第4章(地震危险性方法)素材

地震危险性概率分析方法地震危险性概率分析方法高玉峰高玉峰土动力学土动力学 第第4 4章章GeoHohai一种简化的地震危险性分析计算方法一种简化的地震危险性分析计算方法 -逐点计算法逐点计算法一、一、地震危险性分析的椭圆模型地震危险性分析的椭圆模型二、二、逐点计算法的思路逐点计算法的思路三、三、程序设计的技术处理程序设计的技术处理四、四、举例说明举例说明一、地震危险性分析的椭圆模型一、地震危险性分析的椭圆模型 1968年年，Cornell建立了建立了Cornell模型。模型。1977年年，Der.kiurehian和对和对Cornell模模 型做了较大的修改，提出断层破裂模型。型做了较大的修改，提出断层破裂模型。1989年，年，沈建文沈建文等讨论了等讨论了Cornell模型和断层破裂模型和断层破裂 模型存在的系统偏差，提出了地震危险性分析的模型存在的系统偏差，提出了地震危险性分析的 经验点椭圆模型。经验点椭圆模型。设设对场地产生有效影响的潜在震源有对场地产生有效影响的潜在震源有n个，地个，地震发生为均匀泊松过程，且震发生为均匀泊松过程，且vi为第为第Ei个潜在震源震个潜在震源震级级mm0的地震的年平均发生率，则一年中场地地的地震的年平均发生率，则一年中场地地震动震动Y超过某确定超过某确定y的概率为：的概率为：一、地震危险性分析的椭圆模型一、地震危险性分析的椭圆模型iiniEyYPyYP)/()(11一、地震危险性分析的椭圆模型一、地震危险性分析的椭圆模型t 年内的超越概率为：年内的超越概率为：1()11ttP YyP Yy 一、地震危险性分析的椭圆模型一、地震危险性分析的椭圆模型 M0 起算震级；起算震级；Mu 震级上限；震级上限；f(m)震级概率密度震级概率密度。0(/)/,uMiiMP Yy EP Yy E m f m dm一、地震危险性分析的椭圆模型一、地震危险性分析的椭圆模型 因此，地震危险性分析的关键是计算第因此，地震危险性分析的关键是计算第Ei 个个潜在震源中，震级潜在震源中，震级m对场地造成的超过某地震动对场地造成的超过某地震动y的超越概率：的超越概率：？(/,)iP Yy E m一、地震危险性分析的椭圆模型一、地震危险性分析的椭圆模型 P(Y y/Ei,m)计算归结为计算地震动衰减计算归结为计算地震动衰减椭圆与凸多边形潜在震源相交面积，后者可表椭圆与凸多边形潜在震源相交面积，后者可表示成三角形与椭圆扇形面积的代数和，从而将示成三角形与椭圆扇形面积的代数和，从而将问题简化。问题简化。一、地震危险性分析的椭圆模型一、地震危险性分析的椭圆模型图图1 1 椭圆与凸多边形相交关系椭圆与凸多边形相交关系YNCBXAFEODMYCBAG FEDOXMM YGBFEA D HCXOI二、逐点计算法的思路二、逐点计算法的思路 本文提出的计算凸多边形与椭圆交接面积的本文提出的计算凸多边形与椭圆交接面积的基本思路是：基本思路是：1 1、把它当作表示三角形或椭圆扇形面积的矢量乘积之和。把它当作表示三角形或椭圆扇形面积的矢量乘积之和。2 2、将任意凸多边形的各个顶点按逆时针排序，逐个判别、将任意凸多边形的各个顶点按逆时针排序，逐个判别 各个顶点的情况，进而判别多边形每条边与椭圆相交各个顶点的情况，进而判别多边形每条边与椭圆相交 的情况，求出需累加三角形、椭圆扇形的面积的矢量的情况，求出需累加三角形、椭圆扇形的面积的矢量 乘积。