3弧,弦,圆心角

连接圆上任意两点的连接圆上任意两点的线段线段叫做叫做弦弦，经过圆心的经过圆心的弦弦叫做叫做直径直径圆上任意两点间的圆上任意两点间的部分部分叫做叫做圆弧圆弧弧弧(半圆半圆)劣弧与优弧劣弧与优弧等圆等圆(同心圆同心圆)与等弧与等弧弦弦(直径直径)圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做每一条弧都叫做半圆半圆圆圆圆心为圆心为O O，半径为，半径为r r 的圆可以看成是的圆可以看成是:所有到定点的距离等于定长所有到定点的距离等于定长r r 的的点点的集合。的集合。能够重合的两个圆叫做能够重合的两个圆叫做等圆等圆圆心相同的圆叫做同心圆圆心相同的圆叫做同心圆在同圆或等圆中在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做能够互相重合的弧叫做等弧等弧 根据垂径定理与推论可知：对于一个圆和一条直根据垂径定理与推论可知：对于一个圆和一条直线来说，如果具备：线来说，如果具备：那么，由五个条件中的任何两个条件都可以推出其他那么，由五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论。三个结论。注意要点注意要点 经过圆心经过圆心 垂直于弦垂直于弦 平分弦平分弦 平分弦所对的优弧平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧圆是中心对称图形吗圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里它的对称中心在哪里?一、思考一、思考圆是中心对称图形，圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心它的对称中心是圆心.NO把圆把圆O O的半径的半径ONON绕圆心绕圆心O O旋转任意一个角度旋转任意一个角度，NON把圆把圆O O的半径的半径ONON绕圆心绕圆心O O旋转任意一个角度旋转任意一个角度，NON把圆把圆O O的半径的半径ONON绕圆心绕圆心O O旋转任意一个角度旋转任意一个角度，NON把圆把圆O O的半径的半径ONON绕圆心绕圆心O O旋转任意一个角度旋转任意一个角度，NON定理定理：把圆绕圆心旋转任意一个角度后，仍与原来的圆重合把圆绕圆心旋转任意一个角度后，仍与原来的圆重合。把圆把圆O O的半径的半径ONON绕圆心绕圆心O O旋转任意一个角度旋转任意一个角度，由此可以看出，由此可以看出，点点NN仍落在圆上。仍落在圆上。圆心角圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角圆心角.OBA二、概念二、概念如图中所示，如图中所示，AOB就是一个圆心角。就是一个圆心角。如图，将圆心角如图，将圆心角AOBAOB绕圆心绕圆心O O旋转到旋转到AOBAOB的位置，你能的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？发现哪些等量关系？为什么？根据旋转的性质，将圆心角根据旋转的性质，将圆心角AOB绕圆心绕圆心O旋转到旋转到AOB的位置时，显然的位置时，显然AOBAOB，射线，射线OA与与OA重合，重合，OB与与OB重合而同圆的半径相等，重合而同圆的半径相等，OA=OA，OB=OB，从而点，从而点A与与A重合，重合，B与与B重合重合OABOABABAB三、探究三、探究.ABA B因此，弧因此，弧AB与弧与弧A1B1 重合，重合，AB与与AB重合重合ABA1B1=同样，还可以得到：同样，还可以得到：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角圆心角_，所对的弦所对的弦_；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角圆心角_，所对的弧，所对的弧_这样，我们就得到下面的定理：这样，我们就得到下面的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等所对的弦也相等相等相等相等相等相等相等相等相等同圆或等圆中，同圆或等圆中，两个圆心角、两两个圆心角、两条弧、两条弦中条弧、两条弦中有一组量相等，有一组量相等，它们所对应的其它们所对应的其余各组量也相余各组量也相等等四、定理四、定理证明：证明：AB=AC