复件圆锥曲线专题复习2

1.利用定义求轨迹问题利用定义求轨迹问题定义解题定义解题 例例1.1.一圆与圆一圆与圆x x2 2+y+y2 2+6x+5=0+6x+5=0外切，同时与圆外切，同时与圆x x2 2+y+y2 2-6x-91=0-6x-91=0内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。解：如图：设动圆圆心为解：如图：设动圆圆心为P（x,y),半径半径为为R，两已知圆圆心为，两已知圆圆心为O1、O2。分别将两已知圆的方程分别将两已知圆的方程 x2+y2+6x+5=0 x2+y2-6x-91=0配方，得配方，得（x+3)2+y2=4 (x-3)2+y2=100当当PP与与O O1 1:(x+3):(x+3)2 2+y+y2 2=4=4外切时，有外切时，有|O|O1 1P|=R+2P|=R+2 当当PP与与O O2 2:(x-3):(x-3)2 2+y+y2 2=100=100内切时，有内切时，有|O|O2 2P|=10-RP|=10-R、式两边分别相加，得式两边分别相加，得|O1P|+|O2P|=12O O1 1PXYO O2 2即，动圆圆心即，动圆圆心P(x,y)P(x,y)到点到点O O1 1（-3-3，0 0）和点）和点O O2 2(3,0)(3,0)距离的和是距离的和是常数常数1212，所以点，所以点P P的轨迹是焦点为（的轨迹是焦点为（-3-3，0 0）、（）、（3 3，0 0），长轴），长轴长等于长等于1212的椭圆。于是可求出它的标准的椭圆。于是可求出它的标准方程。方程。2c=6,2a=12,c=3 ,a=6 b2=36-9=27于是得动圆圆心的轨迹方程为于是得动圆圆心的轨迹方程为1273622yx 例例2（02舂）已知椭圆的焦点是舂）已知椭圆的焦点是F1、F2，P是是椭圆上的一个动点，如果延长椭圆上的一个动点，如果延长F1P到到Q，使使得得PQ=PF2那么动点那么动点Q的轨迹是（的轨迹是（）A：圆，：圆，B；椭圆，；椭圆，F1F2QP分析：由椭圆的定义得：分析：由椭圆的定义得：PF1+PF2=2a,又又PF2=PQPF1+PQ=QF1=2a,Q点轨迹是以点轨迹是以F1为圆为圆心，心，2a为半径的圆。为半径的圆。（变式（变式1）已知椭圆的焦点是）已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆是椭圆上的一个动点，过上的一个动点，过F2作作 F1 P F2外角的平分线的垂外角的平分线的垂线线,垂足为垂足为M,那么动点那么动点M的轨迹是（的轨迹是（）A：圆，：圆，B；椭圆，；椭圆，F1F2QP分析：由椭圆的定义得：分析：由椭圆的定义得：PF1+PF2=2a,又又PF2=PQPF1+PQ=QF1=2a,QF1=2MOM点轨迹是以点轨迹是以O为圆心，为圆心，a为半径的圆。为半径的圆。MO 变式变式2.如图如图,若圆若圆C：（：（x+1）2+y2 =36上的动上的动点点M与点与点B（1，0）连线）连线BM的垂直平分线交的垂直平分线交CM于点于点G，则点，则点G的轨迹方程是的轨迹方程是_ (3)xyOMBCG定义法定义法：解析：解析：连结连结GB，G是线段是线段BM垂直平分线上的点垂直平分线上的点，所以，所以，|GB|=|GM|又又|CG|+|GB|=|CG|+|GM|=6（|CB|=2）根据椭圆的定义：则根据椭圆的定义：则G点的轨迹为椭圆点的轨迹为椭圆.又又a2=9,c2=1 所以所以b2=8故故G点的轨迹方程为点的轨迹方程为:定义法定义法:结合所学曲线的定义结合所学曲线的定义,寻找所求轨迹方程寻找所求轨迹方程.18922yx例例1、已知椭圆已知椭圆 中中F1，F2 分别为其分别为其 左、左、右焦点和点右焦点和点A ，试在椭圆上找一点，试在椭圆上找一点 P使使（1）取得最小值取得最小值;12422 yx 211,2PFPA AF1F2xyoP2、利用定义求解最（定）值问题、利用定义求解最（定）值问题分析：由椭圆的定义得：分析：由椭圆的定义得：PF1+PF2=2a,PF2+PA=2a-PF1+PA =2a-(PF1-PA)即求即求(PF1-PA)的最大值的最大值P例例1、已知椭圆已知椭圆 中中F1，F2 分别为其分别为其 左、左、右焦点和点右焦点和点A ，试在椭圆上找一点，试在椭圆上找一点 P使使（2）12422 yx 211,取得最大值。