乘积。3 3、当循环一周又回到初始点的时，自然得出各个面积的、当循环一周又回到初始点的时，自然得出各个面积的 矢量和，亦即地震动衰减椭圆与凸多边形潜在震源的矢量和，亦即地震动衰减椭圆与凸多边形潜在震源的 相交面积。相交面积。4 4、此方法规定矢量垂直于椭圆面并方向朝上为正。、此方法规定矢量垂直于椭圆面并方向朝上为正。二、逐点计算法的思路二、逐点计算法的思路 多边形的顶点与椭圆的交接有三种情况，多边形的顶点与椭圆的交接有三种情况，即多边形的即多边形的顶点顶点在：在：1 1、椭圆内椭圆内 2 2、椭圆上椭圆上 3 3、椭圆外椭圆外 其中多边形的顶点在椭圆上可视为椭圆内的特殊其中多边形的顶点在椭圆上可视为椭圆内的特殊情况来归一化处理，因而可将三种情况简化为两种。情况来归一化处理，因而可将三种情况简化为两种。二、逐点计算法的思路二、逐点计算法的思路A(n)B(n+1)O 只需计算以坐标原点、只需计算以坐标原点、n点、点、n+1+1点为顶点的三角形点为顶点的三角形OAB面积。面积。在求三角形面积时，由于按逆时针取点，三角形面积可表示为矢量在求三角形面积时，由于按逆时针取点，三角形面积可表示为矢量叉乘形式。若表达式为正，表示加上该三角形面积；若表达式为负，叉乘形式。若表达式为正，表示加上该三角形面积；若表达式为负，表示减去该三角形面积，后文有具体说明。表示减去该三角形面积，后文有具体说明。1 1、当多边形第、当多边形第n顶点在椭圆内，第顶点在椭圆内，第n+1顶点有两种情况顶点有两种情况:（1 1）第）第n+1点在椭圆内点在椭圆内。二、逐点计算法的思路二、逐点计算法的思路OA(n)P1B(n+1)计算以坐标原点、计算以坐标原点、n点、交点点、交点P1为顶点的三角形为顶点的三角形OAP1面积，面积，并将交点并将交点P1的坐标存贮起来，作为求椭圆扇形面积的初始点。在的坐标存贮起来，作为求椭圆扇形面积的初始点。在椭圆确定时，椭圆扇形面积只与该扇形的起始边与椭圆的交点椭圆确定时，椭圆扇形面积只与该扇形的起始边与椭圆的交点初始点，以及该扇形的终止边与椭圆交点初始点，以及该扇形的终止边与椭圆交点终止点有关。在终止点有关。在本文方法中，椭圆扇形面积始终为正。本文方法中，椭圆扇形面积始终为正。（2 2）第）第n+1点在椭圆外点在椭圆外。二、逐点计算法的思路二、逐点计算法的思路 按照顺序，首先要考虑交点按照顺序，首先要考虑交点P2如何处理。显然如何处理。显然P2点与求椭圆扇点与求椭圆扇形面积有关，且是椭圆扇形的终止点。若前面没有椭圆扇形的初始形面积有关，且是椭圆扇形的终止点。若前面没有椭圆扇形的初始点，需将交点点，需将交点P2作特殊点存贮起来，作为最后计算椭圆扇形面积的作特殊点存贮起来，作为最后计算椭圆扇形面积的终止点（下述），并计算原点，终止点（下述），并计算原点，P2点和第点和第n+1+1点组成的三角形面积矢点组成的三角形面积矢量乘积。量乘积。2 2、当多边形第、当多边形第n顶点在椭圆外，第顶点在椭圆外，第n+1顶点有两种情况顶点有两种情况:（1 1）第）第n+1点在椭圆内点在椭圆内。B(n+1)OP2A(n)二、逐点计算法的思路二、逐点计算法的思路P2OA(n)B(n+1)P1B(n+1)B(n+1)多边形的边多边形的边AB与椭圆相切或完全不相交，另一种情况是线段与椭圆相切或完全不相交，另一种情况是线段AB与椭圆相交。在这里，我们只考虑边与椭圆相交。