AB=ACAB=AC,ABC ABC 等腰三角形等腰三角形又又ACB=60，ABC是等边三角形，是等边三角形，AB=BC=CA.AOBBOCAOC.ABCO五、例题五、例题例例1 如图在如图在 O中，中，AB=AC ，ACB=60，求证求证:AOB=BOC=AOC.1.如图，如图，AB、CD是是 O的两条弦的两条弦（1）如果）如果AB=CD，那么，那么_，_（2）如果）如果 =，那么，那么_，_（3）如果）如果AOB=COD，那么，那么_，_（4）如果）如果AB=CD，OEAB于于E，OFCD于于F，OE与与OF相等吗？为什么？相等吗？为什么？CABDEFOAOBCOD AB=CDAOBCODAB=CD相相 等等 因为因为ABAB=CDCD ，所以，所以AOB=AOB=COD.COD.又因为又因为AO=COAO=CO，BO=DOBO=DO，所以所以AOB AOB COD.COD.又因为又因为OEOE 、OFOF是是ABAB与与CDCD对应边上的高，对应边上的高，所以所以 OEOE =OF.OF.六、练习六、练习CDABABCD=ABCD=2.如图，如图，AB是是 O的直径，的直径，,COD=35，求求AOE的度数的度数AOBCDE BOC=COD=DOE=35 1803 35AOE 75解：解：BCCD=DEBCCD=DE1弧弧n1n弧弧把圆心角等分成把圆心角等分成360份份,则每一份的圆心则每一份的圆心角是角是1.同时整个圆也被分成了同时整个圆也被分成了360360份份.则每一份这样的弧叫做则每一份这样的弧叫做1的弧的弧.这样这样,1,1的圆心角对着的圆心角对着1 1的弧的弧,1 1的弧对着的弧对着1 1的圆心角的圆心角.n n 的圆心角对着的圆心角对着n n的弧的弧,n n 的弧对着的弧对着n n的圆心角的圆心角.性质性质:弧的度数和它所对圆心角的度数相等弧的度数和它所对圆心角的度数相等.小结（2）所对的圆心角和所对的圆心角和 所对的圆所对的圆 心角相等心角相等ABCD在两个圆中，分别有在两个圆中，分别有 ,若若 的度的度数和数和 相等，则有相等，则有AB和CDABCDABCD（1）和和 相等相等判断判断1.在半径相等的在半径相等的 O和和 O 中中,AB和和A B 所对的圆心所对的圆心 角都是角都是60.(1)AB和和A B各是多少度各是多少度?(2)AB和和A B 相等吗相等吗?(3)在同圆或等圆中在同圆或等圆中,度数相度的弧相等度数相度的弧相等.为什么为什么?2.若把圆若把圆5等分等分,那么每一份弧是多少度那么每一份弧是多少度?若把圆若把圆8等分等分,那么那么 每一份弧是多少度每一份弧是多少度?3.圆心到弦的距离叫做这条弦的圆心到弦的距离叫做这条弦的弦心距弦心距.求证求证:在同圆或在同圆或等圆中等圆中,相等的圆心角所对的弦的弦心距相等相等的圆心角所对的弦的弦心距相等.结束试一试试一试例例2 2：如图，在：如图，在OO中，弦中，弦ABAB所对的劣弧为圆的所对的劣弧为圆的 ，圆的半径为，圆的半径为4cm4cm，求，求ABAB的长的长OABC31OABCD如图，如图，AC与与BD为为 O的两条互的两条互 相垂直的直径相垂直的直径.求证：求证：AB=BC=CD=DA;AB=BC=CD=DA.AB=BC=CD=DA 证明证明:AC与与BD为为 O的两条互相垂直的直径的两条互相垂直的直径,AOB=BOC=COD=DOA=90AB=BC=CD=DA(圆心角定理圆心角定理)点此继续知识延伸知识延伸弧的度数弧的度数圆心角定理的应用圆心角定理的应用圆心角定理圆心角定理圆心角的定义圆心角的定义学生练习学生练习圆的旋转不变性圆的旋转不变性