随机信号分析习题

随机信号分析习题一1. 设函数，试证明是某个随机变量的分布函数。并求下列概率：，。2. 设的联合密度函数为，求。3. 设二维随机变量的联合密度函数为 求：（1）边沿密度， （2）条件概率密度，4. 设离散型随机变量的可能取值为，取每个值的概率都为，又设随机变量。（1）求的可能取值（2）确定Y的分布。（3）求。5. 设两个离散随机变量，的联合概率密度为：试求：（1）与不相关时的所有值。 （2）与统计独立时所有值。6. 二维随机变量（，）满足：为在0，2上均匀分布的随机变量，讨论，的独立性与相关性。7. 已知随机变量X的概率密度为，求的概率密度。8. 两个随机变量，已知其联合概率密度为,求的概率密度？9. 设是零均值，单位方差的高斯随机变量，如图，求的概率密度10. 设随机变量和是另两个随机变量和的函数设，是相互独立的高斯变量。求随机变量和的联合概率密度函数。11. 设随机变量和是另两个随机变量和的函数已知，求联合概率密度函数。12. 设随机变量为均匀分布，其概率密度（1）求的特征函数,。（2）由，求。13. 用特征函数方法求两个数学期望为0，方差为1，互相独立的高斯随机变量和之和的概率密度。14. 证明若依均方收敛，即 ，则必依概率收敛于。15. 设和为两个二阶矩实随机变量序列，和为两个二阶矩实随机变量。若，求证。随机信号分析习题二1. 设正弦波随机过程为其中为常数；为均匀分布在内的随机变量，即(1) 试求时，的一维概率密度；(2) 试求时，的一维概率密度。2. 若随机过程为式中，为在区间上均匀分布的随机变量，求及。3. 设随机振幅信号为其中为常数；是标准正态随机变量。求该随机信号的均值、方差、相关函数和协方差函数。4. 设随机相位信号式中、皆为常数，为均匀分布在上的随机变量。求该随机信号的均值、方差、相关函数和协方差函数。5. 设，其中，为实常数，试求。6. 数学期望为、相关函数为的随机信号输入微分电路，该电路输出随机信号。求的均值和相关函数。7. 设随机信号，其中是均值为5、方差为1的随机变量。现设新的随机信号。试求的均值、相关函数、协方差函数和方差。8. 利用重复抛掷硬币的实验定义一个随机过程设“出现正面”和“出现反面”的概率都为1/2。(1) 求的一维分布函数和；(2) 求的二维分布函数。9. 给定一个随机过程和任一实数，定义另一个随机过程证明的均值函数和自相关函数分别为的一维和二维分布函数。10. 定义随机过程，为正常数，设，且与相互独立，令，试求与。11. 考虑一维随机游动过程，其中，为一取值和的随机变量，已知，且，相互独立，试求：1) ;2) 和。12. 考虑随机过程，其样本函数是周期性锯齿波。两个典型的样本函数如图所示。每个样本函数都具有相同的形状，将时刻以后出现的第一个零值时刻记为，假设是一个均匀分布的随机变量求的一维概率密度tTT0X(t)A13. 将上题中的锯齿波过程作一点改动，使每个脉冲的幅度为服从麦克斯韦(Maxwell)分布的随机变量其中的定义和上题相同。假设不同脉冲的幅度之间统计独立，并均与统计独立，求的一维概率密度。Y(t)tTT014. 考虑一个正弦振荡器，由于器件的热噪声和分布参数的影响，振荡器的输出正弦波可视为一个随机过程其中振幅、角频率和相位是相互独立的随机变量，并且已知：求的一维概率密度。随机信号分析习题三1. 设有零均值的平稳过程，其相关函数为，令 求的方差函数和协方差函数。2. 设是平稳过程，且，求随机变量的数学期望和方差。3. 设随机过程 其中平稳过程和及随机变量三者相互独立，且，的相关函数为，的相关函数为，又，。求的数学期望，方差和相关函数。4. 设平稳过程，其相关函数为，且，是常数。证明：(1) (2) 5. 设，其中是常数，是随机变量，具有概率密度函数讨论的严平稳性。6. 设是任意的随机变量，是与相互独立的，且在上服从均匀分布的随机变量，令，是常数，证明是严平稳过程。7. 设是一个零均值的平稳过程，而且不恒等于一个随机变量，令，。判断是否为平稳过程。8. 设，其中和是相互独立的随机变量，且，。(1) 求的均值函数和相关函数；(2) 证明是宽平稳过程，但不是严平稳过程。