控制系统的时域分析法

第第3 3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法3-1 3-1 典型的输入信号典型的输入信号3-2 3-2 控制系统的时域性能指标控制系统的时域性能指标3-3 3-3 一阶系统响应一阶系统响应3-4 3-4 二阶系统响应二阶系统响应3-5 3-5 线性定常系统的稳定性和劳斯判据线性定常系统的稳定性和劳斯判据3-6 3-6 控制系统的稳态误差控制系统的稳态误差对于线性系统，常用的分析方法有三种：时域分析方法；根轨迹法；频率特性法。引言引言 时域分析方法，是一种直接分析方法，具有直观准确的优点，尤其适用于低阶系统。时域分析时域分析：是根据微分方程，利用拉氏变换直是根据微分方程，利用拉氏变换直接求出系统的时间响应，然后按照响应曲线来接求出系统的时间响应，然后按照响应曲线来分析系统的性能。分析系统的性能。Input(Typical)Control System (Differential Equation)Laplace Transform Output ResponseStabilityTheoremAccuracyEssTransient ResponseSpecification3-1 3-1 典型的输入信号典型的输入信号 系统的数学模型由本身的结构和参数决定；系统的数学模型由本身的结构和参数决定；系统的输出由系统的数学模型、系统的初始系统的输出由系统的数学模型、系统的初始状态和系统的输入信号形式决定；状态和系统的输入信号形式决定；典型的输入信号有：阶跃信号，斜坡信号，典型的输入信号有：阶跃信号，斜坡信号，加速度信号，脉冲信号，正弦信号；加速度信号，脉冲信号，正弦信号；典型输入信号的特点：数学表达简单，便于典型输入信号的特点：数学表达简单，便于分析和处理，易于实验室获得。分析和处理，易于实验室获得。一、阶跃信号一、阶跃信号A A为常量，为常量，A=1A=1的阶跃函数称为单位阶跃函数。的阶跃函数称为单位阶跃函数。表达式：表达式：0()00Atr tt拉氏变换：拉氏变换：1()1()R sLts二、斜坡函数二、斜坡函数21)(StLsR拉氏变换拉氏变换：A A为常量，为常量，A=1A=1的阶跃函数称为单位斜坡函数。的阶跃函数称为单位斜坡函数。表达式：表达式：0()00Attr ttA A为常量，为常量，A=1A=1的阶跃函数称为单位等加速的阶跃函数称为单位等加速度函数。度函数。三、等加速度信号三、等加速度信号表达式：表达式：210()200Attr tt拉氏变换：拉氏变换：2311()2R sLts)(t 为常量，为常量，=0=0的阶跃的阶跃函数称为单位脉冲函数，记函数称为单位脉冲函数，记为为 。四、脉冲信号四、脉冲信号000()Dttr t及 t 表达式：表达式：理想脉冲：理想脉冲：0()00()1tttt拉氏变换：拉氏变换：()()1LtR s五、正弦信号五、正弦信号tAtrsin)(表达式：表达式：分析一个实际系统时采用哪种信号，分析一个实际系统时采用哪种信号，要根据系统的实际输入信号而定。要根据系统的实际输入信号而定。正弦信号主要用来求取频率响应。正弦信号主要用来求取频率响应。3-2 3-2 控制系统的时域性能指标控制系统的时域性能指标111110111()()()()()()()()nnnnnnmmmmmmdddy tay tay ta y tdtdtdtdddbr tbr tbr tb r tdtdtdt )(tr()y t对于线性定常系统，输入为：对于线性定常系统，输入为：输出为：输出为：用微分方程描述如下：用微分方程描述如下：由微分方程可以得到传递函数：由微分方程可以得到传递函数：10111.().mmmnnnb sbsbG ssasa11()()()nlikikikABY sG s R sssss 为为 的极点。的极点。为为 的极点。的极点。is)(sGks)(sR系统的输出：系统的输出：时间响应：时间响应：动态过程动态过程从初始态到接近稳态的响应。从初始态到接近稳态的响应。稳态过程稳态过程tt趋于无穷大时的输出状态。趋于无穷大时的输出状态。如果如果 和和 是互异的，是互异的，那么系统的零那么系统的零状态响应为：状态响应为：isks11()iknls ts tikiky tAeB e其中第一项为系统零状态响应的暂态分其中第一项为系统零状态响应的暂态分量，第二项为系统零状态响应的稳态分量，第二项为系统零状态响应的稳态分量。系统的时域性能指标可以从零状态量。系统的时域性能指标可以从零状态响应中求取。响应中求取。超调超调误差带误差带稳态误差稳态误差EssTdTrTpTs0tH(t)10.90.50.1上升时间上升时间峰值时间峰值时间调整时间调整时间阶跃响应输出阶跃响应输出单位阶跃响应性能指标：单位阶跃响应性能指标：1 1 延迟时间延迟时间TdTd：指指h(t)h(t)上升到稳态的上升到稳态的50%50%所所 需的时间。需的时间。2 2 上升时间上升时间TrTr：指指h(t)h(t)第一次上升到稳态值第一次上升到稳态值 的所需的时间。的所需的时间。3 3 峰值时间峰值时间TpTp：h(t)h(t)第一次达到峰值所需的第一次达到峰值所需的 时间。时间。上述三个指标表征系统初始阶段的快慢。上述三个指标表征系统初始阶段的快慢。4 4 超调量超调量 ：h(t)h(t)的最大值与稳态值之差与的最大值与稳态值之差与 稳态值之比：稳态值之比：%100)()()(%hhthp5 5 调节时间调节时间TsTs：指指h(t)h(t)和和h(h()之间的偏差之间的偏差 达到允许范围（达到允许范围（2%-5%2%-5%）时的暂态过程时）时的暂态过程时 间。