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理解速度势函数、流函数，会建立简单的理解速度势函数、流函数，会建立简单的 势函数和流函数方程；势函数和流函数方程；了解流网的概念；了解流网的概念；透彻理解流体元流伯努利方程，透彻理解流体元流伯努利方程，会用毕托管测流速。会用毕托管测流速。（1 1）流体动力学）流体动力学研究流体运动且涉及力的规律及在工程中的应用。研究流体运动且涉及力的规律及在工程中的应用。（2 2）遵循的规律）遵循的规律牛顿第二定律牛顿第二定律（3 3）对于理想流体，因没有粘性，故作用于流）对于理想流体，因没有粘性，故作用于流 体的表面力只有压应力，即动水压强。体的表面力只有压应力，即动水压强。p=p(xp=p(x，y y，z z，t)t)41 41 理想流体运动微分方程理想流体运动微分方程 欧拉运动微分方程欧拉运动微分方程一、理想流体欧拉运动微分方程一、理想流体欧拉运动微分方程适用于可压缩、适用于可压缩、不可压缩；恒定、不可压缩；恒定、非恒定；有旋、非恒定；有旋、无旋流。无旋流。dtduzpyzz=-1dtduypfyy=-1dtduxpfxx=-1为区别为区别恒定流与恒定流与非恒定流，非恒定流，可将右项可将右项展开。展开。1 1、分析：、分析：利用牛顿第二定律：利用牛顿第二定律：F=maF=mayxz M MpApBp p2 2、方程讨论：、方程讨论：式中有式中有8 8个未知量：个未知量：u ux x 、u uy y 、u uz z 、p p、f fx x、f fy y、f fz z 。通通常常 f fx x、f fy y 、f fz z 、可据已知条件分析得知，可据已知条件分析得知，但仍有但仍有4 4个未知量，故个未知量，故一般需再联立连续性微一般需再联立连续性微分方程。分方程。dtduxpfxx1dtduzpfzz1dtduypfyy1（1 1）若为不可压缩流体，则）若为不可压缩流体，则为常数，为常数，有有 p p、u ux x、u uy y 、u uz z 四个变量，四个变量，可用方程组可用方程组欧拉运动方程欧拉运动方程 （3 3个个）连续性微分方程连续性微分方程 （1 1个个）求得解。求得解。（2 2）若为可压缩流体，则有）若为可压缩流体，则有、p p、u ux x、u uy y 、u uz z 五个变量，可在上述方程组上，再联立五个变量，可在上述方程组上，再联立能量方程能量方程 或或气体状态方程气体状态方程。见见5151式式（3 3）若为粘性流体，还应考虑切应力，可利用）若为粘性流体，还应考虑切应力，可利用 NSNS 方程。方程。二、兰姆（葛罗米柯）运动微分方程二、兰姆（葛罗米柯）运动微分方程)(2)2(12zyyzxxuutuuxxpf)(2)2(12xzzxyyuutuuyypf)(2)2(12yxxyzzuutuuzzpf 在欧拉运动微分方程中，为了区分有旋在欧拉运动微分方程中，为了区分有旋流与无旋流，可将原方程变换成包含角转速流与无旋流，可将原方程变换成包含角转速的形式。即上式所示的形式。即上式所示兰姆兰姆微分方程。微分方程。三、伯努利方程（理想流体运动微分方程的伯努利积分）三、伯努利方程（理想流体运动微分方程的伯努利积分）1 1、积分条件：、积分条件：（1 1）流动为恒定流）流动为恒定流dzzpdyypdxxpdp故：故：0tptututuzyx有：有：（2 2）流体不可压缩、均质）流体不可压缩、均质=c=c （常数）常数）从而有：从而有：xWfxyWfyzWfz（3 3）作用于流体上的）作用于流体上的 质量力是有势的质量力是有势的 力，有势函数为：力，有势函数为：W W(x x,y y,z z)，dzzWdyyWdxxWdWdzfdyfdxfzyx对于恒定、有势质量力，有：对于恒定、有势质量力，有：（5 