2PFPA AF1F2xyoPP(2)分析：由椭圆的定义得：分析：由椭圆的定义得：PF1+PF2=2a,PF2+PA=2a-PF1+PA =2a+(PA-PF1)即求即求(PA-PF1)的最大值的最大值例例1、已知椭圆已知椭圆 中中F1，F2 分别为其分别为其 左、左、右焦点和点右焦点和点A ，试在椭圆上找一点，试在椭圆上找一点 P使使（3）取得最小值取得最小值.12422 yx 211,12 PFPA AF1F2xyoP分析：由椭圆第二定义得：分析：由椭圆第二定义得：PF1/PB=e,PB=PF1/e=2PF1 PA+2PF1=PA+PB 即求即求PA+PB的最小值的最小值BP例例2、设椭圆、设椭圆 的焦点为的焦点为F1和和F2,P 是椭圆上任一点，若是椭圆上任一点，若 的最大值为的最大值为 ,求椭圆的离求椭圆的离心率心率.0012222 b,abyax21PFF 32 F1F2PP.,PF,2212121nPFmPFFcFF，设解析：mncnmPFF2)2(cos22221中，在mnmnca224422124422mncaanm2mn2anm2”）时取“nmamn(21244222aca2min21cose21212e23e例例3、P为椭圆为椭圆 +=1上一点上一点,F2 为其一个焦点，为其一个焦点，求证以求证以F2P为直径的圆与以它长轴为直径的圆相切。为直径的圆与以它长轴为直径的圆相切。XOPF2F1M2X_a22Y _b2Y置关系解析：依据圆与圆的位圆心距等于半径之差aPFO2Mr,2r21PFOM 又222PFa 22PFa Mr-Or例例5、若过椭圆、若过椭圆 +=1(ab0)的左焦点的左焦点F 1、倾斜角为倾斜角为60的直线交椭圆于的直线交椭圆于A、B两点，且两点，且|AF1|=2|BF1|，求椭圆的离心率。，求椭圆的离心率。OXYABCA1B1F1X _a22Y _b22Lmm2em2emememem31360cos32 e变式变式1、椭圆 +=1上一点P到右焦点F2的距离为7，求P到左准线的距离。XYOF1F2PX_252Y _162LLP2P11r变式变式1、椭圆 +=1上一点P到右焦点F2的距离为7，求P到左准线的距离。XYOF1F2PX_252Y _162LLP2P1e7eca72272aea72变式变式2.已知已知P为椭圆为椭圆b2x2+a2y2=a2b2,(ab0)上任意一点，上任意一点，F1,F2为焦点，求为焦点，求PF1PF2的最值。的最值。F1F2P0201000,PF,)()y,(exaPFexaaxaxP由椭圆第二定义得：设解析：20220021)(PFxeaexaexaPF22000axaxa2222020caexe220222baxea2212PFaPFb变式变式3.设设A（x1,y1）为椭圆）为椭圆x2+2y2=2上的一点，过点上的一点，过点A作一条斜率为作一条斜率为 -x1/2y1的直线的直线L，设，设d为原点到直线为原点到直线L的距离，的距离，r1,r2分别为分别为 点点A到椭圆两焦点的距离，求：到椭圆两焦点的距离，求：dr1r2的值。的值。XYOF1F2ALdr2r11211,rexarexa得：解析：由椭圆第二定义)(2L1111xxyxyy：直线02211yyxx整理得：2121214242xyxd24)(r22,22101212xexaexarea22442r212121xxrd变式变式4 设设F1,F2为椭圆为椭圆b2x2+a2y2=a2b2,(ab0)的焦点，的焦点，M在椭圆上，在椭圆上，且且M，F1,F2不共线，设不共线，设G是三角形是三角形M F1F2的内心，延长的内心，延长MG 交交F1F2于点于点N，求证：，求证：MG/GN为定值。为定值。