空间向量的正交分解人教A版选修21

3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示空间向量的正交分解空间向量的正交分解(人教人教A A版选修版选修2-2-1)1)x xy yo ox xy yo oz zp pA AB Bi ij jp pA AB BC CQ QP P=x i i+y j jP P=x i i+y j j+z k kp=(x,y,z)=(x,y,z)p=(x,y)=(x,y)空间向量的正交分解空间向量的正交分解(人教人教A A版选修版选修2-2-1)1)在空间中，如果用任意三个不共面在空间中，如果用任意三个不共面的向量的向量a,b,ca,b,c代替两两垂直的向量代替两两垂直的向量i,j,k,i,j,k,你能得到类似的结论吗？你能得到类似的结论吗？x xy yo op pA AB BC CQ Qz z空间向量的正交分解空间向量的正交分解(人教人教A A版选修版选修2-2-1)1)定理定理 如果三个向量 ，那么对空间任 一向量p p,存在有序实数组x,y,z使得 p p=x a a+y b b+z c c a,b,ca,b,c基底基向量a,b,ca,b,c 不共面空间向量的正交分解空间向量的正交分解(人教人教A A版选修版选修2-2-1)1)判断：判断：(正确的打正确的打“”“”，错误的打，错误的打“”)”)(1)(1)若三个非零向量若三个非零向量a,b,c不能构成空间的一个基底，则不能构成空间的一个基底，则a,b,c共面共面.().()(2)(2)若若a,b为空间两个不共线的向量，为空间两个不共线的向量，c=a+b(,(,R且且0)0)，则，则 a,b,c 构成空间的一个基底构成空间的一个基底.().()(3)(3)若若 a,b,c 为空间一个基底，则为空间一个基底，则-a,-,-b,-,-c 也可构成空间也可构成空间一个基底一个基底.().()空间向量的正交分解空间向量的正交分解(人教人教A A版选修版选修2-2-1)1)二、空间向量的正交分解及坐标表示二、空间向量的正交分解及坐标表示1.1.单位正交基底：由三个单位正交基底：由三个_的有公共起点的的有公共起点的_组成的基底称为单位正交基底组成的基底称为单位正交基底.两两垂直两两垂直单位向量单位向量2.2.空间向量的正交分解空间向量的正交分解i,j,ki,j,k正交基底P=xP=xi+y+yj+z+zkp=(x,y,z)=(x,y,z)空间向量的正交分解空间向量的正交分解(人教人教A A版选修版选修2-2-1)1)类型类型 一一 判断三个向量能否成为基底判断三个向量能否成为基底 【典型例题典型例题】1.1.已知已知 e1 1,e2 2,e3 3 是空间向量的一个基底，下列向量中，能够是空间向量的一个基底，下列向量中，能够与向量与向量a=e1 1+e2 2,b=e1 1-e2 2构成基底的向量的序号是构成基底的向量的序号是_._.e1 1;e2 2;e1 1+2+2e2 2;e1 1+2+2e3 3.2.2.已知已知 e1 1,e2 2,e3 3 是空间向量的一个基底，向量是空间向量的一个基底，向量a=3=3e1 1+2+2e2 2+e3 3,若若 a,b,c 能作为空间向量的一个基能作为空间向量的一个基底，则实数底，则实数满足的条件是什么？请说明理由满足的条件是什么？请说明理由.231233b=e+e,c=e+e+e2，00空间向量的正交分解空间向量的正交分解(人教人教A A版选修版选修2-2-1)1)类型类型 二二 空间向量的分解空间向量的分解用基底表示向量用基底表示向量 【典型例题典型例题】1.(20131.(2013聊城高二检测聊城高二检测)如图所示，点如图所示，点M M为为OAOA的中点，的中点，以以 为基底的向量为基底的向量 则则(x,y,z)=_.(x,y,z)=_.OA,OC,ODuuu r uuu r uuu rDM=xOA+yOC+zOD,uuu ruuu ruuu ruuu r1(,0,1)2空间向量的正交分解空间向量的正交分解(人教人教A A版选修版选修2-2-1)1)类型类型 三三 空间向量空间向量(点点)的坐标表示的坐标表示 【典型例题典型例题】1.1.已知在如图所示的长方体已知在如图所示的长方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，E,FE,F分别为分别为D D1 1C C1 1,B,B1 1C C1 1的中点，若以的中点，若以 为基底，则向量为基底，则向量 的的坐标为坐标为_,_,向量向量 的坐标为的坐标为_，向量，向量 的坐标的坐标为为_._.1AB,AD,AA uuu r uuu r uuurAEuurAFuuruur1AC(1/2,1,1)(1,1/2,1)(1,1,1)空间向量的正交分解空间向量的正交分解(人教人教A A版选修版选修2-2-1)1)2.2.如图所示，在三棱锥如图所示，在三棱锥O-ABCO-ABC中，中，OAOA，OBOB，OCOC两两垂直，两两垂直，OA=1OA=1，OB=2OB=2，OC=3OC=3，E E，F F分别为分别为ACAC，BCBC的中点，建立以的中点，建立以 方向上的单位向量为正交基底的空间坐标系方向上的单位向量为正交基底的空间坐标系OxyzOxyz，求，求EFEF中点中点P P的坐标的坐标.OAOBOCuuu ruuu ruuu r，1 1 3(,).4 2 2空间向量的正交分解空间向量的正交分解(人教人教A A版选修版选修2-2-1)1)4.4.