在这里，我们只考虑边AB为线段而不考虑其延长为线段而不考虑其延长后的情况。判别相交情况，可按本文程序设计技术处理给出的具体后的情况。判别相交情况，可按本文程序设计技术处理给出的具体说明。没有交点时不需要计算，直接对下一个点进行判断分析；有说明。没有交点时不需要计算，直接对下一个点进行判断分析；有一个交点时，当作无交点的情况处理。一个交点时，当作无交点的情况处理。（2 2）第）第n+1点在椭圆外点在椭圆外。二、逐点计算法的思路二、逐点计算法的思路 线段线段AB与椭圆有两个交点与椭圆有两个交点P1、P2。按照顺序，首先处理交点。按照顺序，首先处理交点P2。P2可当作点有椭圆外到椭圆内与椭圆的交点。若前面已有椭可当作点有椭圆外到椭圆内与椭圆的交点。若前面已有椭圆扇形的初始点，把圆扇形的初始点，把P2点作为椭圆扇形的终止点，计算出椭圆扇点作为椭圆扇形的终止点，计算出椭圆扇形的面积；若没有椭圆扇形的初始点，把形的面积；若没有椭圆扇形的初始点，把P2点存贮起来，作为最点存贮起来，作为最后计算椭圆扇形面积的终止点。处理完后计算椭圆扇形面积的终止点。处理完P2，计算三角形，计算三角形O P2 P1，然后处理交点然后处理交点P1。P1可视为点由椭圆内到椭圆外与椭圆的交点，可视为点由椭圆内到椭圆外与椭圆的交点，只需将其作为计算下一个椭圆扇形面积的初始点存贮起来。只需将其作为计算下一个椭圆扇形面积的初始点存贮起来。P2OA(n)B(n+1)P1B(n+1)B(n+1)二、逐点计算法的思路二、逐点计算法的思路 若第一点在椭圆内，若第一点在椭圆内，则沿逆时针方向一周，计算则沿逆时针方向一周，计算得出的三角形和椭圆扇形面积的矢量和，即是要求的得出的三角形和椭圆扇形面积的矢量和，即是要求的凸多边形潜在源与地震动衰减椭圆的相交面积。凸多边形潜在源与地震动衰减椭圆的相交面积。当选择的凸多边形的第一个顶点在椭圆内或当选择的凸多边形的第一个顶点在椭圆内或椭圆外时，其计算方法有所不同。椭圆外时，其计算方法有所不同。二、逐点计算法的思路二、逐点计算法的思路MNYCBXAFEOD 若以若以E点为初始点逆时针取向，由点为初始点逆时针取向，由E点点A点，点由椭圆内到椭圆点，点由椭圆内到椭圆外，有唯一交点外，有唯一交点F，计算三角形，计算三角形OEF的面积，然后将的面积，然后将F点作为椭圆扇形点作为椭圆扇形OFD的初始点；由点的初始点；由点A点点B，两点均在椭圆外且线段，两点均在椭圆外且线段AB与椭圆无交与椭圆无交点，不需计算；由点点，不需计算；由点B点点C，两点均在椭圆外且线段，两点均在椭圆外且线段BC与椭圆无交与椭圆无交点，不需计算；由点点，不需计算；由点C点点E，点由椭圆外到椭圆内，且前面已有椭圆，点由椭圆外到椭圆内，且前面已有椭圆扇形扇形OFMD的初始点下，以交点的初始点下，以交点D作为椭圆扇形的终止点，求出椭圆作为椭圆扇形的终止点，求出椭圆OFMD的面积，再计算三角形的面积，再计算三角形ODE的面积，这样就直接得出椭圆与多的面积，这样就直接得出椭圆与多边形边形EABC的相交面积。的相交面积。二、逐点计算法的思路二、逐点计算法的思路 当选择的凸多边形的第一个顶点在椭圆内或椭圆当选择的凸多边形的第一个顶点在椭圆内或椭圆外时，其计算方法有所不同。外时，其计算方法有所不同。若第一点在椭圆内，若第一点在椭圆内，则沿逆时针方向一周，计算得出的三角形则沿逆时针方向一周，计算得出的三角形和椭圆扇形面积的矢量和，即是要求的凸多边形潜在源与地震动衰和椭圆扇形面积的矢量和，即是要求的凸多边形潜在源与地震动衰减椭圆的相交面积。