函数的连续性与连续函数的运算

返回第一章第一章 极限与连续极限与连续微积分微积分第八节第八节 函数的连续性与连续函数的运算函数的连续性与连续函数的运算一、函数的连续性一、函数的连续性1 1、函数在一点的连续性、函数在一点的连续性.)()(,的的曲曲线线一一笔笔画画成成是是连连续续不不间间断断如如图图xf)(xfy xyO0 x)(0 xf返回第一章第一章 极限与连续极限与连续微积分微积分定义定义1 1：.)(,)(),()(lim0000的的连连续续点点为为或或称称处处连连续续在在点点则则称称若若xfxxxfxfxfxx.)()(,0,0 )()(lim)(00000 xfxfxxxfxfxxfxx有有时时当当连连续续在在返回第一章第一章 极限与连续极限与连续微积分微积分注意：注意：连续的条件连续的条件(判断连续的步骤判断连续的步骤)：则则连续连续在在,)(0 xxf);)()()1(00存存在在有有定定义义在在xfxxf;)(lim)2(0存存在在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx 通常按（通常按（1 1）、（）、（2 2）、（）、（3 3）的次序讨论连续性。）的次序讨论连续性。0sin)(xxxxf在在如如不连续。不连续。返回第一章第一章 极限与连续极限与连续微积分微积分，即：记做的增量，为变量称变到从变量uuuuuuu1221,-.12uuu不可分割的记号的乘积，而是一个与不是）（可正可负；）（uuu21注注：返回第一章第一章 极限与连续极限与连续微积分微积分).()()()()().(,00000或增量或增量的改变量的改变量叫做叫做或增量或增量的改变量的改变量叫做叫做即即令令yyxfxxfxfxfxxxxxxx 0lim 0)()(lim 0)()(lim)()(lim00000000 yxfxxfxfxfxfxfxxxxxxx结论：结论：.0lim)(00 yxxfx处连续处连续在在返回第一章第一章 极限与连续极限与连续微积分微积分.,)(,)(,)(:0可可近近似似看看作作不不变变也也很很小小的的变变化化函函数数时时很很小小的的变变化化则则当当处处连连续续在在若若即即yyxxxxf 结论：结论：.0lim)(00 yxxfx处连续处连续在在返回第一章第一章 极限与连续极限与连续微积分微积分.00,00,1sin)(.1处连续在证明例xxxxxxf .)()(lim),()(.000连续在存在，证明：如果上的单调递增函数，是定义于例xxfxfbaxxfxx ba,2返回第一章第一章 极限与连续极限与连续微积分微积分2 2、单侧连续、单侧连续定义定义2 2：.)()()()2(;)()()()1(000000处处右右连连续续在在则则称称若若处处左左连连续续在在则则称称若若xxf，xfxfxxf，xfxf 结论：结论：)()()()()(00000 xfxfxfxxfxxf 既既左左连连续续又又右右连连续续在在连连续续在在返回第一章第一章 极限与连续极限与连续微积分微积分.,00,20,1)(.32bxxbxxxxf求处连续在已知例 返回第一章第一章 极限与连续极限与连续微积分微积分3 3、函数在区间上的连续、函数在区间上的连续定义定义3 3：.)()(,)(上上的的连连续续函函数数是是上上连连续续或或称称在在则则称称上上每每一一点点都都连连续续在在某某个个区区间间若若IxfIxfIxf注意：注意：区间端点的连续是指单侧连续。区间端点的连续是指单侧连续。返回第一章第一章 极限与连续极限与连续微积分微积分例例4 4、.),(sin)(:上上连连续续在在证证 xxf基本初等函数在其定义域内是连续函数。基本初等函数在其定义域内是连续函数。例例4 4、.),(sin)(:上上连连续续在在证证 xxf例例4 4、.),(sin)(:上上连连续续在在证证 xxf返回第一章第一章 极限与连续极限与连续微积分微积分二、函数的间断点二、函数的间断点1 1、间断点的概念、间断点的概念:,)(0即即不不满满足足下下列列条条件件之之一一处处不不连连续续在在若若xxf;)()1(0有有定定义义在在xxf;)(lim)2(0存存在在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx.)()(00的的间间断断点点是是间间断断或或在在则则称称xfxxxf返回第一章第一章 极限与连续极限与连续微积分微积分2 2、常见间断点、常见间断点.)(0.00 10 sin)(,1)0(:,1)(lim,0sin)()1(0的的可可去去间间断断点点为为称称连连续续在在则则令令补补充充定定义义但但处处无无定定义义在在xfxxx xxxxffxfxxxxfx 返回第一章第一章 极限与连续极限与连续微积分微积分.)(1.1)(,2)1(:.1)().1(2)1(lim)(lim,1 1 01 1)()2(11可可去去间间断断点点的的为为称称连连续续在在则则令令修修改改定定义义间间断断在在故故但但处处有有定定义义在在xfxxxffxxffxxfxxxxxfxx 12xyO)(xfy 返回第一章第一章 极限与连续极限与连续微积分微积分。xfxxxf，xfff，xxxxxxfx的的跳跳跃跃间间断断点点为为称称间间断断在在不不存存在在故故处处在在)(0.0)()(lim.1)0(,1)0(0,0 10 00 1sgn)()3(0 xyO11 注意：注意：.)(),(lim)(,)(lim0000连连续续在在可可使使令令或或修修改改定定义义通通过过补补充充定定义义存存在在可可去去间间断断点点的的特特点点是是xxfxfxf，xfxxxx 返回第一章第一章 极限与连续极限与连续微积分微积分特点：特点：(1)(1)、(2)(2)、(3)(3)左右极限都存在。