9.(上节习题课的例题12)考虑随机过程，其样本函数是周期性锯齿波。两个典型的样本函数如图所示。每个样本函数都具有相同的形状，将时刻以后出现的第一个零值时刻记为，假设是一个均匀分布的随机变量判断平稳性。tTT0X(t)A10. (上节习题课的例题14)考虑一个正弦振荡器，由于器件的热噪声和分布参数的影响，振荡器的输出正弦波可视为一个随机过程其中振幅、角频率和相位是相互独立的随机变量，并且已知(1)求的一维概率密度；(2) 是一阶平稳过程吗？11. 设是平稳过程，其协方差是绝对可积，即。证明的均值具有各态历经性。12. 设随机过程，其中是一平稳过程，是与无关的随机变量，讨论过程的遍历性。13. 设，其中是常数，和是相互独立的随机变量，且，研究的各态历经性。14. 随机过程，其中是具有一、二阶矩的随机变量，但不服从单点或两点分布，讨论它的各态历经性。随机信号分析习题四1. 已知平稳过程的相关函数如下，试求它的功率谱密度(1) (2) 2. 设为一个随机电报波过程，它的一个样本函数如图所示。已知在任一时刻波形取和的概率相同，在时间间隔内波形变号的次数服从参数为的泊松分布(1) 求的自相关函数；(2) 求的功率谱密度函数。3. 已知平稳过程和的功率谱密度为求和的自相关函数和均方值。4. 若是平稳随机过程，如图所示证明过程的功率谱密度为延时5. 设是一个平稳过程的功率谱密度函数，证明不可能是平稳过程的功率谱密度函数。6. 设随机过程，其中为常量，和为相互独立的随机变量，且均匀分布于，的一维概率密度为偶函数，即，求证的功率谱密度为7. 设和是联合平稳的。试证明8. 给定一个随机过程式中，和为常数，为均匀分布于的随机变量（1） 求的平均功率；（2） 求的功率谱密度。9. 若平稳过程的功率谱密度为，又有式中，为常数，求功率谱密度。10. 设和是两个相互独立的平稳过程，均值函数和都不为零，已知和，以及和的功率谱密度和，令，试计算和。11. 已知随机变量和的联合概率密度为其中(1) 求边缘分布和；(2) 证明和不相关，但不统计独立。12. 一个零均值高斯过程，其协方差为求在时刻，抽样的三维概率密度。13. 设随机过程其中为常数，和是两个相互独立的高斯随机变量，已知求的一维概率密度函数。14. 设为平稳高斯过程，其均值为零，自相关函数为，求随机变量的概率密度函数。15. 设为一个零均值高斯过程，其功率谱密度如图所示，若每秒对取样一次，得到样本集合，求前个样本的联合概率密度。随机信号分析习题五1. 非周期平稳过程的自相关函数为式中，和是正实常数，系统的冲激响应为其中为正实常数，求该系统输出过程的均值。2. 假设低通滤波器的传输函数与冲激响应如下，输入为白噪声，其功率谱密度为，求(1) 滤波器输出功率谱密度；(2) 滤波器输出自相关函数；(3) 证明3. 设有冲激响应为的线性系统，系统输入为零均值、平稳过程，该过程的自相关函数为问：具备什么条件，可使输入过程与输出过程在时刻的随机变量不相关。4. 设是纯随机序列，且在与间均匀分布，试利用下列滤波方程求出，与的自相关函数与功率谱密度。5. 线性系统的输入为平稳过程，其功率谱为，设为输出。(1) 求误差过程的功率谱密度函数；(2) 考虑RC电路，设输入为一个二元波过程，求。RC6. 一个平均电路如下图所示(1) 证明系统的冲激响应函数为(2) 设输入过程的功率谱密度为，求输出过程的功率谱密度。7. 设输入为白噪声过程，其自相关函数为。求(1) 系统的冲激响应函数；(2) 输出过程的均方值。41/31/8 F1/6 F8. 证明均值为零、自相关函数为的白噪声通过一个理想积分器后输出方程的均方值为。9. 在习题5所示的RC电路中，设输入过程的自相关函数为，求输出过程的功率谱密度函数，自相关函数和均方值。10. 假设某线性系统如图所示，试用频域分析方法求出：(1) 系统的传输函数；(2) 当输入是谱密度为的白噪声时。输出的均方值。(提示：利用积分)延迟T11. 随机过程满足微分方程其中对于任意，都为白噪声，其自相关函数。证明的自相关函数满足方程，其中，初始条件为，。12. 