近世代数前两章知识总结

近世代数论文师范学院14 级数学与应用数学 2班 景羡林学号：12147139213一、上半学期学习总结第一章 基本概念1、集合的幂集：以集合A的一切子集为元素构成的集合，记为p（A）或 2a。（含n个元素的集合的子集有2n个，即幂集中的元素共有2n 个）2、积（笛卡尔积）：AXB= （a, b） |aGA, beB叫 A 与 B 的积。（A XBHBXA）3、A到B的对应法则0为A到B的映射oVx e A, x有象 Vx eA, x的象唯一 Vx e A, x的象在B中。4、若A是含n个元素的集合，则A的映射共有兀九个，映射共有n!个。5、代数运算：一个AXB到D的映射叫做一个AXB到D的代数运算。（o为AXB到D的代数运算oV （a, b） eAXB, aob有意义，且 aob 唯一,属于 D）。6、满射：Vye A，设y=0 （x）,求出x （x为y的函数），若x存在且 xeA,贝切为满射。（4中的每一个元素都有原象）；单射：Va, beA,若aHb，则0 （a）H0 （b）。（元素不同象不同）；一一映射：即 单又满。（一一映射都有逆映射，若A与B间是一一映射，则A、B 有限且元素个数相同）7、一个A到A的映射叫做A的一个变换;有限集A的一个一一变换， 叫做A的一个置换。8、一个A至【M的映射0,叫做一个对于代数运算o和0来说的，A至宓 的同态映射，假如满足：Va,beA, aT, b=b则aobTb （运 算的象二象的运算）；A与Z同态oA与Z存在同态满射0。9、一个A至【M的一一映射0,叫做一个对于代数运算o和0来说的，A 至的同构映射。（同构映射的逆映射也是同构映射）。10、若R为法则，若R满足Va, beA,要么aRb,要么ajRb,唯一确 定，则称R为A的元间的一个关系；集合A的元间的一个关系叫 做一个等价关系，假如满足反射律（VaeA，有aa）对称律 推移律11、A的一个分类即为A的一些子集、码、橙满足：AU42U U4九二A.A. A A.=0 （iHj）（不相交）。（集合A的元间的一个 等价关系决定 A 的一个分类）12、模n的同余关系（a三b （n）读作a同余b模n）：若n |（a-b） 则a三b（a与b同除n后余数相同）。若a二b则a三b（n）即n|a-b。第二章 群论1、群的定义：一个非空集合 G 对于一个叫做乘法的代数运算来说作 成一个群，假如：乘法封闭。结合律成立。存在单位元。 逆元存在。2、群的阶：群中元素的个数；元素的阶：使得二e成立的最小正整 数m,记为|a|,若这样的m不存在，则说a是无限阶的。（单位元 的阶为 1）3、元素的阶的性质：设a的阶为m,若“=e则m|n；任何元素 与它的逆元同阶;设G为一个群,aeG,若a的阶为2,则a=a-1 ； 在一个有限群G中，阶大于2的元素的个数一定是偶数。4、父换群：Va, beG, ab=ba5、若一个有乘法的有限集满足乘法封闭；结合律成立；消去 律成立（若ax二ax，那么x=x；若ya二y a则y二y）。则必能 做成一个群。（无限集不适用）6、群同态：假定G与G对于它们的乘法来说同态，若G是群，那么G 也是一个群（具有相同的特性）。但是反之却不成立。7、设（G, 和（G, 是两个群，如果存在G和G的同态满射，则 称G和G同态，记为GG；如果存在G和G的同构映射，则称G 和G同构，记为G竺G。8、A的一个变换就是一个A到A自己的映射。9、一个集合A的所有一一变换作成一个变换群G。（变换群是非交换 群）；变换群不唯一，变换做成群只有一一映射，10、任何一个群都同一个变换群同构。11、一个有限集合的一个一一变换叫做一个置换；一个有限集合的若 干个置换做成的一个群叫做一个置换群。（置换群的表示不唯一， 置换群是非交换群）12、一个包含n个元的集合的全体置换作成的群叫做n次对称群；n 次对称群S勺阶是n!13、每一个有限群都与一个置换群同构。