直线的点斜式与斜截式方程

3.2.1 3.2.1 直线的点斜式方程直线的点斜式方程梁国栋梁国栋如果直线如果直线L L1 1,L,L2 2的斜率为的斜率为k k1 1,k,k2 2.那么那么 L L1 1LL2 2 k k1 1=k=k2 2如果两直线的斜率为如果两直线的斜率为k k1 1,k k2 2,那么那么,这两条直线垂直这两条直线垂直 的充要条件是的充要条件是 k1k2=-10,1 212121为一斜率不存在另一斜率或llkkll 在平面直角坐标系内，如果给定一条直线在平面直角坐标系内，如果给定一条直线 经经过的一个点过的一个点 和斜率和斜率 ，能否将直线上所有，能否将直线上所有的点的坐标的点的坐标 满足的关系表示出来呢？满足的关系表示出来呢？000,yxPlkyx,xyOlP0，00 xxyyk00 xxkyy 直线经过点直线经过点 ，且斜率为，且斜率为 ，设点，设点 是直线上不同于点是直线上不同于点 的任意一点，因为直线的任意一点，因为直线 的斜率的斜率为为 ，由斜率公式得：，由斜率公式得：000,yxPkyxP,0Plk即：即：xyOlP0P 上述关于上述关于x,y的关系式就是一个二元一次方程，这是直线与这个方程有着如下关系：直线与这个方程有着如下关系：kl（1）过点）过点 ，斜率是，斜率是 的直线的直线 上的点，其上的点，其坐标都满足方程坐标都满足方程 吗？吗？00 xxkyy000,yxPkl （2）（以方程的每一组解为坐标）即坐标）（以方程的每一组解为坐标）即坐标 满足方程满足方程 的点的点 都在过点都在过点 ，斜率为斜率为 的直线的直线 上吗？上吗？00 xxkyyyxP,kl 经过探究，上述两条都成立，所以这个方程就是经过探究，上述两条都成立，所以这个方程就是过点过点 ，斜率为，斜率为 的直线的直线 的方程的方程k000,yxPl000,yxP 如果以一个方程的解为坐标的点都上某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，那么，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线就叫做这个方程的直线.直线方程的概念的说明直线方程的概念的说明的解方程bkxy一一对应上的点直线l00 xxkyy 方程方程 由直线上一点及由直线上一点及其斜率确定，把这个方程叫做直线的其斜率确定，把这个方程叫做直线的点斜式方点斜式方程程，简称，简称点斜式点斜式（point slope form）xyOlP0kl的斜率为直线（1）轴所在直线的方程是什么？轴所在直线的方程是什么？x00 yy0yy，或，或当直线当直线 的倾斜角为的倾斜角为 时，即时，即 这时这时直线直线 与与 轴平行或重合，轴平行或重合，ll000tanxxyOl0Pl的方程就是的方程就是 故故 轴所在直线的方程是轴所在直线的方程是:x0y（2）轴所在直线的方程是什么？轴所在直线的方程是什么？y00 xx0 xx，或，或当直线当直线 的倾斜角为的倾斜角为 时，直线没有斜率，这时，直线没有斜率，这时直线时直线 与与 轴平行或重合，它的方程不能用点斜式轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示这时，直线表示这时，直线 上每一点的横坐标都等于上每一点的横坐标都等于 ，所，所以它的方程就是以它的方程就是ll90ly0 xxyOl0P0 x 故故 轴所在直线的方程是：轴所在直线的方程是：y(1)、当直线、当直线l的倾斜角是的倾斜角是00时，时，tan00=0,即即k=0，这时直线，这时直线l与与x轴平行或重合轴平行或重合l的方程：的方程：y-y1=0 或或 y=y1(2)、当直线、当直线l的倾斜角是的倾斜角是900时，时，直线直线l没有斜率，这时直线没有斜率，这时直线l与与y轴平行或重合轴平行或重合l的方程：的方程：x-x1=0 或或 x=x1Oxyx1lOxyy1l例例1：一条直线经过点：一条直线经过点P1（-2，3），倾斜角），倾斜角=450，求这条直线的方程，并画出图形。，求这条直线的方程，并画出图形。