如下图所示系统中输入同时作用于两个系统(1) 求输出和的互谱密度；(2) 设是零均值的具有单位谱高的白噪声，若要使和为不相关过程，和应满足什么条件？13. 如下图所示系统中，若已知，并已知输入是均值为零，谱密度为的高斯白噪声，求输出过程的一维概率密度。延时T随机信号分析习题六1. 分别求下列信号的希尔伯特变换(1) 。(2) 。2. 试求下列信号的解析信号及复数包络：(1) 指数衰落正弦波(2) 调幅波(3) 线性调制波3. 设低频信号的频谱为证明当时，有4. 试证：(1) 偶函数的希尔伯特变换为奇函数；(2) 奇函数的希尔伯特变换为偶函数。5. 试证：(1) ；(2) ；6. 设为的希尔伯特变换，证明：(1) 和在范围内的功率相等，即(2) 在范围内，和是正交的，即。 7. 证明下式成立，其中为平稳随机过程，为的解析信号：(1) ；(2) 8. 一个线性系统输入为时，相应的输出为。证明若该系统的输入为的希尔伯特变换，则相应的输出的希尔伯特变换为。9. 证明若加到系统的输入为，则相应的输出为对应于的解析信号，即10. 设谱密度为的零均值高斯白噪声通过一个理想带通滤波器，此滤波器的增益为1，中心频率为，带宽为。试求滤波器输出端的窄带过程及其同相和正交分量的自相关函数、。11. 设窄带过程的功率谱如图所示，试求：(1) 的同相和正交分量的功率谱密度。(2) 互谱密度。-740-4-5475712. 设如图所示系统的输入是谱密度为的零均值高斯白噪声，在上服从均匀分布，且与统计独立。其中两个滤波器的通带分别为和。(1) 求输出过程的功率谱密度。(2) 求的方差。带通低通13. 零均值平稳窄带噪声具有对称功率谱，其相关函数为，求正交和同相分量的相关函数、和方差、，并求互相关函数、。14. 对于零均值，方差为的窄带平稳高斯过程求证：包络在任意时刻所给出的随机变量其数学期望值与方差分别为。15. 试证：均值为零、方差为1的窄带平稳高斯过程，其任意时刻的包络平方的数学期望为2，方差为4。随机信号分析习题七1. 设是均值为零的实正态平稳过程，相关函数为，(1) 证明是平稳过程.(2) 求相关系数2. 设是均值为零的实正态平稳过程，相关函数为，求的均值和自相关函数.3. 设是均值为零的实正态平稳过程，相关函数为，功率谱密度为，,(1) 求的一维概率密度分布.(2) 求的二维概率密度分布.(3) 证明也是一个平稳过程.(4) 求的功率谱密度.4. 系统输入是均值为零的实正态平稳随机信号，通过系统输出功率谱密度为试求、各自的自相关函数.5. 信号和噪声同时作用于平方律检波器，信号，其中和为常数，为均匀分布的随机变量，噪声为零均值的高斯随机过程，相关函数为，信号和噪声是不相关的，求输出信号的均值、方差、自相关函数和功率谱.6. 设一非线性系统的传输特性为其输入为零均值的平稳高斯噪声，方差为，相关函数为，用多项式变换的矩函数法求输出的自相关函数(多项式展开只取前3项).7. 系统输入是均值为零，方差为1的高斯白噪声，用特征函数法求非线性系统输出端的自相关函数函数.8. 系统输入是均值为零，方差为1的高斯白噪声，通过一线性检波器用特征函数法求系统输出的自相关函数. 9. 窄带正态随机过程，通过平方律检波器求检波器输出端的均值和方差.随机信号分析习题八1.设有三个状态的马氏链，其一步转移概率矩阵为求.2. 设有三个状态的马氏链，其一步转移概率矩阵为 对，求和.3.设有三个状态的马氏链，其一步转移概率矩阵为求(1)何时此链具有遍历性 (2)极限分布的各个概率4. 设有三个状态的马氏链，其一步转移概率矩阵为判断此链是否具有遍历性.5. 设有两个状态的马氏链，其一步转移概率矩阵为讨论此链的遍历性和平稳分布.6.已知独立随机变量序列，序列中的各个随机变量分别具有概率密度函数，设，于是构成了一个新的随机变量序列，证明序列是一个马尔可夫序列.7.一积分器的输入为，输出为，若是零均值的平稳正态白噪声，功率谱密度为，证明为一维纳过程.8.设为一个独立增量过程，且，若用表示的方差函数(1) 证明的协方差函数满足(2) 对应于泊松过程和维纳过程分别求相应的和.