XYOF1F2MGNr)()(21S12121FMF21carFFMFMFr：解析hhcFhF21FMF21S21又cca rhrhNGNM而cca caNGMG变式变式4 设设F1,F2为椭圆为椭圆b2x2+a2y2=a2b2,(ab0)的焦点，的焦点，M在椭圆上，在椭圆上，且且M，F1,F2不共线，设不共线，设G是三角形是三角形M F1F2的内心，延长的内心，延长MG 交交F1F2于点于点N，求证：，求证：MG/GN为定值。为定值。XYOF1F2MGNmtsnm：解析 2nttcnna22catntsNMFF22平分又GtnGNMGca5 在平面直角坐标系中，若方程在平面直角坐标系中，若方程m(x2+y2+2y+1)=(x-2y+3)2表示的表示的 曲线是椭圆，求曲线是椭圆，求m的取值范围是。的取值范围是。myxyx1)32()1(222解析：原式myxyx1)32()1(22F1(0,-1)P(x,y)x-2y+3=01150m5m532)1(1522yxyxm例例1、已知椭圆方程为、已知椭圆方程为 为椭圆的两个焦点，为椭圆的两个焦点，M为椭圆上任一点，且为椭圆上任一点，且M不与长轴两端点重不与长轴两端点重合，设合，设 若若求椭圆离心率的取值范围求椭圆离心率的取值范围.21222,10,144FFttyx,FMF,FMF 1221,21tantan3122xyoF1F2M3、利用定义求解参数问题、利用定义求解参数问题.4MF,2,22121mMFmacFF，则设解析：)sin(2sin4sincmm由正弦定理)sin(2)sin(sincm得：消去2cos2sin22cos2sinccc222tan2tan212231cc例例3:椭圆椭圆x2/9 y2/41的焦点为的焦点为F1,F2，点点P在曲线上，当在曲线上，当 F1P F2为钝角时，点为钝角时，点P的横坐标的取值范围的横坐标的取值范围-F1F2P解解1:设设P(x,y).由题设易知由题设易知:（P F1）2+（PF2）2（F1F2）2 即即:(x+c)2+y2+(x-c)2+y2 4 c2 -3/5x3/5P x2/9 y2/41 由由式解得式解得y2=代入代入式解得式解得:-3/5x3/5例例3:椭圆椭圆x2/9 y2/41的焦点为的焦点为F1,F2，点点P在曲线上，当在曲线上，当 F1P F2为钝角时，点为钝角时，点P的横坐标的取值范围的横坐标的取值范围-F1F2P解解2:设设P(x,y).由题设易知由题设易知:（P F1）2+（PF2）2（F1F2）2 而而:-3/5x3/5P代入解得代入解得:-3/5x3/5exaPFexaPF21,例例3:椭圆椭圆x2/9 y2/41的焦点为的焦点为F1,F2，点点P在曲线上，当在曲线上，当 F1P F2为钝角时，点为钝角时，点P的横坐标的取值范围的横坐标的取值范围-F1F2P-3/5x3/5P1P2x1x2解解3:设设P(x,y):（P F1）2+（PF2）2=（F1F2）2 即即:(x+c)2+y2+(x-c)2+y2=4 c2 x2/9 y2/41 由由式解得式解得y2=代入代入式解得式解得:x1=-3/5;或或 x2=3/5例例3:椭圆椭圆x2/9 y2/41的焦点为的焦点为F1,F2，点点P在曲线上，当在曲线上，当 F1P F2为钝角时，点为钝角时，点P的横坐标的取值范围的横坐标的取值范围-F1F2P-3/5x3/5P1P2x1x2解解4:设设P(x,y):（P F1）2+（PF2）2=（F1F2）2 exaPFexaPF21,代入解得代入解得:x1=-3/5;或或 x2=3/5例例3:椭圆椭圆x2/9 y2/41的焦点为的焦点为F1,F2，点点P在曲线上，当在曲线上，当 F1P F2为钝角时，点为钝角时，点P的横坐标的取值范围的横坐标的取值范围-F1F2P-3/5x3/5P1P2x1x2解解5:设设P(x,y):kPF1kPF2=1 x2/9 y2/41 由由式解得式解得y2=代入代入式解得式解得:x1=-3/5;或或 x2=3/5例例3:椭圆椭圆x2/9 y2/41的焦点为的焦点为F1,F2，点点P在曲线上，当在曲线上，当 F1P F2为钝角时，点为钝角时，点P的横坐标的取值范围的横坐标的取值范围-F1F2P-3/5x3/5P1P2x1x2解解6:212222,5149xxyxyx联立方程解得与