它反映了系统的快速性。间。它反映了系统的快速性。6 6 振荡次数振荡次数N N：调节时间内，输出偏离稳态调节时间内，输出偏离稳态 的次数。的次数。7 7 稳态误差稳态误差essess：单位反馈时，实际值（稳单位反馈时，实际值（稳 态）与期望值（态）与期望值（1 1（t t）之差。它反映）之差。它反映 系统的精度。系统的精度。3.3 3.3 一阶系统的时域响应一阶系统的时域响应11)(TssG一阶系统传递函数：一阶系统传递函数：典型系统：典型系统：电炉、液位电炉、液位-R(s)Y(s)一阶系统框图：一阶系统框图：1Ts一、单位阶跃响应：一、单位阶跃响应：1()11()(1)1()1etTR ssTY ss TssTsy t 在单位阶跃作用下，一阶系统的输出量在单位阶跃作用下，一阶系统的输出量随时间变化曲线为一条指数曲线。随时间变化曲线为一条指数曲线。响应曲线具有非振荡特征：响应曲线具有非振荡特征：t=T,y(t)=0.632;t=2T,y(t)=0.865;t=3T,y(t)=0.95;t=4T,y(t)=0.982;t y t10.632T2T3T4T0 etTy t 0.8650.9500.982斜斜率率1T 一阶系统的单位阶跃响应如果以初一阶系统的单位阶跃响应如果以初始速度等速上升至稳态值始速度等速上升至稳态值1 1所需的时间应所需的时间应恰好为恰好为T T。TeTdttdytTt11)(0 一阶系统的阶跃响应没有超调量，故一阶系统的阶跃响应没有超调量，故其时域性能指标主要以其时域性能指标主要以TsTs来衡量，来衡量，TsTs的长的长短反映了系统过程的快慢。短反映了系统过程的快慢。由以上可知：由以上可知：t=3T t=3T（对（对5%5%的误差）的误差）t=4T t=4T（对（对2%2%的误差）的误差）因此，因此，T T越小，系统过渡过程时间就越越小，系统过渡过程时间就越短。短。二、一阶系统的单位斜坡响应二、一阶系统的单位斜坡响应21)(ssRttr)()tTy ttTTe 222111()11TTY sTssssTs )0(t误差()()()(1)tTe tr ty tTe 输出响应Tteetss)(lim 稳态误差趋于T，T越小，动态性能越快，稳态误差越小，但不能消除。00()10tTttdy tedt 初始速度：稳态误差：0TTT2T2T3T3T4T4tT y t r tt y t 单位斜坡响应单位斜坡响应 一阶系统单位斜坡响应的稳态分量，是一阶系统单位斜坡响应的稳态分量，是一个与输入斜坡函数斜率相同但在时间一个与输入斜坡函数斜率相同但在时间上迟后时间常数上迟后时间常数T T的斜坡函数。的斜坡函数。该曲线的特点是：在该曲线的特点是：在t=0t=0处曲线的斜率等处曲线的斜率等于零；于零；稳态输出与单位斜坡输入之间在位置上稳态输出与单位斜坡输入之间在位置上存在偏差存在偏差T T。三、一阶系统的单位脉冲响应三、一阶系统的单位脉冲响应0TT2T21T3t y t -t T1eTy t T1输入：输入：)()(ttr1)(sR1()1Y sTs 1()tTy teT 输出：输出：由上面分析可知，一阶系统仅有一个由上面分析可知，一阶系统仅有一个特征参量特征参量TT时间常数，调整时间为时间常数，调整时间为（3-4T3-4T）当当t=0t=0时单位阶跃响应的变化率和单位时单位阶跃响应的变化率和单位脉冲响应的初始值均为脉冲响应的初始值均为1/T1/T，单位斜坡，单位斜坡响应的稳态误差为响应的稳态误差为T T。T T越小，系统的动、静态性能越好。越小，系统的动、静态性能越好。一个输入信号导数的时域响应等于该信一个输入信号导数的时域响应等于该信号时域响应的导数；号时域响应的导数；一个输入信号积分的时域响应等于该信一个输入信号积分的时域响应等于该信号时域响应的积分；号时域响应的积分；22d 1()d()()ddtt tttt 212dd()()()dtdttytytyt 线性定常系统线性定常系统3.4 3.4 二阶系统的时域响应二阶系统的时域响应 用二阶微分方程描述的系统称为二阶系用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。统。二阶系统不仅在工程中比较常见，而且二阶系统不仅在工程中比较常见，而且许多高阶系统也可以转化为二阶系统来许多高阶系统也可以转化为二阶系统来研究，因此研究二阶系统具有很重要的研究，因此研究二阶系统具有很重要的意义。意义。R s Y s 22nns s 典型二阶系统的结构图典型二阶系统的结构图 2222)(nnnsssG 二阶系统的传递函数二阶系统的传递函数：0222nnss 特征方程：特征方程：系统框图：系统框图：二阶系统的特征根：22221222()()()2111nnnnndnnddnY sG sR ssssjjsjj 其其中中：1当 时,系统为过阻尼状态：21,21nns 系统的极点为：121()(1)(1)BsTsT sG系统的闭环传函为：1211211211()111ttTTy teeT TT T 时域响应：t y t10 单位阶跃响应单位阶跃响应（11）当=1时，系统为临界阻尼状态：单位阶跃响应 t y t101 1 闭环系统的极点为 闭环传递函数为 临界阻尼时的单位阶跃响应为 1,2ns 22()()()nBnY sGR ss()1(1)ntny tet 当 时，系统为欠阻尼状态：输出响应拉氏变换：1022222()()()1()()1()()nndndnnndndY sG sR ssjsjsssss 系统的时域响应：12222212()()1(cossin)11(1cossin)111sin(1)1nnntddtddtny