平面向量的减法及几何意义

向量减法运算及其几何意义以前台胞春节期间来大陆探亲，乘飞机从台北到香港，再从香港到上海，若台北到香港的位移用向量a表示，香港到上海的位移用向量b表示，台北到上海的位移用向量c表示. 想一想，向量a、b、c有何关系？1. 相反向量定义如果两个向量长度 相等，而方向 相反 那么称这两个向量是 相反向量性质对于相反向量有：a+(a)=_0_若a、b互为相反向量，则a= b ，a+b= 0零向量的相反向量仍是零向量2.向量的减法定义a ba+( b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的 相反向量作法在平面内任取一点O,作OAa，OBb，则向量a baBA .如图所示几何意义如果把两个向量a、b的起点放在一起，则a b可以表示为从向量b的_终 点指向向量a的终点的向量知识点拨1.向量减法的三角形法则中，BA表示a-b,强调了差向量的“箭头”指向被 减向量.即作非零向量a，b的差向量a-b，可以简记为“共起点，连终点指向被减2. 由上可知，可以用向量减法的三角形法则作差向量；也可以用向量减法的定义a-b =a+(-b)(即平行四边形法则)作差向量，显然，此法作图较烦琐.3. 如图，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线所对应的向量AC=a+b，DB=ab,这一结论在以后的学习中应用非常广泛. ABC 中，BC=a，CA = b，则AB=( D )B. b_aA. a_bD._a_b解析AB=CB-CA=-BC-CA=-a-b.2. 如图所示，已知ABCDEF是一个正六边形，O是它的中心，其中OA=a, OB=b, OC=c,则EF等于（d ）A. a+bC. c_bB. baD. b_c解析如图EF=CB=OBOC.3. 化简AB+DADBBCCA的结果是 AB .解析将能够首尾相连的或变号后能首尾相连的放在一起运算，即abda-dB-bc 1 = （AB+BD+DA）-（BC+CA） = 0-BA=AB.4. 四边形ABCD是边长为1的正方形，则|AB ADl= 込.解析AB-ADl = lDBl=12+12=2.命题方向1 三角形法则下的向量加减法运算典例 1 化简（ABCD）-（AC-BD）.思路分析一进行向UMIM法前运评加诫崔啊正TT紳解析方法一（统一成加法）（AB-CD）-（Ac-BD）=AB-CD-Ac+BD=AB+Dc+CA+BD=AB+BD+DC+CA=AD+DA=o.方法二(利用OA-OB=BA)(ab-cd)-(ac-BD)=ab-CD-ac+BD=(ab-ac)-cD+bD=cb-cD+bD=D)b+bD=o.方法三（利用AB=OBOA）设o是平面内任意一点，则（ABCD） -（ac-bD）=ab-CD-AC+BD = (OB-OA)-(OD-OC)-(OC-OA) + (OD-OB) = OB-OA-OD+OC-OC+OA+OD-OB=o.规律总结 掌握向量加、减法的定义及向量加法的交换律、结合律等基础知识，可以将杂乱的向量运算有序化处理，进行向量的加减运算时，常用的变形如下:运用AB=BA化减为加;(2)运用AB+BA = 0或AB+BC=AC化繁为简;(3)运用AB=OBOA转化为共起点的两个向量的差.跟踪练习1化简：(1)OA OD+AD；(2)AB+DjA+BD-Bc-CA.解析方法一 OAOD+AD=DA+AD=o.万法二 OA OD+AD = OA+AD OD=ODOD=0.(2)AB+DjA+BDBCCA=AB+DA+BD+CB+AC=(AB+BD) + (AC+CB)+DjA =AD+AB+DjA=AD+DjA+AB=0+AB=AB.命题方向2 。利用已知向量表示其他向量典例2如图，在正六边形ABCDEF中，O为中心，若OA=a, OE=b,用向量a、b表示向量OB、OC和OD.