CH44函数的单调性与曲线的凸凹

一、单调性的判别法一、单调性的判别法 （利用导数解决单调性问题）（利用导数解决单调性问题）xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)(xf0)(xf定理定理abBA.,)(0)(),()2(,)(0)(),(1.),(,)(上严格单调减少上严格单调减少在在，那末函数，那末函数内内如果在如果在上严格单调增加；上严格单调增加；在在，那末函数，那末函数内内如果在如果在）（内可导内可导上连续，在上连续，在在在设函数设函数baxfyxfbabaxfyxfbababaxfy (2)(2)函数的单调性是一个区间上的性质，要函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性调性(1)(1)将此定理中的闭区间换成其他各种区间将此定理中的闭区间换成其他各种区间（包括无穷区间），结论仍成立。（包括无穷区间），结论仍成立。注意：注意：即：即：区间内个别点导数为零区间内个别点导数为零,不影响区间的单不影响区间的单调性调性.例如例如,3,yx 00,xy (,)但但在在上上-1-0.75-0.5-0.250.250.50.751-1-0.75-0.5-0.250.250.50.751230,yx 单调增加单调增加函数图像与导数的关系函数图像与导数的关系：对于某区间上的函数对于某区间上的函数y=f(x)，导数为正，曲线上升；导数为正，曲线上升；导数为零，曲线不升不降（水平曲线）；导数为负，导数为零，曲线不升不降（水平曲线）；导数为负，曲线下降。曲线下降。xyo)(xfy abAB0)(xfxyo)(xfy 0)(xfabBA)(xfy 0()fx xyoabBA例例1 1解解:1cosyx 0,2,在在0,y sin,.yxx 函函数数在在区区间间单单调调增增加加0,2 D 讨讨论论区区间间 .20sin的的单单调调性性，在在区区间间讨讨论论函函数数 xxy sinyxx 例例2 2解解.1的的单单调调性性讨讨论论函函数数xeyx.1 xey,)0,(内内在在,0 y函数单调减少；函数单调减少；,),0(内内在在,0 y.函函数数单单调调增增加加).,(:D又又-3-2-11212341xyex 解解2222222222(1)42(1)()1(1)(1)xxxxyxxx 2222(1)0(1)xyx 1,1x 当当时时，-3-2-1123-1-0.50.51练练 习习函数单调增加函数单调增加.问题问题:如上例，函数在定义区间上不是如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调单调的，但在各个部分区间上单调定义定义:若函数在其定义域的某个区间内是若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调的，则该区间称为函数的单调区间单调区间.导数导数等于零的点等于零的点和和不可导点不可导点，可能可能是单调是单调区间的区间的分界点分界点方法方法:.)()()(,)()(0)()(的单调区间的单调区间都是函数都是函数符号保持不变的子区间符号保持不变的子区间调性，每个使得调性，每个使得在各子区间上的单在各子区间上的单出函数出函数导数的符号，从而确定导数的符号，从而确定数数然后逐个判断区间内函然后逐个判断区间内函区间区间定义域划分成若干个子定义域划分成若干个子的的点将函数点将函数不存在的点，并用这些不存在的点，并用这些的根及的根及程程单调性的讨论，先求方单调性的讨论，先求方对函数对函数xfxfxfxfxfxfxf 二、单调区间的求法二、单调区间的求法例例3 3解解3229123().f xxxx 确确定定函函数数的的单单调调区区间间).,(:D12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx得得，解解方方程程0)(xf.2,121 xx时，时，当当1x,0)(xf上上单单调调增增加加；在在 1,(时时，当当21 x,0)(xf上单调减少；上单调减少；在在2,1 时，时，当当 x2,0)(xf上上单单调调增增加加；在在),2 单调区间为单调区间为，1,(，2,1).,2x()fx()f x(,1 1,22,)0.511.522.53-2246mM3229123()fxxxx 例例4 4解解.)