tLY settettettg 单位阶跃响应（00 1 1）y(t)系统响应的暂态分量为振幅随时间按系统响应的暂态分量为振幅随时间按指数函数规律衰减的周期函数，其振指数函数规律衰减的周期函数，其振荡频率（也称为阻尼振荡频率）为荡频率（也称为阻尼振荡频率）为 ：21dn 1、二阶系统响应特点1 1、=0=0时，等幅振荡；时，等幅振荡；3 3、=1=1时，响应处于单调上升变化状态；时，响应处于单调上升变化状态；5 5、-1 0-1 0时，振荡发散，系统不稳定；时，振荡发散，系统不稳定；6 6、-11 4 1 时，时，越大，曲线单调上升过程越缓慢；越大，曲线单调上升过程越缓慢；2 2、0 10 1时，时，越小，振荡越严重，超调越大（最越小，振荡越严重，超调越大（最 大超调量大超调量100%100%），衰减越慢；），衰减越慢；由曲线进一步知道：由曲线进一步知道：1 1、阻尼比、阻尼比 越大，超调量越小，响应越平稳。越大，超调量越小，响应越平稳。反之，反之，越小，超调量越大，振荡越强。越小，超调量越大，振荡越强。2 2、当取、当取 =0.707=0.707左右时，左右时，TsTs和和%都相对较小，都相对较小，故一般称故一般称 =0.707=0.707为最佳阻尼比。为最佳阻尼比。3 3、二阶系统的单位阶跃响应不存在稳态误差。、二阶系统的单位阶跃响应不存在稳态误差。在一定在一定 下欠阻尼系统比临界阻尼系统更下欠阻尼系统比临界阻尼系统更快达到稳态值；过阻尼系统反应迟钝，动作缓快达到稳态值；过阻尼系统反应迟钝，动作缓慢，故一般二阶系统都设计成欠阻尼系统。慢，故一般二阶系统都设计成欠阻尼系统。闭环极点坐标与阻尼比的关系dnn等阻尼线1cos2n横坐标3d纵坐标4n距原点5二阶系统响应特点Time(sec.)AmplitudeImpulse Response024681012-1-0.500.511.5From:U(1)To:Y(1)Time(sec.)AmplitudeImpulse Response0.52.54.56.58.510.500.050.10.150.20.250.30.350.40.45From:U(1)To:Y(1)Time(sec.)AmplitudeImpulse Response0.52.54.56.58.510.500.050.10.150.20.250.30.350.40.45From:U(1)To:Y(1)10101Time(sec.)AmplitudeImpulse Response0510152025-2-1.5-1-0.500.511.52From:U(1)To:Y(1)01Time(sec.)AmplitudeImpulse Response012345678910-200-150-100-50050100150200From:U(1)To:Y(1)1Time(sec.)AmplitudeImpulse Response00.050.10.150.20.250.30.3501234567From:U(1)To:Y(1)阻尼比与极点分布和系统性能的关系(脉冲响应曲线变化情况)2、二阶系统响应性能指标(1)上升时间 Tr2212()1c o ss in0111ddntT rT rtgT r 令令 y y有有又又dnnTime(sec.)AmplitudeStep Response012345600.20.40.60.811.21.4From:U(1)To:Y(1)tr(2)峰值时间 Tp2()sin01n pptndpt tpddy ttedtt Time(sec.)AmplitudeStep Response012345600.20.40.60.811.21.4From:U(1)To:Y(1)tp(3)超调量%2221max2211(),()1sin()1sin()sin1()1()()%100%()100%ppppty tey ty tey tyye 代代 入入有有：而而%的大小完全决定于，越小，%越大。Time(sec.)AmplitudeStep Response012345600.20.40.60.811.21.4From:U(1)To:Y(1)tp(4)调节时间Ts2212()()11sin11ntnyr ty tettg （）当y=0.05(或0.02)时，对应的调整时间为Ts221211sin(1)10.05(ntnettg 或0.02)0.05(0.02)nte21或1-由于正弦函数的存在，和 的关系为不连续的，为简单起见，可以近似计算如下：Tsnsnsnsnstttt4%)2(3%)5(9.00)102.0ln(%)2()105.0ln(%)5(22时当由此可见：越大，就越小，当 为一定时，则 与 成反比，这与 的关系正好相反。nstnstptrt3、二阶系统的单位斜坡响应 当输入信号为单位斜坡信号时 2222222222222222222221212221112111nnnnnnnnnnnnnnnnnYssssssssssssss 4 4、欠阻尼二阶系统的单位斜坡响应、欠阻尼二阶系统的单位斜坡响应 221sin201ntdnny ttett 稳态分量：稳态分量：2ssnytt 瞬态分量：瞬态分量：sin2nttrddeytt 221sin21ntdnne tty tet 动态误差动态误差：对误差响应求导，并令其为对误差响应求导，并令其为0 0，得到，得到误差峰值时间误差峰值时间：dpet误差峰值：误差峰值：pentdpeete2112稳态误差：稳态误差：ntsstee2lim误差最大偏离量误差最大偏离量可以表示为：可以表示为：pentnsspemeetee1误差的调节时间误差的调节时间误差进入稳态值误差进入稳态值5%5%误差带误差带所需时间：所需时间：nset35、采用比例微分控制改善二阶系统响应特性 2nd222ndnn12T sY sG sR ssTs R s Y s1 E s s s 2nn2dT s 2nd222ndnn12T sY sG sR ssTs sdnndn2ndn2)21(22TT特征方程中，一次项系数为特征方程中，一次项系数为 ndd21T引入了比例引入了比例-微分控制，增大了系统的等效阻尼比，微分控制，增大了系统的等效阻尼比，自然振荡角频率不变，系统的超调减小。