思路分析解析解法一：在口 OAFE中，OF为对角线，且OA, OF, OE起点相同，应用平行四边形法则，得OF=OA + OE=a+b.OC=OF,/. OC= ab.而OB= OE=b, OD=OA=a,3-?/.OB=b， OC=ab， OD=a.解法二：由正六边形的几何性质，得OD=a， OB=b，BC=OA=a.在AOBC 中，Oc=OB+BC=ab.解法三：由正六边形的几何性质，得OB=b， OD=a.在 OBCD 中，OC=OB+OD=ab.规律总结解此类问题要根据图形的几何性质，运用向量的平行四边形法则和三角 形法则解题.要特别注意向量的方向以及运算式中向量之间的关系.跟踪练习2如图所示，解答下列各题：用a、d、e表示DB；用b、c表示DB；用a、b、e表示EC；（4）用c、d表示EC解析（i）DB=DE+EA+AB=d+e+a=a+d+e.(2) DB=CBCD=BCCD=bc.(3)EC=EA+AB+BC=a+b+e.（4）E-7=CE=（CD+DE）=cd.向量加减法的综合运用典例3已知o为四边形abcd所在平面外的一点，且向量OA, OB, OC, OD满足OA+ Oc=OB+OD，则四边形ABCD的形状为平行四边形.思路分析向量a+b, a-b的几何意义在证明、运算中具有重要的应用.对于平行 四边形、菱形、矩形、正方形对角线具有的性质要熟悉并会应用.基本思路是：先对向量条 件化简、转化，再找（作）图形（三角形或平行四边形），确定图形的形状，利用图形的几何性 质求解.解析tOA+OCmOB+OD,.OAod=ob_oc,.da=cb.iDAi=iCBi,且 dacb,.四边形ABCD是平行四边形.跟踪练习3在平行四边形ABCD中，若IAB+AdI = iAb-AdI，则必有（C ）A. AD = 0B. AB=0 或AD=0C.四边形ABCD为矩形D.四边形ABCD为正方形错误使用向量的减法法则典例4如图，已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A, B, C的向量分别为r, r2,r3，求 OD.错解 因为OD=Oc+CD, CD=BA = OB-OA,所以OD=OC+OB_OA=r3+r2_错因分析错误地使用了向量的减法法则.正解因为oD=OC+CD, CD=BA = OA-OB,所以OD=OC+OA-OB=r3+r1-r2.误区警示已知平面向量的起点与终点的多个向量的加减运算，可以灵活运用向量加 法的运算律，遵循“首尾相接”的原则即可.跟踪练习4如图所示，已知O为平行四边形ABCD内一点，OA=a，OB=b，OC=c,求 OD.解析Bc=Oc-AB-AC+BD-CD=(AB+BD) (AC+CD) =AD-AD = 0 ；OA-dD+AD=(oA+AD)-dD=dD-dD=0； NQ+QP+MFNMP=NP+PM+MFN=NMNM=o.a. ef=of+oeb. EF=OFOEc. EF=OF+OEd. EF=OFOE3.四边形 abcd 中，设AB=a, AD=b, Bc=c,则DC=( a )A. ab+cDnB. b (a+c)C. a+b+cD. ba+c解析Dc=DjB+Bc=AB-AD+Bc=a-b+c.4.若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（B ）5.若|AB| = 8, iAci = 5,则iBCi的取值范围是(C )A. 3,8B. (3,8)C. 3,13D. (3,13)解析由于BC=ACAB,则有iAbi-iAckiBckiAbi+iAci,即 3WiBCiwi3.6. o是四边形abcd所在平面上任一点，ABCD,且iOA-OBi=iocODi,则四边 形ABCD 一定为（D ）A.菱形B.任意四边形C.矩形D.平行四边形解析由iOA-OBi=iOCODi知iBAi=iDCi,且ABCD故四边形abcd是平行四边形.二、填空题7. 