解：这条直线经过点解：这条直线经过点P1（-2，3）,斜率是斜率是 k=tan450=1代入点斜式得代入点斜式得y3 =x +2Oxy-55P1练习练习1 1、写出下列直线的点斜式方程：、写出下列直线的点斜式方程：练习练习2),1,3()1(斜率是经过A030),2,2()2(倾斜角是经过B2 2、说出下列点斜式方程所对应的直线斜、说出下列点斜式方程所对应的直线斜率和倾斜角：率和倾斜角：(1)y-2=x-1(1)y-2=x-1332)2(xy00),5,0()3(倾斜角是经过C 如果直线如果直线 的斜率为的斜率为 ，且与，且与 轴的交点为轴的交点为 ，代入直线的点斜式方程，得：代入直线的点斜式方程，得：lyk0 xkbyb,0 也就是：也就是：bkxyxyOl0Pb 我们把直线与我们把直线与 轴交点的纵坐标轴交点的纵坐标b叫做直线在轴上的叫做直线在轴上的截距截距（intercept）y 该方程由直线的斜率与它在该方程由直线的斜率与它在 轴上的截距确定，轴上的截距确定，所以该方程叫做直线的所以该方程叫做直线的斜截式方程斜截式方程，简称，简称斜截式斜截式（slope intercept form）y 观察方程观察方程 ，它的形式具有什么特点？，它的形式具有什么特点？bkxy我们发现，左端我们发现，左端 的系数恒为的系数恒为1，右端，右端 的系数的系数 和常数项和常数项 均有明显的几何意义：均有明显的几何意义：byxkkb 是直线的斜率，是直线的斜率，是直线在是直线在 轴上的截距轴上的截距y 方程方程 与我们学过的一次函数的表达式与我们学过的一次函数的表达式类似我们知道，一次函数的图象是一条直线你如类似我们知道，一次函数的图象是一条直线你如何从直线方程的角度认识一次函数何从直线方程的角度认识一次函数？一次？一次函数中函数中 和和 的几何意义是什么？的几何意义是什么？bkxybkxykb例例2 2：斜率是斜率是5 5，在，在y y轴上的截距是轴上的截距是4 4的直线方程的直线方程。解：由已知得解：由已知得k=5k=5，b=4b=4，代入斜截式方程，代入斜截式方程y=5x+4y=5x+4:的截距关于直线l;:)()1(轴交点的纵坐标与纵截距轴上的截距在yly.:)()2(轴交点的横坐标与横截距轴上的截距在xlx)0,(可为可负可正不是距离:性思考斜截式方程的局限)(不存在的直线无法表示斜率?)1(轴的直线能否表示垂直与y?)2(轴的直线能否表示垂直与x:.3填空例_;_,_,_,12)1(横截距纵截距倾斜角那么此直线的斜率已知直线方程是xy练习练习_;_,_,_,),1(32)2(横截距纵截距倾斜角率那么此直线的斜已知直线方程是xy.12)3,2(.2的直线方程形面积为围成三角且与两坐标轴的正半轴求过点练P练习练习练习练习3 3、写出下列直线的斜截式方程：、写出下列直线的斜截式方程：2,23)1(轴上的截距是在斜率是y4,2)2(轴上的截距是在斜率是y练习练习4、已知直线、已知直线l过过A（3，-5）和）和B（-2，5），），求直线求直线l的方程的方程解：解：直线直线l过点过点A（3，-5）和）和B（-2，5）23255lk将将A（3，-5），），k=-2代入点斜式，得代入点斜式，得y(5)=2 (x3)即即 2x +y 1 =0 例例4 已知直线已知直线 ，试讨论试讨论：（：（1）的条件是什么？（的条件是什么？（2）的条件的条件是什么？是什么？21/ll222111:bxkylbxkyl，21ll 解：（解：（1）若）若 ，则，则 ，此时，此时 与与 轴的交点不同，即轴的交点不同，即 ；反之，；反之，且，且 时，时，21/ll21kk 21ll，y21bb 21kk 21bb 21/ll （2）若）若 ，则，则 ；反之，；反之，时，时，21ll 121kk121kk21ll 解：解：于是我们得到，对于直线：于是我们得到，对于直线：222111:bxkylbxkyl，.121kk21/ll21ll 21kk 21bb,且且 ；21/ll222111:bxkylbxkyl，21ll 例例4.已知直线已知直线 ，试讨论试讨论：（：（1）的条件是什么？（的条件是什么？（2）的条件的条件是什么？是什么？（1）直线的点斜式方程：）直线的点斜式方程：（2）直线的斜截式方程）直线的斜截式方程:00 xxkyybkxyxyOlP0kl的斜率为直线xyOl0Pbkl的斜率为直线课堂作业课堂作业:P P100100习题习题3.2 A3.2 A组：组：T1T1，T10T10.