自然振荡角频率不变，系统的超调减小。同时增加了一个零点 R s Y s1 E s s s 2nn2dT s 2n2ndn2d2n21sTssTsRsCsG引入比例引入比例-微分控制后，系统的特征根将发生变化微分控制后，系统的特征根将发生变化，系统的系统的阻尼增加了，系统的稳定性得到了改善。阻尼增加了，系统的稳定性得到了改善。0jnd1s2snd1s2s2nn22nn111jsjs2dnnd22dnnd111jsjs引入比例引入比例-微分控制后，系统附加了一个零点，该零点会消弱附加阻微分控制后，系统附加了一个零点，该零点会消弱附加阻尼的影响，同时在一定程度上可改善系统的响应速度。尼的影响，同时在一定程度上可改善系统的响应速度。例：例：单位负反馈系统的开环传递函数为单位负反馈系统的开环传递函数为求（求（1 1）单位阶跃输入响应。）单位阶跃输入响应。（2 2）性能指标）性能指标 。K0.41()(0.6)sGss s%,pt解：解：系统的闭环传递函数为系统的闭环传递函数为 BKKB()0.41()2()111()()(),()GY ssGsR sGssY sGs R sR ss 13211020.41 10.41132221313222211()()()()2222sssY ssssss ssss 0.50.53133()1e(cossin)11.013esin(83)2225 3tty tttt系统的输出为：系统的输出为：0.50.53133()1e(cossin)11.013esin(83)2225 3tty tttt系统的输出时域响应为 对输出响应求导，并令导数为0得：sec16.3pt%18%100)()()(%pyyty根据峰值时间很容易得到：6、采用输出微分反馈改善二阶系统响应特性 R s Y s sE 2nn2s s tK s系统的闭环传递函数为系统的闭环传递函数为 其等效阻尼为其等效阻尼为 ntt21K2222()()(2)nBntnnY sGR ssKs系统的等效阻尼比增大，抑制了输出量的超调和振荡，系统的等效阻尼比增大，抑制了输出量的超调和振荡，改善了系统的平稳性改善了系统的平稳性 。系统的误差传递函数系统的误差传递函数2nn2nt22ntn2E)2()2()()()(sKssKssRsEsG单位斜坡输入作用下单位斜坡输入作用下 22ntnE2222tnnn(2)1(2)sKsE sGs R ssKss由终值定理由终值定理tn0tnn22()()|sK etsE sK速度反馈会降低系统斜坡输入下的稳态精度。速度反馈会降低系统斜坡输入下的稳态精度。R s Y s sE 2nn2s s tK s对于图示系统，对于图示系统，（1 1）求当）求当a=0a=0，阻尼比、自然振荡角频率和单位斜坡输，阻尼比、自然振荡角频率和单位斜坡输入的稳态误差。入的稳态误差。（2 2）当）当 时，确定系统的时，确定系统的a a和单位斜坡输入的和单位斜坡输入的稳态误差。稳态误差。707.00a 2828Y sR sss354.01,825.28nn25.08708.02nsste若若若0a 28(28)8Y sR ssa s825.28na822nt25.0812nta707.0t5.022nnnsstaae7、比例微分控制与输出微分反馈的比较1、增加阻尼的来源不同：两者都增大了系 统阻尼，但来源不同；2、对于噪声和元件的敏感程度不同；3、对开环增益和自然振荡角频率的影响不 同；4、对动态响应的影响不同。（1）增加阻尼的来源 比例微分的阻尼来自误差信号的速度；输出微分反馈的阻尼来自输出响应的速度；因此对于给定的开环增益和指令速度，输出微分的稳态误差更大；sR sYn2n2ss1sTde（2）对于噪声和元件的敏感程度 比例微分控制对于噪声具有明显的放大比例微分控制对于噪声具有明显的放大作用，输入噪声大，不宜使用；作用，输入噪声大，不宜使用；输出微分反馈对输入的噪声具有滤波作输出微分反馈对输入的噪声具有滤波作用用第第5 5章，对噪声不敏感；章，对噪声不敏感；比例微分控制加在误差后，能量一般较比例微分控制加在误差后，能量一般较小，需要放大器放大倍数较大，抗噪声小，需要放大器放大倍数较大，抗噪声能力强；能力强；输出微分反馈输入能量一般很高，对元输出微分反馈输入能量一般很高，对元件没有特殊要求，适用范围更广；件没有特殊要求，适用范围更广；（3）开环增益和自然振荡角频率的影响 比例微分控制对于开环增益和自然振荡比例微分控制对于开环增益和自然振荡角频率都没有影响；角频率都没有影响；输出微分反馈影响自然振荡角频率，但输出微分反馈影响自然振荡角频率，但开环增益会明显减小开环增益会明显减小本章最后一节；本章最后一节；使用输出微分反馈要求开环增益较大，使用输出微分反馈要求开环增益较大，导致自然振荡角频率随之增大，容易和导致自然振荡角频率随之增大，容易和高频噪声产生共振；高频噪声产生共振；（4）对动态性能的影响 比例微分控制在闭环系统中引入了零点，比例微分控制在闭环系统中引入了零点，加快了系统的响应速度加快了系统的响应速度第第4 4章；章；相同阻尼比的情况下，比例微分控制引起相同阻尼比的情况下，比例微分控制引起的超调大于输出微分反馈系统的超调。