梁弯曲内力及强度计算课件

材料力学第6章 梁弯曲内力及强度计算材料力学 本章主要内容6-1 概述6-2 受弯杆件的简化6-3 剪力和弯矩6-4 剪力图和弯矩图6-5 载荷集度剪力和弯矩间的关系6-6 平面刚架和曲杆的内力6-7 横力弯曲时的正应力及正应力强度计算材料力学6-1 概述起重机大梁1材料力学镗刀杆材料力学车削工件材料力学火车轮轴材料力学弯曲特点以弯曲变形为主的杆件通常称为梁以弯曲变形为主的杆件通常称为梁受力特点：外力垂直于轴线受力特点：外力垂直于轴线变形特点：轴线由直线变成曲线变形特点：轴线由直线变成曲线材料力学常见弯曲构件截面材料力学具有纵向对称面具有纵向对称面外力都作用在此面内外力都作用在此面内弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线平面弯曲平面弯曲材料力学梁的载荷与支座集中载荷集中载荷分布载荷分布载荷集中力偶集中力偶固定铰支座固定铰支座活动铰支座活动铰支座固定端固定端6-2 受弯杆件的简化2材料力学材料力学火车轮轴简化材料力学材料力学吊车大梁简化均匀分布载荷均匀分布载荷简称均布载荷简称均布载荷材料力学非均匀分布载荷材料力学简支梁简支梁外伸梁外伸梁悬臂梁悬臂梁FAxFAyFByFAxFAyFByFAxFAyMA静定梁的基本形式材料力学FNFSM0 xF0N F 0yF1ASFFFy 0McF)(1axFxFMAy F FS S剪力，平行于横截剪力，平行于横截面的内力合力面的内力合力 M M 弯矩，垂直于横截弯矩，垂直于横截面的内力系的合力偶矩面的内力系的合力偶矩FByFNFSM6-3 剪力和弯矩3FAy材料力学FAyFNFSMFByFNFSM 截面上的剪力对梁上任意一点的矩截面上的剪力对梁上任意一点的矩为为顺时针顺时针转向时，转向时，剪力为正；剪力为正；反之反之为负。为负。+_ 截面上的弯矩使得截面上的弯矩使得梁呈梁呈凹形凹形为为正；正；反之反之为负。为负。+_ 左上右下左上右下为正；为正；反之反之为负为负 左顺右逆左顺右逆为正；为正；反之反之为负为负材料力学解：解：1.确定支反力确定支反力FAyFBy 0yFFFFByAy2 0AMaFFaaFBy233FFBy35FFAy2.用截面法研究内力用截面法研究内力FAyFSEME 0yF352FFFSE 0EM233522aFMaFE3FFSE23FaME 求图示简支梁求图示简支梁E E 截面的内力截面的内力FAy材料力学FByFByFAyFSEMEO3FFBy35FFAy分析右段得到：分析右段得到：FSEMEO 0yF0BySEFF3FFFBySE 0oMFaaFMByE2323FaME材料力学FAyFBy3FFBy35FFAy 截面上的剪力等于截面任一侧外力的代数和。35FFSEFAyFSE2FF23F材料力学FAyFBy3FFBy35FFAy 截面上的弯矩等于截面任一侧外力对截面形心力矩的代数和。2335aFME22aF Fa23FAy2FME材料力学 8/2qlq悬臂梁受均布载荷作用。试写出试写出剪力和弯矩方程，并剪力和弯矩方程，并画出剪力画出剪力图图和弯矩和弯矩图。图。解：解：任选一截面任选一截面x x，写出剪力和弯矩，写出剪力和弯矩 方程方程x lxqxxFS0 lxqxxM02/2依方程画出依方程画出剪力剪力图图和弯矩和弯矩图图FSxMxql2/2qll由剪力由剪力图、弯矩图可见。最大剪力和弯图、弯矩图可见。最大剪力和弯矩分别为矩分别为qlFSmax2/2maxqlM 6-4 剪力图和弯矩图4qx xM xFS材料力学 BAlFAYFBY图示简支梁C点受集中力作用试写出试写出剪力和弯矩方程，并剪力和弯矩方程，并画出剪力画出剪力图图和弯矩和弯矩图。图。解解：1 1确定约束力确定约束力00，BAMMF FAyAyFb/l F FByByFa/l2 2写出剪力和弯矩方程写出剪力和弯矩方程x2FSxMxlFb/lFa/lFab/x1AC axlFbxFS110/axlFbxxM1110/CB lxalFaxFS22/lxalxlFaxM222/3.3.依方程画出剪力图和弯矩图。依方程画出剪力图和弯矩图。CFab材料力学 BAl图示简支梁C点受集中力偶作用。试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。图和弯矩图。解解：1 1确定约束力确定约束力00，BAMMFAyM/l FBy-M/l2 2写出写出剪力和弯矩方程剪力和弯矩方程x2lMa/x1AC axlMxFS110/axlMxxM1110/CBbxlMxFS220/bxlMxxM2220/3.