若非零向量a与b互为相反向量，给出下列结论：ab；ab；lalHIbl；b = -a.其中所有正确命题的序号为.解析非零向量a. b互为相反向量时，模一定相等，因此不正确.8. 若向量a、b方向相反，且IaI = IbI = l,贝则labI= 2 .三、解答题9. 已知IABI = 3, IACI=4,ZBAC=90,求lABACl.解析vaB-ac=Cb,zbac=90,aicbi=5,aiab-aCi=5.10. 如图，已知向量a和向量b,用三角形法则作出ab+a.解析作法：作向量OA=a,向量OB=b,则向量BA=ab. 如图所示；作向量AC=a,则BC=ab+a.一、选择题1. 下列说法错误的是（D ）A.若 Od+Oe=Om，则 OM-OE=ODb. 若 Od+Oe=Om，则 OM+Do=Oec. 若 Od+Oe=Om，则 OD-EO=OMd. 若 Od+Oe=Om，则 Do+eo=OM解析由向量的减法就是向量加法的逆运算可知：A, B, C都正确.由相反向量定量 知，共 Od+Oe=OM，则 Do+Eo=ODOE=（Od+OE）=OM,故 d 错误.2. 在平面上有A、B、C,三点，设m=AB+BC, n=AB-BC,若m与n的长度恰好 相等，则有（C ）A. A, B, C三点必在一条直线上B. AABC必为等腰三角形且ZB为顶角C. ABC必为直角三角形且ZB为直角D. AABC必为等腰直角三角形解析以BA, BC为邻边作平行四边形，则m=AB+BC=AC, n=AB-BC=AB-AD=DB由m, n的长度相等可知，两对角线相等，因此平行四边形一定是矩形，故选C.3. 如图，p、q 是abc的边bc上的两点，且BP=QC,则化简AB+ACAPAQ的 结果为（A ）A. 0c. PQ解析AB+Ac-Ap-AQ=（AB-AP）+（Ac-AQ）=PB+Qc=0.4.已知OA=a, OB=b, IOAI = 5, IOBI = 12,ZAOB=90,贝Vlabl = （ C ）A. 7B. 17C. 13D. 8解析如图，:a-b = OA-OB=BA,la-bI = IBAI=；52+122=13.故选C.二、填空题5. 已知如图，在正六边形ABCDEF中，与OA OC+CD相等的向量有 . CF；AD； DA； BE； ce+bc；cAcD；Ab+AE.解析(Oa-()c+cd=cA+cd=cf；ce+bc=bc+ce=bemcf；ca-cd=dacf；ab+ae=adcCf.6.已知lal=7, lbl=2，且 allb 则abl= _5 或 9_. 解析当a与b方向相同时，labl = al lbl=72=5； 当 a 与 b 方向相反时,labl = lal+lbl=7+2=9.三、解答题7.已知点B是ACDE内一点，且AB=a, AC=b, AE=c，试用a、b、c表示向量CD、BC、BE、cE及bd.解析.四边形ACDE为平行四边形.CD=AE=c；BC=ACAB=ba；BE=AEAB=ca；CE=AE-AC=c-b；c c cBD=BC+CD=ba+c.8.如图，已知OA=a, OB=b, OC=c, OD=d, OF=f,试用 a, b, c, d, f 表示以下向量：(1) AC；(2) AD；(3) AD-AB；(4)AB+CF；(5)BF-BD.解析(1)AC=OC-OA=ca； (2)AD=AO+OD=-OA + OD=-a+J；(3) ADAB=BD=db；(4) AB+CF=OBOA + CO+OFbac+f；- - - - - -(5) BFBD=OFOB(ODOB) =f_b db.C 级 能力拔高设点M是线段BC的中点，点A在直线BC夕卜，lBCl2=16, lAB+Ab = ABACl,则AM 1=( C )A8B4C2D1解析由iAb+Aci=iAbAb可知，AB与AC垂直，故abc为直角三角形，lAMi即斜 边bc的中线，所以lAMl=2.