的超调大于输出微分反馈系统的超调。3-5 高阶系统的响应 前面研究了两种低阶系统；前面研究了两种低阶系统；用高阶微分方程描述的系统为高阶系统；用高阶微分方程描述的系统为高阶系统；工程实际中的系统决大多数为高阶系统；工程实际中的系统决大多数为高阶系统；高阶系统的解析解比较复杂，有时高阶高阶系统的解析解比较复杂，有时高阶系统可以用低阶系统的响应来近似系统可以用低阶系统的响应来近似主导极点主导极点第第4 4章。章。1、高阶系统的一般形式 闭环传函 111011101mmmmnnnnY sG sb sbsb sbG sR sG s H sa sasa sa sR sY sG sH2 2、高阶系统的单位阶跃响应、高阶系统的单位阶跃响应 11101122110K11112mmmimminnqrnnjkkjkKszb sbsb sbY sG s R sssa sasa sassss rkkkkkqjjjssCsBssAsAsY12K2102 为实数极点的个数，为实数极点的个数，为共轭复数极点的个为共轭复数极点的个数，数，。设上述极点互异并都位于平面的左。设上述极点互异并都位于平面的左半平面，则经过整理后半平面，则经过整理后qrmrq2 kk0122kk1eecos 1esin 1jkkqs tjjrttkkkkky tAABtCt 经拉氏反变换经拉氏反变换由上式分析可知：由上式分析可知：（1）高阶系统的时间响应是由若干个一阶系统和二高阶系统的时间响应是由若干个一阶系统和二阶系统的时间响应函数项组成的。阶系统的时间响应函数项组成的。（2）系统的暂态响应类型取决于闭环极点是实数还）系统的暂态响应类型取决于闭环极点是实数还是复数。是复数。（3 3）系统的稳定性是由闭环极点在）系统的稳定性是由闭环极点在S S平面的位置所决定。平面的位置所决定。如果系统的所有闭环极点在如果系统的所有闭环极点在S S平面的左半平面，则系统平面的左半平面，则系统的暂态响应是收敛的，控制系统就是稳定的。只要有的暂态响应是收敛的，控制系统就是稳定的。只要有一个闭环极点在一个闭环极点在S S的右半平面，系统的暂态响应就是发的右半平面，系统的暂态响应就是发散的，控制系统就是不稳定的。散的，控制系统就是不稳定的。（4 4）稳定控制系统的暂态响应形状不仅取决于左极点离）稳定控制系统的暂态响应形状不仅取决于左极点离虚轴的距离，还取决于闭环零点、极点在虚轴的距离，还取决于闭环零点、极点在S S平面的具体平面的具体分布。分布。（5 5）稳定的控制系统，则离）稳定的控制系统，则离S S平面的虚轴最近的闭环极平面的虚轴最近的闭环极点对系统的暂态响应特性起了主导的作用，这样的极点对系统的暂态响应特性起了主导的作用，这样的极点为闭环主导极点。主导极点有可能是一对共轭复数点为闭环主导极点。主导极点有可能是一对共轭复数极点，也可能是一个实数极点。极点，也可能是一个实数极点。3 3、高阶系统举例、高阶系统举例例：例：设三阶系统的闭环传递函数为设三阶系统的闭环传递函数为 试确定其单位阶跃响应。试确定其单位阶跃响应。8106655232ssssssG sssssssRsGsY12243252 8cose210e15414ttytt解：解：输出信号的拉氏变换：输出信号的拉氏变换：经拉氏反变换：经拉氏反变换：4 4、高阶系统的近似分析、高阶系统的近似分析 如果控制系统的闭环主导极点离虚轴如果控制系统的闭环主导极点离虚轴的距离小于等于其他闭环极点离虚轴距离的距离小于等于其他闭环极点离虚轴距离的五分之一，而且主导极点的附近没有其的五分之一，而且主导极点的附近没有其他的闭环零点。则该系统可以降阶近似成他的闭环零点。则该系统可以降阶近似成一阶或者二阶控制系统。这就是高阶系统一阶或者二阶控制系统。这就是高阶系统的近似分析方法。的近似分析方法。根轨迹分析法将详细说明为什么高阶根轨迹分析法将详细说明为什么高阶系统可以近似来分析。系统可以近似来分析。3-6 3-6 稳定性和劳斯判据稳定性和劳斯判据 稳定性的基本概念稳定性的基本概念 劳斯判据劳斯判据 两种特殊情况两种特殊情况 稳定裕度的检验稳定裕度的检验 参数对系统稳定性的影响参数对系统稳定性的影响一、稳定性的基本概念一、稳定性的基本概念(a)(b)ABA图图(a)(a)表示小球在一个凹面上，原来的平衡位置为表示小球在一个凹面上，原来的平衡位置为A A，当小球受到外力作用后偏离当小球受到外力作用后偏离A,A,例如到例如到B,B,当外力去除当外力去除后，小球经过几次振荡后，最后可以回到平衡位置，后，小球经过几次振荡后，最后可以回到平衡位置，所以，这种小球位置是稳定的；反之，如图所以，这种小球位置是稳定的；反之，如图 (b)(b)就是不稳定的。就是不稳定的。稳定性的定义稳定性的定义 任何系统在扰动的作用下都会偏离原平衡状任何系统在扰动的作用下都会偏离原平衡状态产生初始偏差。所谓稳定性就是指当扰动消除态产生初始偏差。所谓稳定性就是指当扰动消除后，由初始状态回复原平衡状态的性能；若系统后，由初始状态回复原平衡状态的性能；若系统可恢复平衡状态，则称系统是稳定的，否则是不可恢复平衡状态，则称系统是稳定的，否则是不稳定的。稳定的。稳定性是系统的固有特性，对线性系统来说，稳定性是系统的固有特性，对线性系统来说，它只取决于系统的结构、参数，而与初始条件及它只取决于系统的结构、参数，而与初始条件及外作用无关。外作用无关。