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2021/7/231直线与圆锥曲线直线与圆锥曲线一、直线与圆锥曲线的位置关系一、直线与圆锥曲线的位置关系二、弦长问题二、弦长问题三、中点弦问题三、中点弦问题四、与向量的简单综合问题四、与向量的简单综合问题2021/7/232二、弦长问题二、弦长问题2021/7/233一、知识点一、知识点 弦长公式弦长公式设的直线设的直线y=kx+b上有两点上有两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，则，则|AB2121|kxx 2212121)4kxxx x （222121)()xxyy （222121)()()（xxkxbkxb 222121)()（xxkxkx 2221(1)（kxx 2221(1)（kxx 2021/7/234一、知识点一、知识点 弦长公式弦长公式设的直线设的直线y=kx+b上有两点上有两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，则，则|AB12211|yyk 21212211)4（yyy yk 222121)()xxyy （222121()()ybybyykk 22212121()()yyyyk 2021/7/235例例1 1 斜率为斜率为1 1的直线经过抛物线的直线经过抛物线 y y2 2=4x=4x的焦点，的焦点，与抛物线交于两点与抛物线交于两点 A A、B B，求线段，求线段|AB|AB|的长。的长。解：解：知：由xy42，42p2p 即此抛物线的焦点坐标是.)01(，F11221.A(,),(,)AByxx yB xy直线的方程为：设241yxyx由121261xxx x由韦达定理由弦长公式得221212|1()41 1 364ABkxxx x.8ABOxyF.0162 xx得到2021/7/236x,ABAB如图，过点、分别作抛物线准线 1的垂线，设垂足为、则例例1 1 斜率为斜率为1 1的直线经过抛物线的直线经过抛物线 y y2 2=4x=4x的焦点，的焦点，与抛物线交于两点与抛物线交于两点 A A、B B，求线段，求线段|AB|AB|的长。的长。另解：另解：|ABAFBF)1()1(21xx|BBAA 221xx26.8知：由xy42，42p2p 即 此抛物线的焦点坐标是F(1,0)241yxyx由.0162 xx得到注意：抛物线特有的方法，注意：抛物线特有的方法，过焦点过焦点的弦长才可以这样求！的弦长才可以这样求！126xx由韦达定理ABABOxyF11221.A(,),(,)AByxx yB xy直线的方程为：设2021/7/237 ,求抛物线的方程求抛物线的方程.解：依题意可设抛物线方程为：变式变式：已知顶点在原点：已知顶点在原点,焦点在焦点在x x轴上的抛物线轴上的抛物线被直线被直线y=2x+1y=2x+1截得的弦长为截得的弦长为 152(0)yax a221yaxyx由，得01)4(42xax124444aaxx，4121xx22212124(1)()45()1154aABkxxx xxy122xy42被直线被直线y=2x+1y=2x+1截得的弦为截得的弦为ABAB，设，设A(xA(x1 1,y,y1 1)、B(xB(x2 2,y,y2 2),),则,由韦达定理：，解得：a=12或-4 或所以抛物线方程为：24()44a化简得：分析：弦长公式的逆解问题分析：弦长公式的逆解问题2021/7/238“例例1(20111(2011年天津）年天津）”2021/7/2392021/7/23102021/7/23112021/7/23122021/7/23132021/7/23142021/7/23152021/7/2316练习练习 在抛物线在抛物线y y2 2=64x=64x上求一点，使它到直线上求一点，使它到直线l：4x+3y+46=04x+3y+46=0的距离最短，并求此距离。的距离最短，并求此距离。.FxOy00(.)P x y解：设抛物线上一点02064xy则|9164634|00yxd004346|5xy代入得：将64200yx 20034616|5yyd2200004816 46(24)160|,()8080yyyyR0min24,2,yd 当时)24,9(P此时所以，点P到直线的距离为:2021/7/2317练习练习 在抛物线在抛物线y y2 2=64x=64x上求一点，使它到直线上求一点，使它到直线l：4x+3y+46=04x+3y+46=0的距离最短，并求此距离。的距离最短，并求此距离。.FxOy另解：与抛物线相切设直线034myx22643016430yxyymxym由，得21340:3616mm 由得22|4636|102P543d，并解得（9，24）。所以，抛物线上的点P到直线的最短距离为:2021/7/231822194xy2100 xyxyo2100 xy法法1 1：数形结合法：数形结合法法法2 2：参数法：参数法2021/7/231922194xy2100 xyxyo2100 xy法法1 1：数形结合法：数形结合法2021/7/2320解法解法1解解:设与已知直线平行且与椭圆相切的直线方程为设与已知直线平行且与椭圆相切的直线方程为 20 xym2219420 xyxym由由得得2225164360ymym22(16)4 25(436)0mm 得得225m 令令结合图形可知结合图形可知5m 求得切点的纵坐标是求得切点的纵坐标是852225164360ymym方程方程化为化为2255 16640yy 代入直线方程代入直线方程250 xy求得切点的横坐标是求得切点的横坐标是95xyo2100 xy2021/7/232122194xy2100 xyxyo2100 xy法法2 2：参数法：参数法d2021/7/2322随堂随堂P31 变式变式4 P38变式变式5
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