减椭圆的相交面积。若第一点在椭圆外，若第一点在椭圆外，则按逆时针方向一周后，则按逆时针方向一周后，再增加一个椭圆扇形的面积，才能得出椭圆与多边再增加一个椭圆扇形的面积，才能得出椭圆与多边形的相交面积。形的相交面积。二、逐点计算法的思路二、逐点计算法的思路 选取选取A点作为初始点逆时针取向，首先由点点作为初始点逆时针取向，首先由点A点点B，两点均在椭，两点均在椭圆外且线段圆外且线段AB与椭圆无交点，不作计算；由点与椭圆无交点，不作计算；由点B点点C，两点均在椭圆，两点均在椭圆外且线段外且线段BC与椭圆无交点，也不作计算；由点与椭圆无交点，也不作计算；由点C点点E，点由椭圆外到，点由椭圆外到椭圆内，首先处理交点椭圆内，首先处理交点D，因前面没有椭圆扇形的初始点，将其以特殊，因前面没有椭圆扇形的初始点，将其以特殊点存贮起来，并计算三角形点存贮起来，并计算三角形ODE面积；由点面积；由点E点点A，点有椭圆内到椭，点有椭圆内到椭圆外，计算三角形圆外，计算三角形OEF面积，并将交点面积，并将交点F作为椭圆扇形的初始点存贮起作为椭圆扇形的初始点存贮起来，最后还需以存贮的来，最后还需以存贮的F点作为椭圆扇形的终止点，计算出椭圆扇形的点作为椭圆扇形的终止点，计算出椭圆扇形的面积。面积。MNYCBXAFEOD三、程序设计的技术处理三、程序设计的技术处理 以地震动衰减椭圆的中心为坐标原点，椭圆以地震动衰减椭圆的中心为坐标原点，椭圆长轴为长轴为X轴，椭圆短轴为轴，椭圆短轴为Y轴，建立直角坐标系。轴，建立直角坐标系。1 1、建立直角坐标系、建立直角坐标系三、程序设计的技术处理三、程序设计的技术处理 多边形的顶点与椭圆的关系，可分为点在椭圆多边形的顶点与椭圆的关系，可分为点在椭圆上、椭圆内、椭圆上三种情况，在具体计算时，将上、椭圆内、椭圆上三种情况，在具体计算时，将点在椭圆上的点视为点在椭圆内处理。在判定多边点在椭圆上的点视为点在椭圆内处理。在判定多边形顶点与椭圆关系时，设一控制参数形顶点与椭圆关系时，设一控制参数k(i)k(i)=x2(i)/a2+y2(i)/b2(x(i),y(i)为多边形某一顶点的坐标。为多边形某一顶点的坐标。若若k(i)1，判定点在椭圆外，否则，则判定点，判定点在椭圆外，否则，则判定点在椭圆内（在椭圆内（k(i)1）。）。2 2、判定点与椭圆的关系、判定点与椭圆的关系三、程序设计的技术处理三、程序设计的技术处理 多边形的各边与椭圆有不同的相交情况，需求出交多边形的各边与椭圆有不同的相交情况，需求出交点坐标。设点坐标。设（x(2)，y(2)）、（）、（x(3)，y(3)）是某条边是某条边的两个顶点，则有方程组：的两个顶点，则有方程组：3 3、求解多边形的边与椭圆的交点、求解多边形的边与椭圆的交点1byax2222)2(x)3(x)2(y)3(y)2(xx)2(yy三、程序设计的技术处理三、程序设计的技术处理1byax2222 若此若此方程组无实数解或仅有一组实数解方程组无实数解或仅有一组实数解，表明，表明经过多边形某边的直线与椭圆完全不相交或相切，经过多边形某边的直线与椭圆完全不相交或相切，可认为多边形的边与椭圆无交点。可认为多边形的边与椭圆无交点。)