稳定性分析有以下几种方法：稳定性分析有以下几种方法：特征方程法特征方程法 特征值判据法特征值判据法 代数判据法代数判据法 根轨迹法根轨迹法 频率稳定判据法频率稳定判据法稳定性的数学描述稳定性的数学描述设线性定常系统微分方程为：设线性定常系统微分方程为：()01()()()nnna ytay ta t )()()(1)(0trbtrbtrbmmm稳定性是研究扰动去除后系统的运动情况，它与稳定性是研究扰动去除后系统的运动情况，它与系统的输入信号无关，因而可以用系统的脉冲响系统的输入信号无关，因而可以用系统的脉冲响应函数来描述，如果脉冲响应函数是收敛的，则应函数来描述，如果脉冲响应函数是收敛的，则系统稳定。反之，系统不稳定。系统稳定。反之，系统不稳定。则脉冲响应为：则脉冲响应为：11()(cossin)iiKrttiiiiiiiy tC eeAtBt 式中：式中：iAiBiC为待定常数。为待定常数。(1)iiK 设系统传递函数有设系统传递函数有 个实根个实根Kr()(1)iijiK 对共轭复根对共轭复根如果如果 则系统稳定。反之，系统不稳定则系统稳定。反之，系统不稳定；lim()0ty t下面分析上式：下面分析上式：（1 1）若）若 系统最终能够恢复平衡状系统最终能够恢复平衡状 态，由于有复数根存在，系统输出呈振荡曲态，由于有复数根存在，系统输出呈振荡曲 线衰减。线衰减。（2 2）若）若 系统输出按指数曲系统输出按指数曲 线衰减。线衰减。（3 3）若）若 有任一个大于零，有任一个大于零，时系统时系统 输出输出 系统不稳定。系统不稳定。（4 4）只要）只要 中有一个为零，中有一个为零，系统不能系统不能 恢复原来平衡状态或为等幅振荡。这时仍认恢复原来平衡状态或为等幅振荡。这时仍认 为系统是不稳定的。为系统是不稳定的。0,0ii0,0,0iiiii或t()y t ii或t二、劳斯判据二、劳斯判据由上面分析可以看出，上面的方法必须求出由上面分析可以看出，上面的方法必须求出闭环传函的闭环传函的所有极点所有极点。这对二阶以下的系统是有用的，但是对于三这对二阶以下的系统是有用的，但是对于三阶以上系统，求解极点一般来说是比较困难的。阶以上系统，求解极点一般来说是比较困难的。因此人们希望不求解高阶方程而进行稳定性因此人们希望不求解高阶方程而进行稳定性的间接判断。的间接判断。18771877年，英国学者劳斯（年，英国学者劳斯（ROUTHROUTH）提出了利用）提出了利用特征方程的系数进行代数运算，得到全部极点特征方程的系数进行代数运算，得到全部极点具有负实部的条件，以此判断系统是否稳定。具有负实部的条件，以此判断系统是否稳定。线性系统稳定的充分必要条件：线性系统稳定的充分必要条件：系统的闭环特征方程式的全部根（闭环系统的闭环特征方程式的全部根（闭环极点）都是负实数或具有负实部的公轭极点）都是负实数或具有负实部的公轭复数。复数。由于特征方程的根是由于特征方程的根是s s平面上一点，所以平面上一点，所以系统稳定的充分必要条件是系统的所有系统稳定的充分必要条件是系统的所有闭环极点均在闭环极点均在s s的左半平面。的左半平面。闭环控制系统特征方程为：闭环控制系统特征方程为：00111asasasannnn 2221211)()()()(rrKnssssa因为所有根都在因为所有根都在S S平面的左半平面，即平面的左半平面，即0,0ii0iar上式中所有系数均为实数，并设上式中所有系数均为实数，并设0na(1)iiK()(1)iijiK 设系统传递函数有设系统传递函数有 个实根个实根K 对共轭复根对共轭复根闭环控制系统稳定的必要条件闭环控制系统稳定的必要条件:特征方程的所有特征方程的所有系数都大于零。系数都大于零。劳斯判据劳斯判据1 1、列出系统闭环特征方程：、列出系统闭环特征方程：0)(0111asasasasFnnnn上式中所有系数均为实数，并设上式中所有系数均为实数，并设0na2 2、按系统闭环特征方程列写劳斯行列表：、按系统闭环特征方程列写劳斯行列表：10333522231111432142gsdcbadcbadcbassssaaasnnnnnnnnnnn213111312114152215131161733171411111111nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaabcaabbabaaaabcaabbabaaaabcaabbab 13121213121111bbbbddcccccc 3 3、考察行列表、考察行列表 若第一列各数均为正数，则系统的所有特若第一列各数均为正数，则系统的所有特征根（闭环极点）均在根平面的左半平面，征根（闭环极点）均在根平面的左半平面，该系统稳定。该系统稳定。若第一列中有负数则说明系统不稳定，第若第一列中有负数则说明系统不稳定，第一列中符号变化的次数表示右半平面闭环一列中符号变化的次数表示右半平面闭环极点的个数。极点的个数。三、两种特殊情况三、两种特殊情况1 1、劳斯行列表中某一行的左边第一个元素为、劳斯行列表中某一行的左边第一个元素为0 0，其余，其余不为不为0 0或没有。这时可以用一个很小的正数来代替这或没有。这时可以用一个很小的正数来代替这个个0 0，使运算继续下去。，使运算继续下去。2 2、劳斯行列表中第、劳斯行列表中第K K行全部为行全部为0 0。说明有对称于原点。说明有对称于原点的根。这时可以建立一个辅助方程继续进行分析，方的根。这时可以建立一个辅助方程继续进行分析，方法是：法是：（a a）用）用K-1K-1行构成辅助多项式，它的次数为偶数。行构成辅助多项式，它的次数为偶数。（b b）对辅助多项式求导，求导后的）对辅助多项式求导，求导后的S S多项式的系数代多项式的系数代替替K K行。然后继续计算。行。然后继续计算。（c c）对于对称于原点的闭环极点，可由辅助多项式）对于对称于原点的闭环极点，可由辅助多项式等于等于0 0求得。