第六节函数的连续性与间断点PPT课件

第六节第六节 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点一、函数的连续性一、函数的连续性)()(00 xfxxfy的的增增量量为为函函数数)(xfy 注意注意零零；增增量量可可正正、可可负负、可可为为)(1),()(xxfxfy00变变到到从从则则的的某某邻邻域域内内有有定定义义，在在点点设设函函数数0 xxfy)(.称称为为自自变变量量的的增增量量,xxxx00变变到到从从若若0 xyxx0 x)(0 xxf)(0 xf0的的变变化化而而变变化化且且随随 x.)(为为整整体体符符号号y2增量增量表表示示自自变变量量的的变变化化，用用 x定义定义100yxlim的的连连续续点点为为并并称称)(xfx0某某邻邻域域内内有有定定义义，是是连连续续的的，在在点点函函数数则则称称0 xxfy)(二二.函数连续的定义函数连续的定义的的在在点点设设函函数数0 xxfy)(若若反之反之,称函数在称函数在x0 处间断处间断,且将且将x0 叫作函数的间断点叫作函数的间断点 于是于是,得到连续性的等价定义得到连续性的等价定义因为因为 )()(00 xfxxfy00yxlim)()(lim000 xfxxfx)()(lim00 xfxfx或或故由故由可推得可推得01000)()(lim)(xfxxfx)()(lim)(002xfxfxx)()(0 xfxf有有时时，当当0 xx，对对03)(，0）有有定定义义的的邻邻域域（含含在在001xxxf)();()(lim)(lim)0003xfxfxfxxxx;)(lim都都存存在在xfxx0连连续续在在则则称称0 xxf)(附附近近满满足足：在在若若04xxf)()(),(lim)xfxx02定义定义2，若若)()(lim00 xfxfxx，若若)()(lim00 xfxfxx.)(左左连连续续在在则则称称0 xxf.)(右右连连续续在在则则称称0 xxf内内连连续续，在在若若),()(baxf右右连连续续，且且在在点点ax 左左连连续续，在在点点bx.上上连连续续,)(baxf在在闭闭区区间间则则称称连续函数的几何意义连续函数的几何意义:若若 在在 上连续上连续,ba)(xfy则图形在则图形在 必断开必断开,0 x则对应于函数的图形则对应于函数的图形(曲线曲线)是连续不断的是连续不断的,且断开的形式是多种多样的且断开的形式是多种多样的.0 x)(xf若在若在 处处 不连续不连续,内内连连续续。在在则则称称),()(baxf内内每每一一点点连连续续，在在开开区区间间若若),()(baxf例例1.),(sin内内连连续续在在证证明明xyxxxysin)sin(xx22.),(sin内内连连续续在在xy,),(内内任任一一点点是是设设证证x相相应应的的函函数数增增量量为为,)cos(12xx,lim00yx于于是是由由 的任意性知的任意性知x)cos(sin222xxx22xysin时时，有有增增量量当当xx例例2.)(连连续续在在因因此此0 xxf.,sin,)(连连续续在在证证明明001012xxxxxxxf同法可以证明同法可以证明 在在 内也连续内也连续),(xycos1010)(,)(limfxfx且且01310012xxaxxxbxxxxxf),(tan)ln(,sinsin)(设设例例3,)(lim10 xfx因因为为证证连连续续在在函函数数0 xxf)(xxxxfxxsinsinlim)(lim1200解解0100 xxxxxxsinlimsinlim)(tan)ln(lim)(lim13100 xaxxxfxx)(limlim1300 xaxxxxa 3根根据据函函数数连连续续的的定定义义知知而而.)(bf003003baba,从从而而得得为为何何值值时时，问问ba,三、间断点三、间断点定义定义3不连续，在点若0 xxf)(:)(0的间断点称为函数则点xfx处无定义；但在点0 x不存在；但)(lim0 xfxx；但)()(lim00 xfxfxx现，有下列三种情况之一出在点即函数0)(xxf处虽有定义，在点0)2(x附近有定义，在点0)1(x0 x0存在，处有定义，且在点)(lim)3(00 xfxxx00 x.)(的间断点称为则点xfx0间断点分类间断点分类的第一类间断点；为则称)(0 xfx的可去间断点；为则称)(0 xfx间断，在点若01xxf)()(的第一类间断点，为若)(xfx0的第二类间断点；为则称)(0 xfx,)()()2(00中至少有一个不存在和若xfxf为第一类间断点；则0,0,10,00,1)sgn(xxxxxy例4为第二类间断点；则1,11xxy存在，且)(limxfxx0,)()(都存在和但00 xfxf.0,1sin为可去间断点则xxxy,0,00,1sin)(xxxxxf若令.