2(x)3(x)2(y)3(y)2(xx)2(yy三、程序设计的技术处理三、程序设计的技术处理 若此若此方程组有二组实数解方程组有二组实数解（x(7),y(7)）、）、（x(8),y(8)），），则表示经过多边形某边的直线与椭圆有两个交点，则表示经过多边形某边的直线与椭圆有两个交点，但并不一定是多边形某边与椭圆的实交点。即使两个都是多但并不一定是多边形某边与椭圆的实交点。即使两个都是多边形某边与椭圆的实交点，还需对其排序。下面解决如何取边形某边与椭圆的实交点，还需对其排序。下面解决如何取交点。交点。1byax2222)2(x)3(x)2(y)3(y)2(xx)2(yy三、程序设计的技术处理三、程序设计的技术处理引入参考变量引入参考变量P(P(1)、P(P(2)：)2(y)7(y)7(y)3(y)1(P)2(y)8(y)8(y)3(y)2(P三、程序设计的技术处理三、程序设计的技术处理（1 1）当多边形某条边的）当多边形某条边的两个顶点，一个在椭圆内，一个两个顶点，一个在椭圆内，一个在椭圆外，在椭圆外，则该边与椭圆必有且只有一个实交点（则该边与椭圆必有且只有一个实交点（x(4)，y(4)）。程序在计算时，由该条边确定直线会与椭圆发生）。程序在计算时，由该条边确定直线会与椭圆发生两个交点，而实交点应为线段（两个交点，而实交点应为线段（n点，（点，（x(2)，y(2)）n+1点（点（x(3)，y(3)）的内比分点，）的内比分点，P值大于值大于0，另一，另一个为外比分点，个为外比分点，P值小于值小于0，因而：，因而：P(1)P(2)0 若若P(1)0，则：，则：x(4)=x(7)，y(4)=y(7)若若P(1)0 0，则：，则：x(4)=x(8)，y(4)=y(8)若若P(1)0，P(2)0，该边与椭圆无交点，两交，该边与椭圆无交点，两交 点均为线段（点均为线段（n点点n+1+1点）的外比分点。点）的外比分点。三、程序设计的技术处理三、程序设计的技术处理（2 2）多边形某条边的两个顶点均在椭圆外，且）多边形某条边的两个顶点均在椭圆外，且 方程组有两组实数解。方程组有两组实数解。三、程序设计的技术处理三、程序设计的技术处理)7(y)5(y)7(x)5(x)8(y)6(y)8(x)6(x)8(y)5(y)8(x)5(x)7(y)6(y)7(x)6(x当当 P(1)P(2)时时：当当 P(1)P(2)时时：若若P(1)0，P(2)0，表示两交点均为线段（，表示两交点均为线段（n点点 n+1 点）的内比分点，即该边与椭圆有两个交点）的内比分点，即该边与椭圆有两个交 点，为：点，为：三、程序设计的技术处理三、程序设计的技术处理4 4、计算三角形面积、计算三角形面积)2(y)3(x)2(x)3(y21SA 在累加面积时，三角形面积有正有负。由于是按逆时针在累加面积时，三角形面积有正有负。由于是按逆时针方向取向，且三角形有一个顶点必为坐标原点，则可以用两方向取向，且三角形有一个顶点必为坐标原点，则可以用两个矢量叉乘求出三角形面积个矢量叉乘求出三角形面积SA，即：，即：若三角形以若三角形以O点为公共顶点的两边（顺序已定）表示的点为公共顶点的两边（顺序已定）表示的矢量叉乘方向垂直于椭圆面且朝上，亦即坐标轴矢量矢量叉乘方向垂直于椭圆面且朝上，亦即坐标轴矢量X、Y叉乘的方向叉乘的方向Z轴正方向，表达式为正值，表示加三角形面积。轴正方向，表达式为正值，表示加三角形面积。反之，表达式为负值，表示减三角形面积（参看举例中三角反之，表达式为负值，表示减三角形面积（参看举例中三角形面积计算）。