导数应用的题型与解题方法

导数应用的题型与解题方法、专题概述导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。在高中阶段对于导数的 学习，主要是以下几个方面:1导数的常规问题：（1）刻画函数（比初等方法精确细微）；（2）同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲 线的切线）；（3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于n次多 项式的导数问题属于较难类型。2关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简 便。3导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个 方向，应引起注意。二、知识整合1导数概念的理解 2利用导数判别可导函数的极值的方法及求一些实际问题的最大值与最小值复合函数的求导法则是微积分中的重点与难点内容。课本中先通过实例，引出复合函数的求 导法则，接下来对法则进行了证明。3要能正确求导，必须做到以下两点：（1）熟练掌握各基本初等函数的求导公式以及和、差、积、商的求导法则，复合函数的求导法则。（2）对于一个复合函数，一定要理清中间的复合关系，弄清各分解函数中应对哪个变量求导。4求复合函数的导数，一般按以下三个步骤进行： （1）适当选定中间变量，正确分解复合关系；（2）分步求导（弄清每一步求导是哪个变量对哪 个变量求导）；（3）把中间变量代回原自变量（一般是x）的函数。也就是说，首先，选定中间变量，分解复合关系，说明函数关系y=f（y）,y=f（x）；然后将已知函数对中间变量求导（y），中间变量对自变量求导（r ）；最后求y屮，并将中间变量代x卩 x回为自变量的函数。整个过程可简记为分解求导回代。熟练以后，可以省略中间过程。 若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量。三、例题分析I x 2例 1. y = f (x) = i 7I ax + b在X二1处可导，则a二b二x1I x 2 思路：y = f (x)=彳 ax + b在x二1处可导，必连续lim f (x) = 1X Tllim f (x)二 a + bf (1) = 1a + b 二 1xt1+lim = 2 lim = a . a = 2 b = 1心T0_ AXAxT0+ x例2.已知f(x)在 x=a处可导，且f (a)=b，求下列极限：2h(1)lim f (a + 3h) 一 f (a 一 h)AhT0 lim f (a + h2)-f (a)AhTO分析：在导数定义中，增量Ax的形式是多种多样，但不论Ax选择哪种形式，也必须选 择相对应的形式。利用函数f(x)在x二a处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形转化为导 数定义的结构形式。解：( lim f (a + 3h) f (a h)二 lim f (a + 3h) f (a) + f (a) f (a h)hT02hh T02h2hlim f (a + 3h) - f (a) + lim f (a)- f (a - h)hT02hhT02h3f(a+3h)- f(a) 1 f(a-h)- f(a)lim+ lim72 hT03h2 hT031=f (a) + f (a) = 2b limf (a + h2)- f (a)二limhT0hhT0f (a + h2) - f (a) hh2=lim f (a + h2) - f (a) -limh = f (a) -0 = 0 hTOh 2hTOh2说明：只有深刻理解概念的本质，才能灵活应用概念解题。解决这类问题的关键是等价变形 使极限式转化为导数定义的结构形式。例3.观察(xn) = nxn-1, (sinx)= cosx , (cosx) = -sinx，是否可判断，可导的奇函数的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数。解：若f (x)为偶函数f (-x) = f (x)f(-x) = lim f (x + Ax) - f (x)AxT0+ Ax=lim - f (x -Ax) 一 f (x) =-f(x)Ax T0- A可导的偶函数的导函数是奇函数另证：f = f (-x) = f(+x) - (-x) = -f(x) 可导的偶函数的导函数是奇函数2x例4. (1)求曲线y = 在点(1, 1)处的切线方程;x2 +1(2)运动曲线方程为S =+ 2t2，求t=3时的速度。