依方程画出剪力图和弯矩图。lM/lMb/CMab材料力学 32/32ql32/32qlBAl简支梁受均布载荷作用试写出试写出剪力和弯矩方程，并剪力和弯矩方程，并画出剪力画出剪力图图和弯矩和弯矩图。图。解解：1 1确定约束力确定约束力00，BAMMFAy FBy ql/22 2写出写出剪力和弯矩方程剪力和弯矩方程yxCx lxqxqlxFS02/lxqxqlxxM02/2/23.3.依方程画出依方程画出剪力剪力图图和弯矩和弯矩图。图。FSxMx2/ql2/ql8/2ql 材料力学6-5 载荷集度剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩关系：载荷集度、剪力和弯矩关系：)()()(22xqdxxdFdxxMds5材料力学 载荷集度、剪力和弯矩关系：)()()(22xqdxxdFdxxMds1.1.q q0 0，F Fs s=常数，常数，剪力图为水平线；剪力图为水平线；M M(x(x)为为 x x 的一次函数，弯矩图为斜直线。的一次函数，弯矩图为斜直线。2.q2.q常数，常数，F Fs s(x x)为为 x x 的一次函数，剪力图为斜直线；的一次函数，剪力图为斜直线；M M(x(x)为为 x x 的二次函数，弯矩图为抛物线。的二次函数，弯矩图为抛物线。分布载荷向上（分布载荷向上（q q 0 0），抛物线呈上凹形；），抛物线呈上凹形；分布载荷向下（分布载荷向下（q q 0 0,斜直线，斜率斜直线，斜率0FS 0,斜直线，斜率斜直线，斜率0,斜直线，斜率斜直线，斜率0q(x)0,斜直线，斜率斜直线，斜率0,抛物线，上凹抛物线，上凹q(x)0,抛物线，下凹抛物线，下凹FS=0,抛物线有极值抛物线有极值有突有突变变突变量突变量=F斜率有突变斜率有突变图形成折线图形成折线突变量突变量=F无影响无影响有突变有突变突变量突变量=M材料力学微分关系绘制剪力图与弯矩图的方法：根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面。根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面。应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩数值。应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩数值。建立建立F FS S一一x x和和M M一一x x坐标系，并将控制面上的剪力和弯矩值标坐标系，并将控制面上的剪力和弯矩值标在相应的坐标系中。在相应的坐标系中。应用平衡微分方程确定各段控制面之间的剪力图和弯矩图应用平衡微分方程确定各段控制面之间的剪力图和弯矩图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。的形状，进而画出剪力图与弯矩图。材料力学 32/32ql32/32qlBAl简支梁受均布载荷作用试试画出剪力画出剪力图图和弯矩和弯矩图。图。解解：1 1确定约束力确定约束力00，BAMMFAy FBy ql/2yxFSxMx2/ql2/ql8/2ql 2 2确定控制面确定控制面支座反力内侧截面均为控制面。支座反力内侧截面均为控制面。即即A、B截面截面。3 3建立坐标系建立坐标系建立建立 F FS Sx x 和和 M Mx x 坐标系坐标系 4 4应用截面法确定控制面上应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩值，并将其标在的剪力和弯矩值，并将其标在 F FS S x x和和 M Mx x 坐标系中。坐标系中。5 5根据微分关系连图线根据微分关系连图线材料力学BA1.5m1.5m1.5mFAYFBY1kN.m2kN 梁简支受力的大小和方向如图示。试画出其剪力图和弯矩图。解解：1 1确定约束力确定约束力00，BAMM求得求得A、B 二处的约束力二处的约束力 FAy0.89 kN,FBy1.11 kN 根据力矩平衡方程根据力矩平衡方程 2 2确定控制面确定控制面在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力内侧截面在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力内侧截面均为控制面。