形面积计算）。三、程序设计的技术处理三、程序设计的技术处理 椭圆扇形椭圆扇形OFMD是需要计算的面积；若将是需要计算的面积；若将D作为起点、作为起点、F作为终点，求得的是椭圆扇形作为终点，求得的是椭圆扇形ODNF的面积。的面积。5 5、计算椭圆扇形面积、计算椭圆扇形面积NYCBXAFEODM三、程序设计的技术处理三、程序设计的技术处理 起始点为起始点为n点在椭圆内，点在椭圆内，n+1点在椭圆外与椭圆的交点；点在椭圆外与椭圆的交点；或或n 点、点、n+1点均在椭圆外且与椭圆有两交点的第二交点点均在椭圆外且与椭圆有两交点的第二交点 （x(6)，y(6)）。每当遇到这两种情况时，及时）。每当遇到这两种情况时，及时赋初始点赋初始点。终止点为终止点为n点在椭圆外、点在椭圆外、n+1点在椭圆内与椭圆的交点；点在椭圆内与椭圆的交点；或当或当n点、点、n+1点均在椭圆外且与椭圆有两交点的第点均在椭圆外且与椭圆有两交点的第1交点交点 （x(5)，y(5)）。每当遇到这两种情况时及时）。每当遇到这两种情况时及时赋终止点赋终止点。由于本文采取得计算方法是逐点判定，椭圆扇形的起始由于本文采取得计算方法是逐点判定，椭圆扇形的起始 点（点（x(1)，y(1)）、终止点（）、终止点（x(9)，y(9)）在程序开始以及）在程序开始以及 每计算完一个椭圆扇形面积后均每计算完一个椭圆扇形面积后均赋零值赋零值。三、程序设计的技术处理三、程序设计的技术处理计算椭圆扇形面积的公式：计算椭圆扇形面积的公式：三、程序设计的技术处理三、程序设计的技术处理6 6、控制变量、控制变量ks s的选取的选取 若多边形的所有顶点均在椭圆外，且每条边与椭若多边形的所有顶点均在椭圆外，且每条边与椭圆不相交，这表示要么多边形包含椭圆，要么多边形圆不相交，这表示要么多边形包含椭圆，要么多边形与椭圆不相交。为区分这两种情况，设置控制变量与椭圆不相交。为区分这两种情况，设置控制变量ks。若坐标原点与多边形每条边组成的三角形面积均为正，若坐标原点与多边形每条边组成的三角形面积均为正，令令ks0，表示多边形包含椭圆。否则，表示多边形包含椭圆。否则，ks0，表示多，表示多边形与椭圆不相交。边形与椭圆不相交。四、举例说明四、举例说明 在上图中，凸多边形的在上图中，凸多边形的ABCD与椭圆的相交面积为：与椭圆的相交面积为：S=SOEF+SOGC+SOCH+S扇扇OFMG+S扇扇OHIE逆时针取点，采用逐点计算法，对于逆时针取点，采用逐点计算法，对于OEF面积，面积，E点在先，点在先，F点在点在后，矢量与矢量的叉乘方向指向坐标轴矢量，叉乘的正向后，矢量与矢量的叉乘方向指向坐标轴矢量，叉乘的正向Z轴正方轴正方向，取正值。同样，向，取正值。同样，OGC、OCH的面积也为正值。的面积也为正值。本方法规定椭圆扇形面积永远为正。本方法规定椭圆扇形面积永远为正。A YGBFE D HC XOIM四、举例说明四、举例说明（1 1）点点A点点B，即点由椭圆外，即点由椭圆外椭圆外且与椭圆有两交点椭圆外且与椭圆有两交点 E、F。对于。对于E点应为计算椭圆扇形的终止点，因前面无点应为计算椭圆扇形的终止点，因前面无 椭圆扇形的起始点，即椭圆扇形的起始点，即x(1)=0，y(1)=0，将其值赋于，将其值赋于 x(0)，y(0)；对于；对于F点，此时有点，此时有S=SOEF；将；将F点值赋予点值赋予 x(1)，y(1)。