5）行列式）行列式dx dy dz dx dy dz x x y y z zu ux x u uy y u uz z=0=0（4 4）沿流线积分：）沿流线积分：ux=dxdtuy=dydtuz=dzdt2 2、伯努利方程：、伯努利方程：cupW212 将兰姆微分方程分别乘以将兰姆微分方程分别乘以 dx dx，dy dy ，dz dz 再相加，然后利用上述五个条件整理即可得方程：再相加，然后利用上述五个条件整理即可得方程：3 3、只受重力作用的伯诺利方程：、只受重力作用的伯诺利方程：不可压缩、均质不可压缩、均质、理想流体恒定、理想流体恒定流运动方程（固流运动方程（固体边界相对地球体边界相对地球无运动）。无运动）。gupzgupz222222211142 42 理想流体元流伯努利方程理想流体元流伯努利方程一、方程一、方程1 1、推导依据、推导依据动能定理动能定理gupzgupz22222221112 2、元流伯诺利方程、元流伯诺利方程外力做功外力做功=机械能的增加机械能的增加BBBBAAAAA AA AB BB BZ Z1 1Z Z2 22 21 13 3、分析、分析列式：列式：Fsumum2112222121BBBBAAAAA AA AB BB BZ Z1 1Z Z2 22 21 1假设：假设：AAAA断面断面:速度：速度：u u1 1 压强：压强：p p1 1 面积：面积：A A1 1 BBBB断面断面:速度：速度：u u2 2 压强：压强：p p2 2 面积：面积：A A2 2整理即得整理即得二、方程中各项的意义二、方程中各项的意义1 1、物理意义、物理意义单位重量流体所具有的位能单位重量流体所具有的位能Z Z单位重量流体所具有的压能单位重量流体所具有的压能gp单位重量流体所具有的动能单位重量流体所具有的动能gu22单位重量流单位重量流体所具有的体所具有的 势能势能.单位重量单位重量流体所具流体所具有的机械有的机械能能.注：对于理想流体，元流各过流断面上的总机注：对于理想流体，元流各过流断面上的总机 械能不变，不同过流断面上，流体的位能、械能不变，不同过流断面上，流体的位能、压能、动能可相互转换。压能、动能可相互转换。2 2、几何意义、几何意义单位重量流单位重量流体所具有的测压体所具有的测压管水头管水头 单位重单位重量流体所量流体所具有的总具有的总水头水头 Z Z单位重量流体所具有的位置水头单位重量流体所具有的位置水头gp单位重量流体所具有的压强水头单位重量流体所具有的压强水头gu22单位重量流体所具有的速度水头单位重量流体所具有的速度水头注：对于理想流体，元流各过流断面上的总水头保注：对于理想流体，元流各过流断面上的总水头保 持不变；持不变；测压管水头可升、可降、可不变。测压管水头可升、可降、可不变。三、毕托管三、毕托管A Ah hu uA A图：图：A Ah hu uA A原理：原理：利用理想元流伯努利方程利用理想元流伯努利方程。测量点流速的仪器测量点流速的仪器Asppgcu2sAApgup22公式：公式：43 43 恒定平面势流恒定平面势流 1 1 紧靠固体边壁的粘性起主要作用的区间；紧靠固体边壁的粘性起主要作用的区间；2 2 不受固体边壁阻力影响、粘性不起作用的区间。不受固体边壁阻力影响、粘性不起作用的区间。解决实际流体运动（特别是绕流运动）的方法之解决实际流体运动（特别是绕流运动）的方法之一就是将流场划分为两个区间，即：一就是将流场划分为两个区间，即：粘性流体边界层理论粘性流体边界层理论势流理论势流理论 本节着重讨论恒定平面势流。本节着重讨论恒定平面势流。