求得。四、稳定裕度的检验四、稳定裕度的检验 应用劳斯判据不仅可以判断系统稳定与否，应用劳斯判据不仅可以判断系统稳定与否，即相对稳定性。也可以判断系统的是否具有一定即相对稳定性。也可以判断系统的是否具有一定的稳定裕度，即相对稳定性。这时可以移动的稳定裕度，即相对稳定性。这时可以移动S S平平面的坐标系，然后再应用劳斯判据。如图：面的坐标系，然后再应用劳斯判据。如图：将上式代入原方程，得到将上式代入原方程，得到以以Z Z为变量的新的特征方程，为变量的新的特征方程，再检验其稳定性。此时系统再检验其稳定性。此时系统如果仍然稳定，则说系统具如果仍然稳定，则说系统具有稳定裕度有稳定裕度。oos zs令041310223sss例：例：系统特征方程为系统特征方程为判断系统是否有闭环极点在判断系统是否有闭环极点在S S的右半平面，并验有几个根在的右半平面，并验有几个根在s=-1s=-1的右边。的右边。42.124101320123ssss故故S S右半平面无闭环右半平面无闭环极点。系统是稳定极点。系统是稳定的的将将s=z-1s=z-1代入原方程得：代入原方程得：014223zzz15.014120123ssssNEW ROUTHS TABLENEW ROUTHS TABLE：故有一个根在故有一个根在s=-1s=-1的右边。的右边。ROUTHS TABLEROUTHS TABLE：五、分析参数对稳定性的影响五、分析参数对稳定性的影响KsssKsG)5)(1()(例：例：0)5)(1(Ksss05623Ksss或或特征方程为：特征方程为：ROUTHS TABLE：KsKsKss01233061651要使系统稳定，则劳斯表第一列要使系统稳定，则劳斯表第一列应为正数。即有：应为正数。即有：0300KK300K故系统的稳定临界值为故系统的稳定临界值为K=30K=30。0100102234sTsss例：例：系统特征方程为系统特征方程为求系统稳定求系统稳定T T的临界值。的临界值。ROUTHS TABLE：1005250101002210101002101234sTTsTsTss要使系统稳定必须有：要使系统稳定必须有：250525010505TTTTTT T必须大于必须大于2525，系统才稳定。，系统才稳定。3.6 3.6 控制系统的稳态误差控制系统的稳态误差 稳态误差的概念和定义稳态误差的概念和定义 给定作用下的稳态误差给定作用下的稳态误差 扰动作用下的稳态误差扰动作用下的稳态误差 提高系统稳态精度的方法提高系统稳态精度的方法控制系统的性能：动态性能和稳态性能控制系统的性能：动态性能和稳态性能稳态性能用稳态误差稳态性能用稳态误差 来描述来描述讨论稳态误差的前提是系统是稳定的讨论稳态误差的前提是系统是稳定的sse sR sY sH sG2 sG1 sN sE sB控制系统结构图控制系统结构图 一、稳态误差的概念一、稳态误差的概念()()()()EsRsHs Ys )()(1)(lim)(lim00sHsGssRssEessss)(/)()(sHsEsE)(limlim0ssEteestss二、稳态误差的定义二、稳态误差的定义输入端定义：输入端定义：误差为输入量与反馈量的差值误差为输入量与反馈量的差值 e(t)=r(t)-b(t)e(t)=r(t)-b(t)拉斯变换后为拉斯变换后为：稳态误差为稳态误差为:如果需要可以将误差转换成输出量的量纲如果需要可以将误差转换成输出量的量纲2.输出端定义：输出端定义：误差为期望值与实际值的差值误差为期望值与实际值的差值 e(t)=r(t)-y(t)H(s)=1e(t)=r(t)-y(t)H(s)=1 设系统开环传递函数为：设系统开环传递函数为：其中其中 为开环增益，为开环增益，为系统中含有的为系统中含有的 积分环节数。积分环节数。对应于对应于 的系统分别称为的系统分别称为0 0型，型，型和型和型系统。型系统。)(,)1()1)(1()1()1)(1()()(2121mnsTsTsTssssKsHsGnvmKv2,1,0v三、给定作用下的稳态误差三、给定作用下的稳态误差)(1)(tAtrsAsR)(定义定义 为静态位置误差系数，有为静态位置误差系数，有1 1、阶跃输入、阶跃输入对于对于0 0型系统：型系统：0sse对于对于型和型和型系统型系统 由于由于0 0型型系统无积分环节，其阶跃输入系统无积分环节，其阶跃输入时的稳态误差为与时的稳态误差为与K K有关的一定值，因有关的一定值，因此常称为此常称为有差系统有差系统。为减小稳态误差，可在稳定条件允许为减小稳态误差，可在稳定条件允许的前提下，增大的前提下，增大K K值。值。若要求系统对阶跃输入的稳态误差为若要求系统对阶跃输入的稳态误差为零，则应使系统的类型高于零，则应使系统的类型高于I I型。型。2)(sAsR0vKsseKKvKAessvK0sse定义定义 为静态速度误差系数，有为静态速度误差系数，有2 2、斜坡输入、斜坡输入对于对于0 0型系统：型系统：对于对于型系统型系统：对于对于型系统：型系统：可见，可见，0 0型系统不能跟踪斜坡输入信型系统不能跟踪斜坡输入信号。随时间的推移号。随时间的推移,误差越来越大；误差越来越大；I I型系统可以跟踪斜坡输入信号。但型系统可以跟踪斜坡输入信号。但具有与具有与K K有关的稳态误差，可用增加有关的稳态误差，可用增加K K的方法提高稳态精度；的方法提高稳态精度；IIII型及以上系统可完全跟踪斜坡输型及以上系统可完全跟踪斜坡输入信号，即稳态误差为零。入信号，即稳态误差为零。