左右极限都存在。问题：问题：?)(的的什什么么间间断断点点为为xxfnx .)(2 cossinlimtanlim.2tan)()4(22无无穷穷间间断断点点的的为为称称处处间间断断在在xfxxxxxxxfxx xyO2 2 xytan 返回第一章第一章 极限与连续极限与连续微积分微积分.)(0).(1)(0.01sin)()5(的的振振荡荡间间断断点点为为称称振振荡荡摆摆动动间间在在时时处处间间断断在在xfxxfxxxxf xy1sin 返回第一章第一章 极限与连续极限与连续微积分微积分3 3、间断点分类、间断点分类左右极限都存在的间断点叫第一类间断点，其左右极限都存在的间断点叫第一类间断点，其余的叫做第二类间断点。余的叫做第二类间断点。振荡间断点振荡间断点无穷间断点无穷间断点第二类间断点第二类间断点跳跃间断点跳跃间断点可去间断点可去间断点第一类间断点第一类间断点间断点间断点返回第一章第一章 极限与连续极限与连续微积分微积分1x11)1(2xxy例如例如:可去间断点.1x1,1,)(21xxxxfy(2)可去间断点.返回第一章第一章 极限与连续极限与连续微积分微积分(3)0,10,00,1)(xxxxxxfy0 x跳跃间断点.(4)0,0,/1)(xxxxxfy0 x无穷间断点.返回第一章第一章 极限与连续极限与连续微积分微积分间间断断点点并并判判断断类类型型。的的，求求例例)(2 ,1110 ,110 ,1)(.52xfxxxxxxxxf 返回第一章第一章 极限与连续极限与连续微积分微积分连续性。的在讨论例00,0,1sin)(.6xxexxxxfx 返回第一章第一章 极限与连续极限与连续微积分微积分211,01.()0sin,01,02.(),.11,x=0 xxabxxf xxabbxxxexf xe已知在连续，求 与 的关系。讨论的连续性 并指出间断点类型思考与练习思考与练习返回第一章第一章 极限与连续极限与连续微积分微积分三、连续函数的运算三、连续函数的运算定理定理1 1：1 1、四则运算、四则运算.)0)()(/)(),()(),()()(),(00也也连连续续在在点点则则连连续续在在点点若若xxgxgxfxgxfxgxf，xxgxf 返回第一章第一章 极限与连续极限与连续微积分微积分2 2、复合函数、复合函数定理定理2 2：.)(),(,)(,)(00000连连续续在在则则复复合合函函数数且且连连续续在在连连续续在在若若xxfyxuxxuuuf 注意：注意：)(lim)()(lim:000 xfxfxfxxxx 由由复复合合函函数数的的连连续续性性即函数符号和极限号可以交换次序。即函数符号和极限号可以交换次序。返回第一章第一章 极限与连续极限与连续微积分微积分3 3、反函数、反函数定理定理3 3：.)()(,)()(1且且连连续续减减上上也也递递增增在在相相应应区区间间数数则则其其反反函函且且连连续续减减递递增增在在区区间间上上若若yxIyfxIxfy )(xfy )(1xfy yxO返回第一章第一章 极限与连续极限与连续微积分微积分四、初等函数的连续性四、初等函数的连续性由常数与基本初等函数经过有限次四则运算或由常数与基本初等函数经过有限次四则运算或有限次函数复合构成的且能用一个式子表示的有限次函数复合构成的且能用一个式子表示的函数叫初等函数。函数叫初等函数。结论：结论：(1)(1)基本初等函数在其定义域上连续；基本初等函数在其定义域上连续；(2)(2)初等函数在其定义区间初等函数在其定义区间(定义域内区间定义域内区间)上连续。上连续。23()(1)f xxx例.返回第一章第一章 极限与连续极限与连续微积分微积分1 1、(),()(,):1 ()(,)2 max(),()min(),()(,).f x g xf xf x g xf x g x 设在上连续，证（）在连续；（）和在上连续练习练习返回第一章第一章 极限与连续极限与连续微积分微积分2 2、110 1 limcos(1);2 lim(2)xxxxxxxe 求极限：（）（）返回第一章第一章 极限与连续极限与连续微积分微积分五、双曲函数及反双曲函数五、双曲函数及反双曲函数1 1、概念、概念双曲正弦：双曲正弦：双曲余弦：双曲余弦：双曲正切：双曲正切：2sinhxxeex 2coshxxeex xxxxeeeex tanhxyOxysinh xycosh xyO11 xytanh 2 2、性质、性质定义域、奇偶性、单调性类似于三角函数的性质。定义域、奇偶性、单调性类似于三角函数的性质。返回第一章第一章 极限与连续极限与连续微积分微积分3 3、反函数、反函数反双曲正弦：反双曲正弦：反双曲正弦：反双曲正弦：反双曲正弦：反双曲正弦：)1ln(sinh2 xxxar)1ln(cosh2 xxxarxxxar 11ln21tanh返回第一章第一章 极限与连续极限与连续微积分微积分练练 习习 题题.1点点连连续续则则重重新新定定义义使使函函数数在在该该若若为为可可去去间间断断点点并并指指明明间间断断点点的的类类型型处处间间断断指指出出下下列列函函数数在在哪哪些些点点，、xxfexfxxxxfxxfx1arctan)()4(11)()3(231)()2(ln1)()1(122 .)0(11lim)(2并画图并画图的连续性的连续性讨论函数讨论函数，xxxf、nn 返回第一章第一章 极限与连续极限与连续微积分微积分exxxxxexxe、exxxaxxx2sinlnarcsinlim)4()1ln(15coslim)3()2(sinlim)2(12lim)1(.30820 求下列极限求下列极限 1 21 1 )(:1)(,42xbxxaxxxfxxfba、处连续处连续在在使下列函数使下列函数求求