即均为控制面。即A、C、D、E、F、B截面截面。材料力学(+)(-)BAFAYFBY1kN.m2kNM(kN.m)xO3 3建立坐标系建立坐标系建立建立 F FS Sx x 和和 M Mx x 坐标系坐标系 5 5根据微分关系连图线根据微分关系连图线4 4应用截面法确定控制面上应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩值，并将其标在的剪力和弯矩值，并将其标在 F FS S x x和和 M Mx x 坐标系中。坐标系中。0.891.111.3351.67(-)(-)0.335xFS(kN)O0.89 kN=1.11 kN材料力学（-）（+）解法解法2 2：1 1确定约束力确定约束力F FAyAy0.89 kN0.89 kN F FFyFy1.11 kN1.11 kN 2 2确定控制面为确定控制面为A、C、D、B两侧两侧截面。截面。FBYBA1.5m1.5m1.5mFAY1kN.m2kNDC3 3从从A A截面左侧开始画剪力图。截面左侧开始画剪力图。Fs（kN）0.891.11材料力学（-）（-）4 4从从A A截面左侧开始画弯矩图。截面左侧开始画弯矩图。M（kN.m）从从A A左到左到A A右右从从C C左到左到C C右右从从D D左到左到D D右右从从A A右到右到C C左左1.3300.330从从C C右到右到D D左左1.665（-）（+）FBYBA1.5m1.5m1.5mFAY1kN.m2kNDCFs（kN）0.891.11从从D D右到右到B B左左从从B B左到左到B B右右材料力学qBAFAyFBy试画出梁剪力图和弯矩图。解：解：1 1确定约束力确定约束力根据梁的整体平衡，由根据梁的整体平衡，由 00，BAMM求得求得A A、B B 二处的约束力二处的约束力qaFqaFByAy4349,qa2 2确定控制面确定控制面 由于由于ABAB段上作用有连续分布载荷，故段上作用有连续分布载荷，故A A、B B两个截面为控制两个截面为控制面，约束力面，约束力F FByBy右侧的截面，以及集中力右侧的截面，以及集中力qaqa左侧的截面，也都是左侧的截面，也都是控制面。控制面。C材料力学 （+）（-）qBAaFAyFBy qa3 3建立坐标系建立坐标系建立建立 F FS Sx x 和和 M Mx x 坐标系坐标系 4 4应用截面法确定控制面上应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩值，并将其标在的剪力和弯矩值，并将其标在 F FS S x x和和 M Mx x 坐标系中。坐标系中。5 5根据微分关系连图线根据微分关系连图线9qa/47qa/4 qa（+）Mx4/9a 81qa2/32qa2x FS(kN)材料力学qaFqaFByAy4349,解法2：1确定约束力2确定控制面，即A、B、D两侧截面。3从A截面左侧开始画剪力图。（+）（-）qBAaFAyFBy Fs 9qa/4 7qa/4qa材料力学（+）M （+）（-）qBAaFAyFBy Fs 9qa/4 7qa/4qa4求出剪力为零的点到A的距离。B B点的弯矩为点的弯矩为 -1/2-1/27qa/47qa/47a/47a/4 +81qa +81qa2 2/32=qa/32=qa2 2ABAB段段为上凸抛物线。且有极大值。为上凸抛物线。且有极大值。该点的该点的弯矩为弯矩为 1/21/29qa/49qa/49a/49a/4 =81qa =81qa2 2/32/325从A截面左侧开始画弯矩图 4/9a 81qa2/32qa2材料力学（-）（-）（+）（+）（-）Fs试画出图示有中间铰梁的剪力图和弯矩图。解解：1 1确定约束力确定约束力2/qaFDy从铰处将梁截开从铰处将梁截开qFDyFDyqa2/3qaFBy2/qaFAy2/2qaMAqa/2qa/2qaMqa2/2qa2/2BAaqaCaaDq材料力学平面刚架：某些机器的机身（压力机等）由几根直杆组成，而各杆在其联接处某些机器的机身（压力机等）由几根直杆组成，而各杆在其联接处的夹角不能改变，这种联接称为刚节点。有刚节点的框架称为刚架。各的夹角不能改变，这种联接称为刚节点。有刚节点的框架称为刚架。各直杆和外力均在同一平面内的刚架为平面刚架。平面刚架的内力一般有直杆和外力均在同一平面内的刚架为平面刚架。平面刚架的内力一般有轴力、剪力和弯矩。轴力、剪力和弯矩。