3)(sAsR0aKsse0aKsseKKaKAess定义定义 为静态加速度误差系数为静态加速度误差系数，有有)(,)1()1)(1()1()1)(1()()(2121mnsTsTsTssssKsHsGnvm3 3、抛物线输入、抛物线输入对于对于0 0型系统：型系统：对于对于型系统：型系统：对于对于型系统：型系统：对于对于型系统及以上系统：型系统及以上系统：可见，可见，I I型及以下系统不能跟踪抛物线输型及以下系统不能跟踪抛物线输入，误差越来越大；入，误差越来越大；IIII型系统可以跟踪抛物线输入信号。但型系统可以跟踪抛物线输入信号。但具有与具有与K K有关的稳态误差，可用增加有关的稳态误差，可用增加K K的的方法提高稳态精度；方法提高稳态精度；IIIIII型及以上系统可完全跟踪斜坡输入信型及以上系统可完全跟踪斜坡输入信号，即稳态误差为零。号，即稳态误差为零。aK0sse设设 由扰动引起的误差为：由扰动引起的误差为：0)(sR)()()(1)()(212sFsGsGsGsEF四、扰动作用下的稳态误差四、扰动作用下的稳态误差vssWsWKKsGsGsG)()()()()(212121同样对应于同样对应于 的系统分别称为的系统分别称为0 0型，型，型和型和型系统。型系统。2,1,0v21)()(,)()(222111vvssWKsGssWKsG设设系统的开环传递函数改写为：系统的开环传递函数改写为：1)0()0(,2121WWvvv其中其中21021KKFKesfsFsF0)(一般情况下一般情况下 ，121KK10KFesf20)(sFsFsfe0vsFsGsGsGsssEesFssf021200)()(1)(lim)(lim阶跃信号：阶跃信号：1 1、对于、对于0 0型系统型系统：在阶跃扰动的作用下，稳态误差正比于扰动信号在阶跃扰动的作用下，稳态误差正比于扰动信号幅值，与作用点前前向系数近似成反比幅值，与作用点前前向系数近似成反比斜坡信号：斜坡信号：斜坡扰动稳态误差为无穷。斜坡扰动稳态误差为无穷。0sfesFsF0)(10Kvesf20)(svsF1021201KFKKKFesfsfe1vsFsGsGsGsssEesFssf021200)()(1)(lim)(lim2 2、对于、对于型系统：型系统：0,121vv（1）对于阶跃扰动信号：对于阶跃扰动信号：对于斜坡扰动信号：对于斜坡扰动信号：1,021vv（2）对于阶跃扰动信号：对于阶跃扰动信号：对于斜坡扰动信号：对于斜坡扰动信号：（1 1）对于阶跃和斜坡扰动引起的稳对于阶跃和斜坡扰动引起的稳 态误差为态误差为0 0；0,221vv（2 2）对于阶跃扰动稳态误差为对于阶跃扰动稳态误差为0 0，对，对 于斜坡扰动为于斜坡扰动为 ；10Kv1,121vv（3 3）对于阶跃扰动信号：对于阶跃扰动信号：对于斜坡扰动信号：对于斜坡扰动信号：2,021vv21021KKFKsse3 3、对于、对于型系统：型系统：注意：注意：对于上述给定和扰动稳态误差利用终值对于上述给定和扰动稳态误差利用终值定理进行求取必须满足两个条件：定理进行求取必须满足两个条件：（1 1）系统是稳定的；）系统是稳定的；（2 2）所求信号的终值要存在。）所求信号的终值要存在。从前述可知：从前述可知：（1）在系统中增加前向通道积分环节的个数或在系统中增加前向通道积分环节的个数或增大开环增益增大开环增益,可减小系统的给定稳态误差；可减小系统的给定稳态误差；（2）增加误差信号到扰动作用点之间的积分环增加误差信号到扰动作用点之间的积分环节个数或放大系数，可减小系统的扰动稳态误节个数或放大系数，可减小系统的扰动稳态误差。差。但一般系统的积分环节不能超过两个，放但一般系统的积分环节不能超过两个，放大倍数也不能随意增大，否则将使系统暂态性大倍数也不能随意增大，否则将使系统暂态性能变坏，甚至造成系统不稳定。能变坏，甚至造成系统不稳定。五、提高系统稳态精度的方法：五、提高系统稳态精度的方法：因此稳态精度与暂态性能、稳定性始终存因此稳态精度与暂态性能、稳定性始终存在矛盾。在保证系统稳定的前提下，为实现提在矛盾。在保证系统稳定的前提下，为实现提高稳态精度的目的，可采用以下措施：高稳态精度的目的，可采用以下措施：（1 1）在增大开环增益和扰动作用点前系统前向）在增大开环增益和扰动作用点前系统前向 通道增益通道增益K1K1的同时，附加校正装置，以确的同时，附加校正装置，以确 保稳定性。保稳定性。（2 2）增加系统前向通道积分环节个数的同时，）增加系统前向通道积分环节个数的同时，也要对系统进行校正，以防止系统失去稳也要对系统进行校正，以防止系统失去稳 定，并保证具有一定的瞬态响应速度。定，并保证具有一定的瞬态响应速度。（3 3）采用复合控制。在输出反馈控制的基础）采用复合控制。在输出反馈控制的基础 上，再增加按给定作用或主要扰动而进行上，再增加按给定作用或主要扰动而进行 的补偿控制，构成复合控制系统。的补偿控制，构成复合控制系统。复合控制的两种方法：将在第复合控制的两种方法：将在第6 6章讲解章讲解（1 1）扰动前馈补偿）扰动前馈补偿 (参见课本图参见课本图3-43)3-43)（2 2）给定前馈补偿）给定前馈补偿(参见课本图参见课本图3-44)3-44)参见课本：参见课本：反馈及其作用反馈及其作用w反馈对总增益的影响反馈对总增益的影响w反馈对稳定性的影响反馈对稳定性的影响w用反馈减小参数变化对系统的影响用反馈减小参数变化对系统的影响w用反馈改善系统的动态性能用反馈改善系统的动态性能w通过反馈减小干扰的影响通过反馈减小干扰的影响 时域分析的概念时域分析的概念 典型输入信号典型输入信号 时域响应性能指标时域响应性能指标 一阶系统的响应一阶系统的响应 二阶系统二阶系统 系统的稳定性系统的稳定性 稳态误差稳态误差 稳态精度与系统动态指标和稳定性的矛盾稳态精度与系统动态指标和稳定性的矛盾 反馈及其作用反馈及其作用