向量在不同基底下的坐标向量在不同基底下的坐标1.1.已知向量已知向量 a,b,c 是空间的一个基底，向量是空间的一个基底，向量 a+b,a-b,c 是是空间的另一个基底，一个向量空间的另一个基底，一个向量p在基底在基底 a,b,c 下的坐标为下的坐标为(1,2,3)(1,2,3)，则，则p在基底在基底 a+b,a-b,c 下的坐标为下的坐标为_._.2.2.向量向量p在基底在基底 a，b，c 下的坐标是下的坐标是(3(3，2 2，-1).-1).试求试求p在基在基底底 下的坐标下的坐标.122，abc31(,3)223(22).2，空间向量的正交分解空间向量的正交分解(人教人教A A版选修版选修2-2-1)1)【易错误区易错误区】求向量的坐标时建系不当致误求向量的坐标时建系不当致误【典例典例】在正三棱柱在正三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中，已知中，已知ABCABC的边长为的边长为1 1，三棱柱的高为，三棱柱的高为2 2，建立如图所示的，建立如图所示的空间直角坐标系，则空间直角坐标系，则 的坐标为的坐标为_,_,的坐标为的坐标为_,_,的坐标为的坐标为_._.1AAuuur1ABuuur11A Cuuuu r13(,-,0)220,0,213(-,-,2)22空间向量的正交分解空间向量的正交分解(人教人教A A版选修版选修2-2-1)1)1.1.下列各组向量能构成一个基底的是下列各组向量能构成一个基底的是()()A.A.长方体长方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中的向量中的向量B.B.三棱锥三棱锥A-BCDA-BCD中的向量中的向量C.C.三棱柱三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中中(E(E是是A A1 1C C1 1的中点的中点)的向量的向量D.D.四棱锥四棱锥S-ABCDS-ABCD中的向量中的向量【解析解析】选选B.B.根据题意可知，根据题意可知，A A，C C，D D中的向量都共面，只中的向量都共面，只有有B B中的三个向量不共面，可构成一个基底中的三个向量不共面，可构成一个基底.ABACADuuu ruuu ruuu r，ABACADuuu ruuu ruuu r，11AA,AE,ACuuur uur uuurDA,DBDCuuu r uuu ruuu r，空间向量的正交分解空间向量的正交分解(人教人教A A版选修版选修2-2-1)1)2.2.已知已知i,j,k是空间直角坐标系是空间直角坐标系OxyzOxyz中中x x轴，轴，y y轴轴,z,z轴正方向上轴正方向上的单位向量，且向量的单位向量，且向量 则则p的坐标为的坐标为_._.【解析解析】根据题意根据题意,i,j,k 是空间直角坐标系中的单位正交基是空间直角坐标系中的单位正交基底，又底，又答案：答案：13,2 pijk113,(1,3,).22 pijkp1(1,3,)2空间向量的正交分解空间向量的正交分解(人教人教A A版选修版选修2-2-1)1)3.3.已知四面体已知四面体ABCDABCD中，中，棱棱ACAC，BDBD的的中点分别为中点分别为E E，F F，则，则【解析解析】如图所示，取如图所示，取BCBC的中点的中点G G，连接，连接EGEG，FGFG，则则答案：答案：3 3a+3+3b-5-5cAB=a-2c,CD=5a+6b-8c,uuu ruuu rEF=_.uu r1111 EF=GF-GE=CD-BA=CD+AB222211=5a+6b-8c+a-2c=3a+3b-5c.22uu ruur uuruuu ruuu ruuu ruuu r空间向量的正交分解空间向量的正交分解(人教人教A A版选修版选修2-2-1)1)4.4.在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，设中，设 与与B B1 1D D1 1的交点为的交点为E E，则，则【解析解析】如图所示，如图所示，答案：答案：111AB=a,AD=b,AA=c,A Cuuu ruuu ruuurBE=_.uur111BE=BB+B E=c+(BA+BC)2uuruuu ruuu ruuu ruur111.222 cababc1122abc空间向量的正交分解空间向量的正交分解(人教人教A A版选修版选修2-2-1)1)5.5.在长方体在长方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，AB=AD=2AB=AD=2，AAAA1 1=4,=4,点点E E是是ABAB的中的中点，点点，点F F是是A A1 1D D1 1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求求 的坐标的坐标.【解析解析】A(0,0,0),B(2,0,0),AA(0,0,0),B(2,0,0),A1 1(0,0,4),D(0,0,4),D1 1(0,2,4),(0,2,4),C C1 1(2,2,4),E(1,0,0),F(0,1,4),(2,2,4),E(1,0,0),F(0,1,4),1C E,EFuuu r uu r1C E1,2,4,EF1,1,4.空间向量的正交分解空间向量的正交分解(人教人教A A版选修版选修2-2-1)1)空间向量的正交分解空间向量的正交分解(人教人教A A版选修版选修2-2-1)1)