则成为连续函数例例5的间断点为：xxxfsin)(,2,0nxx为可去间断点；知：由01sinlim0 xxxx.为第二类间断点),2,1(sinlimnnxxxnx知：由三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性(导读)和差积商的连续性和差积商的连续性连续，则在点设0)(,)(xxgxf也连续在点00)0)()()(),()(,)()(xxgxgxfxgxfxgxf反函数的连续性反函数的连续性且连续减少也单调增加)(在相应的区间上则其反函数)(yx且连续，减少)(在其区间上单调增加如果)(xfy 复合函数的连续性复合函数的连续性又连续，且在设),()(000 xuxxu则)(lim)()(lim000 xfxfxfxxxx例例6xxx10)1ln(limxxx10)1(limln1lne.0也连续在点 x)(xfy,)(axxu有极限在若0)()(lim00 xxxx)()(lim00ufufuu即即 若若则则)()(lim00 xfxfxx则复合函数连续，在点.)(0uufy 更一般地更一般地连续，在点auufy)(初等函数连续性初等函数连续性1、基本初等函数在其定义域上连续、基本初等函数在其定义域上连续.2、初等函数在其定义区间上连续、初等函数在其定义区间上连续.则则谈谈不不到到连连续续性性3、初等函数在其定义区间上求极限即求该点的、初等函数在其定义区间上求极限即求该点的 函数值函数值.4、初等函数求连续区间即求定义区间、初等函数求连续区间即求定义区间.例例7.21,211,)(2的连续性讨论xxxxxf孤孤立立点点，若若初初等等函函数数的的定定义义域域为为注注,1cos)(xxf例例Jkkx,2 其其定定义义域域为为.2,1)(上连续在故xf连续；在1)(xxf在各自的区间上连续；为初等函数解2,)1(2xx),1()(lim)(lim1)2(11fxfxfxxx处，第七节第七节 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质一、最大值和最小值定理一、最大值和最小值定理定义定义最大值和最小值.),(xfI 上有定义的函数对于在区间,0Ix 如果存在)()()()(,00 xfxfxfxfIx都有使得对于任一).()()(0最小值上的最大值在区间是函数则称Ixfxf 定理定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最小值）使得()(2Mf连续，在即若,)(baxf,1ba则至少存在一个;()(1最小值）使得mf,2ba至少存在一个几何说明：几何说明：ba0ab例如例如 在在 上连续但无最大最小值上连续但无最大最小值 ),(baxy 1）若）若 在开区间在开区间 上连续，上连续，),(ba)(xfy注意：注意：,ba)(xfy 2）若）若 在在 上有定义，但有间断点，上有定义，但有间断点，),(ba则在区间则在区间 上不一定达到最大值。上不一定达到最大值。)(xfy,ba则则 在区间在区间 上不一定达到最大最小值。上不一定达到最大最小值。例如例如21311101)(xxxxxxfy003）最大值最小值可能不唯一）最大值最小值可能不唯一4）最大值最小值可在区间内或区间端点处取得）最大值最小值可在区间内或区间端点处取得5）定理仅指出最值的存在，并没指出在何处取得。）定理仅指出最值的存在，并没指出在何处取得。上有界；在上连续，则在若,)(,)(baxfbaxf定理定理2（有界性定理）（有界性定理）.),()(有界在则xf连续，在若),()(xf,)(limAxfx且推广：推广：二、介值定理二、介值定理定理定理3(介值定理)推论推论 在闭区间上连续的函数上连续，在闭区间设函数,)(baxf,CBA之间的任意一个数与对于,),(，内至少有一点在开区间baBbfAaf)()(及取不同的函数值端点且在区间的).()(baCf使得上连续，在闭区间设函数,)(baxf异号，与且)()(bfaf的一个零点，内至少有函数那么在开区间)(),(xfba).(0)(,baf使得，即至少有一点定理定理4(零点定理)那末，必取得介于其最大值与最小值之间的任何值.例例20 1)sin()(,0)0(baabafbf)0(0)(baf使得.ba并且它不超过,0,0,sinbabxax其中证明方程.ba它不超过至少有一个正根，并且是一个初等函数，解xbxaxf sin)(上连续，因此在闭区间,0ba 的端点处的函数值在区间又函数,0)(baxf，内至少有一点间由零点定理知，在开区),0(ba至少有一个正根，此即说明方程bxax sin