1 1、选择、选择A点为计算起点点为计算起点A YGBFE D HC XOIM四、举例说明四、举例说明点点B点点C，即点椭圆外，即点椭圆外椭圆内，有一交点椭圆内，有一交点G。对于。对于 G点应为计算椭圆扇形的终止点，且点应为计算椭圆扇形的终止点，且x(1)，y(1)已赋已赋 值，此时应有值，此时应有S=SOEF+S扇扇OFMG；对于对于C点，此时：点，此时：S=SOEF+S扇扇OFMG+SOGC A YGBFE D HC XOIM四、举例说明四、举例说明点点C点点D，即点椭圆内，即点椭圆内椭圆外，有一交点椭圆外，有一交点H。对于对于H点，此时：点，此时：S=SOEF+S扇扇OFMG+SOGC+SOCH；将将H点值赋于点值赋于x(1)，y(1)。A YGBFE D HC XOIM四、举例说明四、举例说明（4 4）点点D点点A，即点椭圆外，即点椭圆外椭圆外，有一交点椭圆外，有一交点I，看作无交，看作无交 点。由于逆时针走完一周，且起始亦即终点在椭圆外，需点。由于逆时针走完一周，且起始亦即终点在椭圆外，需 累加一个以累加一个以x(0)，y(0)为终止点，即为终止点，即E点，点，x(1)，y(1)为初始为初始 点即点即H点的椭圆扇形点的椭圆扇形OHIE的面积。因而最后有：的面积。因而最后有：S=SOEF+S扇扇OFMG+SOGC+SOCH+S扇扇OHIEA YGBFE D HC XOIM四、举例说明四、举例说明 选择椭圆外的点选择椭圆外的点B或点或点D，作为计算起点，计算过，作为计算起点，计算过程相似，不再多述。程相似，不再多述。A YGBFE D HC XOIM四、举例说明四、举例说明2、选择选择C点为计算起点点为计算起点（1 1）点点C点点D，即点由椭圆内，即点由椭圆内椭圆外，有一交椭圆外，有一交 点点H。S=SOCH，将，将H点值赋于点值赋于x(1)，y(1)。A YGBFE D HC XOIM四、举例说明四、举例说明（2 2）点点D点点A，即点由椭圆外，即点由椭圆外椭圆外，有一交点，椭圆外，有一交点，看作无交点，不作计算。看作无交点，不作计算。A YGBFE D HC XOIM四、举例说明四、举例说明（3 3）点点A点点B，即点由椭圆外，即点由椭圆外椭圆外，有两交点，对椭圆外，有两交点，对 于于E点，作为计算椭圆扇形的终止点，因点，作为计算椭圆扇形的终止点，因x(1)，y(1)已已 赋值，此时应有赋值，此时应有S=SOCH+S扇扇OHIE；对于对于F点，点，S=SOCH+S扇扇OHIE+SOEF；将；将F点值赋于点值赋于 x(1)，y(1)。A YGBFE D HC XOIM四、举例说明四、举例说明（4 4）点点B点点C，即点椭圆外，即点椭圆外椭圆内，有一交点椭圆内，有一交点G，对于，对于G 点，作为椭圆扇形的终止点，因点，作为椭圆扇形的终止点，因x(1)，y(1)已赋值，此时：已赋值，此时：S=SOCH+S扇扇OHIE+SOEF+S扇扇OFMG+SOGC 对于对于C点，既是起点又是终点，且在椭圆内，最后有：点，既是起点又是终点，且在椭圆内，最后有：S=SOCH+S扇扇OHIE+SOEF+S扇扇OFMG+SOGCA YGBFE D HC XOIM1、选择、选择A点为计算起点点为计算起点S=SOEF+S扇扇OFMG+SOGC+SOCH+S扇扇OHIE2、选择选择C点为计算起点点为计算起点S=SOCH+S扇扇OHIE+SOEF+S扇扇OFMG+SOGC计算结果完全相同计算结果完全相同