(32的的单单调调区区间间确确定定函函数数xxf).,(:D)0(,32)(3 xxxf.,0导导数数不不存存在在时时当当 x时，时，当当0 x,0)(xf上单调增加；上单调增加；在在),0 时，时，当当 x0,0)(xf上上单单调调减减少少；在在0,(单调区间为单调区间为，0,().,0 -3-2-11230.511.5232()fxx 注意注意:导数不存在的点，有可能成为导数不存在的点，有可能成为单调区间的分界点。单调区间的分界点。yxO说明说明:单调区间的分界点除驻点外单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点也可是导数不存在的点.例如例如,),(,32xxy332xy 0 xy32xy 2)如果函数在某驻点两边导数同号如果函数在某驻点两边导数同号,则不改变函数的单调性则不改变函数的单调性.例如例如,),(,3xxy23xy 00 xyyOx3xy.)()0)(的的驻驻点点做做函函数数叫叫的的实实根根即即方方程程使使导导数数为为零零的的点点定定义义xfxf 求函数求函数7186223 xxxy单调区间。单调区间。练练 习习解解212186 6，yxx 0,y 函函数数单单调调减减少少；13(-,),在在0,y .函函数数单单调调增增加加:(,).D 212183 1-6 60 0yxxx 解解方方程程，得得驻驻点点为为，在在-1,3-1,3内，内，函数的定义域函数的定义域x()y xy(,1 1,3 3,)-6-4-2246-400-2002007186223 xxxy 利用单调性证明不等式，利用单调性证明不等式，也是我们常用的方法。也是我们常用的方法。例例5 511,23.xxx 当当时时 试试证证成成立立证证 设设 1()23,f xxx 322111(),xfxxxx (1,)x当当时时，()0,fx 1()23(1,)f xxx 函函数数在在单单调调增增加加。(1)0,f 又又()(1)0f xf 1()230f xxx 结结论论得得证证。-1123456-1123452yx 13yx三、曲线凹凸性与拐点三、曲线凹凸性与拐点 问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?xyoxyo)(xfy xyo)(xfy 图形上任意弧总是图形上任意弧总是位于任意切线的上位于任意切线的上方方ABC（向上）凹的（向上）凹的（向上）凸的（向上）凸的图形上任意弧总是图形上任意弧总是位于任意切线的下位于任意切线的下方方121222()()()xxf xf xf 121222()()()xxf xf xf（向上）凹的（向上）凹的（向上）凸的（向上）凸的定义定义12121212122222(),()(),(),();()()(),()f xIIxxf xf xxxff xIxxf xf xff xI 设设在在区区间间上上连连续续 如如果果对对上上任任意意两两点点恒恒有有那那么么称称在在上上的的图图形形是是（向向上上）凹凹的的（或或凹凹弧弧）如如果果恒恒有有那那末末称称在在上上的的图图形形是是（向向上上）凸凸的的（或或凸凸弧弧）(),(,)(),(),();f xa ba bf xa b如如果果在在内内连连续续 且且在在内内的的图图形形是是凹凹或或凸凸的的 那那么么称称在在内内的的图图形形是是凹凹 或或凸凸的的四、曲线凹凸的判定四、曲线凹凸的判定xyo)(xfy xyo)(xfy abAB递递增增)(xf abBA0 y递递减减)(xf 0 y定理定理.,)(,)()(;,)(,)()(),(,),(,)(上的图形是凸的上的图形是凸的在在则则上的图形是凹的上的图形是凹的在在则则内内若在若在一阶和二阶导数一阶和二阶导数内具有内具有在在上连续上连续在在如果如果baxfxfbaxfxfbababaxf0201 例例6 6ln.yx 判判断断曲曲线线的的凹凹凸凸性性-3-2-1123-3-2-1123解解(0,),D 定定义义域域为为1,yx 210,yx (0,)曲线在曲线在 为凸的为凸的例例7 7.