回顾】【回顾】从变量从变量 x1,x2,xn 到变量到变量 y1,y2,ym的的“线性变换线性变换”可表示可表示为为 .,22112222121212121111nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay mnmmnnaaaaaaaaa212222111211 nxxx21 myyy21即即 ,记作记作 y=Ax.向量的内积、长度及正交性定义定义 6若若 A 为正交矩阵，则线性变换为正交矩阵，则线性变换 y=Ax 称为称为正交变换正交变换.；,AA；A ,arccos,arccosAAAA即即正交变换的性质正交变换的性质设：设：n 维列向量维列向量 ,A,A (A为正交矩阵为正交矩阵)，则向量的则向量的内积内积与与长度长度以及以及向量间的夹角向量间的夹角都保持不变都保持不变.正交变换正交变换向量的内积、长度及正交性证证 设设A为正交矩阵，为正交矩阵，)()(,AAAAT ,T )(AATT)()(,AAAAAT T )(AATT ,arccos,arccosAAAA由前两式，立即有由前两式，立即有(向量间的夹角不变向量间的夹角不变)(向量的内积不变向量的内积不变)(向量的长度不变向量的长度不变)向量的内积、长度及正交性;)3(1TAA ;)2(EAAEAATT 或或2.下列条件等价下列条件等价:(1)A 为为 n 阶正交矩阵；阶正交矩阵；四四、小结、小结1.施密特正交化方法施密特正交化方法：由一组线性无关的非零向量：由一组线性无关的非零向量 组，通过特定的线性运算，构造出一组正交单位组，通过特定的线性运算，构造出一组正交单位 向量组向量组.利用施密特正交化方法，可将向量空间的基利用施密特正交化方法，可将向量空间的基规范规范正交化正交化.)4(A 的列向量组的列向量组(或行向量组或行向量组)是正交单位向量组；是正交单位向量组；)5(A 的列向量组的列向量组(或行向量组或行向量组)是是 Rn 的规范正交基的规范正交基.(注意正确顺序是先正交化、再单位化注意正确顺序是先正交化、再单位化)向量的内积、长度及正交性已知行向量已知行向量 1 ,1,1 ,11 1 ,1,1,12 3 ,1 ,1 ,23 思考题思考题求：与求：与 正交的一个单位行向量正交的一个单位行向量.321,向量的内积、长度及正交性思考题解答思考题解答用行向量构成矩阵用行向量构成矩阵 311211111111321 A由于由于Ax=O 的解向量的解向量 x(列向量列向量)与与 正交正交.321,故，故，x 的转置的转置xT 亦与亦与 正交正交.321,解齐次线性方程组解齐次线性方程组Ax=O，得基础解系，得基础解系 13/103/4 于是，于是，与与 正交正交.)0(kkT 321,向量的内积、长度及正交性再将再将 单位化，单位化，)0(kkT 为方便计算，令为方便计算，令T 3)3 ,1 ,0 ,4(则，则，22223)1(0)4()3 ,1 ,0 ,4(261 就是与就是与 正交的单位行向量正交的单位行向量.321,向量的内积、长度及正交性Cauchy-Schwarz不等式不等式 ,证证附录附录 1(1)当当 =O 时，时，Cauchy-Schwarz不等式显然成立不等式显然成立.(2)当当 O 时，时，)(Rtt 根据内积的运算性质根据内积的运算性质，有，有 ,0,0 作向量作向量 0,tt向量的内积、长度及正交性再利用内积的运算性质再利用内积的运算性质，得得 0 ,2,2 tt 上式左端为上式左端为 t 的二次三项式，且的二次三项式，且 t 2 的系数的系数 0,因此，因此，0,4 ,42 即即 222,证毕证毕向量的内积、长度及正交性三角不等式三角不等式 证证附录附录 2根据根据 Cauchy-Schwarz不等式，有不等式，有 ,2 ,2,22,2 因此因此，22222 由于向量长度具有非负性，故由于向量长度具有非负性，故 证毕证毕