t2令 lim f (x + Ax) - f (x) = f 0)x(4) y = 2 x 2 In a2解：(1) y = 3x 2 x 一 2 = (3x + 2)(x 1) x e (s , ) U (1, + )时 y 0 2 2 2x e (- 3，1 y 0 x e (k , 0) U (0 , k) y 0(8 , 一 k), (k , + 8) T (k , 0), (0, kx e (0,2) y 0 222yI = 0，即曲线在点(1, 1)处的切线斜率k=ox=142x因此曲线y =在(1,1 )处的切线方程为y=1x 2 + 1(2) S=(匸T|+ (2t2)=I t2丿t4f2 2t (t D + 4t =丄 + A + 4tt 2 t3(1)x 2x 一 -2 ln(1 + x) x e (0,2)兀(3)x sinx tan x xx 0 y = f (x)为(0 , + 8)上T x e (0, +8)f (x) 0 恒成立ln(1 + x) x 2x 22(1 + x)一 ln(1 + x)g (0) = 0g(x) = 1 2 x 24(1 + x 2)g (x)在(0, +8)上T(0 , + 8) x 一2(1 + x)一 ln(1 + x) 0 恒成立(2)一， sin x 2原式 x 兀 cos x(x tan x)f (x) = sin x / x x e (0 ,x e (0,-2)广(x) 0 x tan x 令 f (x) = tan x 2 x + sin x f (0) = 0f(x) = sec2 x 2 + cos x =(1 cos x)(cos x + sin 2 x)COS2 xx e (0, *)广(x) 0(0,冷)Ttan x x x sin x例7.利用导数求和：(1)(2) $ = + 2氏+和；卄+; 0，求函数f (x) =、:x -ln(x + a)(x e (0,+w)的单调区间.分析：本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力. 解：f( x)二丄-(x 0).2、； x x + a当 a 0, x 0 时f(x) 0 o x2 + (2a 一 4)x + a 2 0.f(x) 0 o x2 + (2a - 4)x + a 2 1 时，对所有x 0，有x2 + (2a 一 4) + a2 0.即f(x) 0，此时f (x)在(0,+s)内单调递增.(ii)当 a = 1 时，对 x 丰 1，有 x2 + (2a 4)x + a2 0，即f (x) 0，此时f (x)在(0,1)内单调递增，又知函数f (x)在x=1处连续，因此,函数f (x)在(0, + g )内单调递增(iii)当0 V a 0，即 x2 + (2a - 4)x + a2 0.解得 x 2 a + 2： 1 a .因此，函数f (x)在区间(0,2 a 21：1门内单调递增，在区间(2 a + 2、汀-a，+g) 内也单调递增.令 f (x) 0,即x2 + (2a 4)x + a2 0，解得 2 a 2、：1 a x 0， f (x) =+ 是R上的偶函数。a e x求a的值；(II)证明f (x)在(0,+g)上是增函数。e xa 1解： 依题意，对一切x e R有f (x) = f (x)，即 +=+ aex，a e x ae x(a 丄山丄)=0对一切x e R成立，ae x由此得到 a -= 0, a2 = 1, 又:a 0，.: a = 1。a(II)证明：由 f (x)二 ex + e-x，得 f(x)二 ex 一 e-x 二 e-x (e2x 一 1),当 x e (0,+s)时，有 e- x (e2x -1) 0，此时 f(x) O.f(x)在(0,+s)上是增函数。四、高考导数应用题型集锦1函数 y=xcosx-sinx 在下面哪个区间内是增函数()A (巴込)B ( n ,2 n )C (延宴)D (2 n ,3 n )2 2 2 22已知函数 f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,(i)求函数 f(x)的最大值；(ii)设 Ovavb，证明 0vg(a)+g(b)-2g(a+b )v(b-a)ln2.2兀3. 函数y = 2sm( 2x)(x e 0,兀)为增函数的区间是6兀兀7兀兀5兀5兀(A)0w(B),(C) ,(D),兀312123664. 已知函数f (x)二ax3 + bx2 - 3x在x二1处取得极值。讨论f (1)和f (-1)是函数f (x)的极大值还是极小值；(II)过点A(0,16)作曲线y = f (x)的切线，求此切线方程。5函数f(x) = x3-3x +1在闭区间-3, 0上的最大值、最小值分别是()(A)1， -1(B)1， -17(C)3， -17(D)9， -19(A)(B)(C)(D)7设曲线y=e-x(x0)在点M(t,e-t处的切线l与x轴、y轴围成的三角形面积为S(t). (1)求切线l的方程；(2)求 S(t)的最大值。