的的凹凹凸凸性性判判断断曲曲线线3xy 解解,32xy ,6xy 时时，当当0 x,0 y为为凸凸的的；在在曲曲线线,(0时时，当当0 x,0 y为为凹凹的的；在在曲曲线线),0.),(点点是是曲曲线线由由凸凸变变凹凹的的分分界界点点00注意到注意到,-1-0.50.51-1-0.50.513yx 五、曲线的拐点及其求法五、曲线的拐点及其求法1 1、定、定 义义注意注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.2 2、拐点的求法、拐点的求法方法方法1:1:,)(,)(000 xfxxf且且的邻域内二阶可导的邻域内二阶可导在在设函数设函数;)(,(,)()(即即为为拐拐点点点点变变号号两两近近旁旁0001xfxxfx.)(,(,)()(不不是是拐拐点点点点不不变变号号两两近近旁旁0002xfxxfx 判定曲线的凹凸性判定曲线的凹凸性 与求曲线的拐点的一般步骤为：与求曲线的拐点的一般步骤为：(1)(1)求函数的二阶导数求函数的二阶导数 ；)(xf (2)(2)令令0)(xf，解出全部实根，解出全部实根，并求出所有使二阶导数不存在的点；并求出所有使二阶导数不存在的点；(3)(3)对步骤对步骤(2)(2)中求出的每一个点，检查中求出的每一个点，检查其邻近左、右两侧其邻近左、右两侧 )(xf 的符号，确定的符号，确定曲线的凹凸区间和拐点曲线的凹凸区间和拐点.例例8 843341.yxx 求求曲曲线线的的拐拐点点及及凹凹、凸凸的的区区间间解解),(:D,121223xxy ).32(36 xxy,0 y令令.,32021xx得得x)0,(),32()32,0(032)(xf )(xf 00凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点拐点拐点)1,0()2711,32().,(323200凹凹凸凸区区间间为为-1-0.50.511.5246843341yxx 例例9 9.的的拐拐点点求求曲曲线线3xy 解解,时时当当0 x,3132 xy,9435 xy.,均不存在均不存在是不可导点是不可导点yyx 0,),(00 y内内但但在在;)0,(上上是是凹凹的的曲曲线线在在 ,),(00 y内内在在.),0(上是凸的上是凸的曲线在曲线在.),(的拐点的拐点是曲线是曲线点点300 xy-1-0.50.51-1-0.50.513yx.)()(,(,)(的的拐拐点点是是连连续续曲曲线线也也可可能能点点不不存存在在若若xfyxfxxf 000注意注意:内容小结内容小结1.1.可导函数单调性判别可导函数单调性判别Ixxf,0)()(xf在在 I 上单调递增上单调递增Ixxf,0)()(xf在在 I 上单调递减上单调递减2.2.曲线凹凸与拐点的判别曲线凹凸与拐点的判别Ixxf,0)(上向上凹在曲线Ixfy)(Ixxf,0)(+上向上凸在曲线Ixfy)(拐点拐点 连续曲线上有切线的凹凸分界点连续曲线上有切线的凹凸分界点思考题思考题思考题解答思考题解答例例4)(xxf),(x0)0(f练练 习习确定函数确定函数 的单调区间的单调区间.3210496yxxx 解解3221010496(496)yxxxxxx 0 00 0(,)(,),D 定定义义域域为为3210()496yxxx 232260(231)(496)xxxxx 32260(21)(1)(496)xxxxx 确定函数确定函数 的单调区间的单调区间.3210496yxxx 1012yx 令令，得得驻驻点点为为，x()fx()f x(,0)1(0,)21(,1)2(1,)32260(21)(1)(496)xxyxxx 1(0,)2(,0)(1,)，；该函数的单调减区间为：该函数的单调减区间为：单调增区间为：单调增区间为：-3-2-1123-20-15-10-551015203210496yxxx arctanyxx 判判断断曲曲线线的的凸凸凹凹性性。练练 习习解解(,),D 2arctan1xyxx 22221121(1)xxxyxx (,),x 2220(1)yx 222(1)x arctanyxx 曲曲线线是是凹凹的的。-4-22412345例例6 6证证.)1ln(,0成立成立试证试证时时当当xxx),1ln()(xxxf设设.1)(xxxf则则,0)(),0(,),0)(xfxf可可导导，且且上上连连续续在在上单调增加；上单调增加；在在),0,0)0(f时，时，当当0 x,0)1ln(xx).1ln(xx即即-1123456-112345yx ln(1)yx