76-6 平面刚架和曲杆的内力材料力学横杆横杆CBCB：C C点向左为点向左为x x lxqlxFqlxFFSSy02/02/0 lxxFFNx000 lxqlxxMqlxxMxM02/02/0Bql22ql22qlyB22qlFN(x)M(x)xFS(x)x 已知平面刚架上的均布载荷集度q,长度l。试：画出刚架的内力图。解：解：1 1、确定约束力、确定约束力2 2、写出各段的内力方程、写出各段的内力方程材料力学竖杆竖杆ABAB：qyqlyFS 2/qlyFN 2/2qyqlyyMBql22ql22qly3、根据各段的内力方程画内力图横杆横杆CBCB：2/qlxFS 0 xFN 2/qlxxMMFNFSql22ql2ql2ql2ql2ql材料力学平面曲杆 某些构件（吊钩等）其轴线为平面曲线称为平面曲某些构件（吊钩等）其轴线为平面曲线称为平面曲杆。当外力与平面曲杆均在同一平面内时，曲杆的内力有杆。当外力与平面曲杆均在同一平面内时，曲杆的内力有轴力、剪力和弯矩。轴力、剪力和弯矩。材料力学 6-7 横力弯曲时的正应力 正应力强度计算材料力学maxmax MWZ利用上式可以进行三方面的强度计算：利用上式可以进行三方面的强度计算：已知外力、截面形状尺寸、许用应力，校核梁的强度已知外力、截面形状尺寸、许用应力，校核梁的强度已知外力、截面形状、许用应力，设计梁的截面尺寸已知外力、截面形状、许用应力，设计梁的截面尺寸已知截面形状尺寸、许用应力，求许可载荷已知截面形状尺寸、许用应力，求许可载荷梁的正应力强度条件材料力学kN90AyFkN90ByFkN90AyFBAl=3mq=60kN/mxC1m FSx90kN90kNMxm67.5kN8/2ql 30zy180120K1.C 截面上截面上K点正应力点正应力2.C 截面上最大正应力截面上最大正应力3.校核梁的强度校核梁的强度解解：1.求支反力求支反力2.求求C 截面上截面上K点正应力点正应力mkN605.0160190CM4533Zm10832.51218.012.012bhIkN90AyFMPa7.61Pa107.6110832.510)302180(10606533ZKCKIyM例题6-7 图示简支梁，受均布载荷作用，材料的许用应力图示简支梁，受均布载荷作用，材料的许用应力=160MPa，求：，求：材料力学2.C 截面最大正应力C 截面弯矩mkN60CMC 截面惯性矩45Zm10832.5IBAl=3mq=60kN/mxC1mMxm67.5kN8/2ql 30zy180120K FSx90kN90kN FSx90kN90kNMPa55.92Pa1055.9210832.510218010606533ZmaxmaxIyMCC例题材料力学BAl=3mq=60kN/mxC1mMxm67.5kN8/2ql 30zy180120K FSx90kN90kN3.校核梁的强度校核梁的强度全梁最大弯矩全梁最大弯矩截面惯性矩截面惯性矩45m10832.5zI 满足强度MPa17.104Pa1017.10410832.5102180105.676533ZmaxmaxmaxIyM例题材料力学10kN/m2m4m10020010kN/m例6-8：图示外伸梁，受均布载荷作用，材料的许用应力=160MPa，校核该梁的强度。材料力学解：由弯矩图可解：由弯矩图可Mmax20kN mtzMWmax 30MPa材料力学该梁满足强度条件，安全该梁满足强度条件，安全型截面铸铁梁，截面尺寸如图示试校核梁的强度。试校核梁的强度。MPa,60,MPa30ct作弯矩图，寻找需要校核的截面作弯矩图，寻找需要校核的截面 ccttmax,max,要同时满足要同时满足分析：分析：材料力学yz52（1）求截面形心）求截面形心mm522012020808020120102080cy(2(2）求截面对中性轴）求截面对中性轴z z的惯性矩的惯性矩462323m1064.728120201212020422080122080zI 解：解：材料力学（4）B截面校核截面校核kN.m5.2kN.m4 ttMPa2.27max,ccMPa1.46max,ttMPa8.28Pa108.281064.71088105.26633max,（3）作弯矩图（5）C截面要不要校核？截面要不要校核？材料力学本章小结一、知识点1、熟练求解各种形式静定梁的支座反力2、明确剪力和弯矩的概念，及剪力和弯矩的正负号规定3、熟练建立剪力方程、弯矩方程，绘制剪力图和弯矩图4、熟练计算任意截面上的剪力和弯矩的数值和弯曲正应 力强度条件及其应用二、重点内容1、剪力图和弯矩图2、弯曲正应力强度条件及其应用