14、循环群的每个元素都可以写成生成元的方幂。（循环群的生成元 不唯一，不同的元可以生成同一个群）15、假定G是一个由元a生成的循环群，那么G的构造完全可以由a 的阶来决定：a的阶若是无限，那么G与整数加群同构；a的 阶若是一个有限整数n,那么G与模n的剩余类加群同构。16、一个循环群一定是一个交换群。17、设H为群G的非子集，如果H按G中的运算作成一个群，则称H 为G的一个子群，记为HWG。18、子群的判法：定义法；一个群G的一个非空子集H作成G 的一个子群的充要条件是乘法封闭；逆元成立(aGHn a-1 GH)；充要条件是：a、bGHnab-1 GH；充要条件是：a、bGHnab GH。19、群G中由等价关系aboab-iGH决定G的一个分类，其中的 每一个类，叫做子群H的右陪集，用Ha表示。20、群G中由等价关系a，bob-iaGH决定G的一个分类，其中 的每一个类，叫做子群H的右陪集，用aH表示。21、一个子群H的右陪集个数和左陪集个数相等。(一般的，VaG G， HaHaH，a为单位元时才相等)22、一个群G的一个子群H的右陪集(或左陪集)的个数叫做H在G 里的指数，记为G:H。(陪集个数=H中元素个数)23、子群的阶能整除大群的阶；一个有限群G的任一个元a的阶n 都整除G的阶。24、一个群G的一个子群N叫做一个不变子群，假如对于G的每一个 元a来说，都有Na二aN (指Na与aN这两个集合一样)。25、一个交换群G的每一个子群H都是不变子群。26、不变子群的判法：定义法：Va，有Na=aN； (2)VaG G，aNa-i=N；aG G， nG N n ana-1 GN27、一个群G的一个不变子群N的陪集所作成的群叫做一个商群，用G/N表示；豐阶=G/N的阶。(每一个不变子群都可产生一个商群)N的阶28、一个群G同它的每一个商群G/N同态。29、假定G与G是两个群，并且G与G同态，那么这个同态满射的核N 是G的一个不变子群，并且G/N竺G30、一个群G和它的每一个商群同态；群的同态满射的核是一个不变 子群。二、下半学期学习计划1时间安排问题(1) 在学习前确定明确的目标，比如要在多少时间里完成多少内容。(2) 按时完成作业。(3) 充分利用课余时间来提高自己。2注意力问题上课专心听讲，做到注意力高度集中3学习兴趣问题要想学好近世代数这门课程，首先必须要对这门学科有兴趣，兴趣是最好的老师。4. 学习方法问题（1）多做题，在做题中体会做题的方法，思想，步骤。（2）敢于不耻下问，与同学们共同提高。（3）敢于向老师请教问题。（4）合理利用课余时间，多在图书馆看一些课外辅助读物，提升自己的能力。（5）课前提前预习，课后及时复习。（6）每隔一段时间就要复习一下以前学过的东西，做到温故而知新。（7）多做一下以前的考试题，了解考试题型。5、学会总结知识将课本上的概念理论用便于自己理解的话总结起来，学会比较记忆，把相同 类型的内容总结到一起，一并理解记忆。三、学习意见、建议希望老师能把之前发的那些题仔细讲一下，近世代数这门课理论概念太多， 这也是同学们上课听着浮躁的主要原因，数学专业的学生自然对计算之类的东西 比较敏感，而像短篇小说一样的概念理论，无疑是对数学专业学生的煎熬，至少 对我来说如此，我感觉这门课的概念理论不难记忆，但是不容易理解。为了能更 好地学习近世代数这门课程，现提一点建议如下：1、如果能把枯燥的理论概念融入到习题讲解中，我感觉效果可能会更好。2、在课堂上积极调动学生学习，比如多叫学生在黑板上做题，对学生上课 注意力高度集中以及更好地理解学习内容都大有好处。近世代数是一门比较抽象的学科，但作为数学专业的学生，它是 我们必须要攻克的难关，只要方法得当，并认真去学，我相信，学好 近世代数不是难事，I firmly believe that I can make it!