一、速度势一、速度势1 1、速度势的定义：、速度势的定义：如果流体的运动为无旋流，如果流体的运动为无旋流，则有：则有：此关系式是使：此关系式是使：（u u x x dx+u dx+u y y dy+u dy+u z z dz dz）成为某一函数成为某一函数 （x x，y y，z z)的的全微分的充分且必要条件，故全微分的充分且必要条件，故必有一函数必有一函数（x x，y y，z z），），此此函数即称为速度势或速度势函函数即称为速度势或速度势函数。所以无旋流也称为有势流。数。所以无旋流也称为有势流。zuyuyzzuxuxzxuyuyx由此可知，必有：由此可知，必有：uxx=uyy=uzz=有势流，只要确定了速有势流，只要确定了速度势度势，即可确定出即可确定出 u u x x 、u u y y 、u u z z 的值，的值，而不必求而不必求出出 u u x x 、u u y y 、u u z z 的三个的三个函数表达式，从而简化有势函数表达式，从而简化有势流分析过程。流分析过程。dzudyudxudzyx2 2、速度势的性质：、速度势的性质：u um mx xy ymum即：即：（1 1）速度势对任意方向的偏导数等于速）速度势对任意方向的偏导数等于速 度在该方向上的分量。度在该方向上的分量。m m 代表任代表任 意方向意方向0l dudzudyudxudzzdyydxxdzyx等势面微分方程：等势面微分方程：（2 2）等势面）等势面速度势值相等的点连成的面称等势面。速度势值相等的点连成的面称等势面。等势面与流线正交与过流断面重合。等势面与流线正交与过流断面重合。dLdL 为等势面上任意方向的微量矢径为等势面上任意方向的微量矢径 ，因为两，因为两个矢量的标量积为零，所以等势面与流线正交。个矢量的标量积为零，所以等势面与流线正交。等势线等势线u u 等势面等势面（过流断面）（过流断面）流线流线 等势线等势线图示图示对于平面势流，等势面与平行平面的交线就对于平面势流，等势面与平行平面的交线就 是是等势线，与流线正交等势线，与流线正交。（3 3）速度势值的大小沿流线方向增加。）速度势值的大小沿流线方向增加。1 12 2u u1 1 2 等流函数线就是流线。等流函数线就是流线。1 1 同一流线上各点的流函数值相等。同一流线上各点的流函数值相等。令：令：d d=0 =0 一个常数对应一条流线。一个常数对应一条流线。由流函数相等的点连成的曲线。由流函数相等的点连成的曲线。性质：性质：（3 3）流函数值沿流线）流函数值沿流线 s s 方向逆时针旋转方向逆时针旋转90900 0后的后的 n n 方向增加。方向增加。S1S2 unx21y即：即：2 2 1 1（4 4）任意两条流线的流函数值之差）任意两条流线的流函数值之差(2 2-1 1)，等于该两等于该两 条流线间所通过的单宽流量条流线间所通过的单宽流量 q q。即：即：q=q=2 2 1 1证明：证明：dnuuxuy因是平面流动，可取因是平面流动，可取 Z Z 方向为方向为1 1，在流线间任取一微小，在流线间任取一微小面积面积1 1dndn，流速为流速为 u u，则有：则有：dq=udq=u（1 1dndn）=u=udndn dq=u dq=udn dn =u=ux xdndncos(n,y)+ucos(n,y)+uy ydndnsin(n,y)sin(n,y)=u=ux x dy dy u uy y dx=d dx=d q=q=2 2 1 1 或：或：dq=udq=udn=d dn=d（5 5）是调和函数，满足拉普拉斯方程。是调和函数，满足拉普拉斯方程。02222yx即：即：即存在流函数。即存在流函数。（流体连续）（流体连续）11只要只要0yuxuyx即存在速度势函即存在速度势函数。（无旋流）数。（无旋流）22只要只要xuyuyx3 3、注：、注：三、流函数与速度势的关系三、流函数与速度势的关系 1 1、流函数与速度势为共轭函数。、流函数与速度势为共轭函数。xyuyxuyx2 2、等流函数线与等势线互相垂直。、等流函数线与等势线互相垂直。四、流网四、流网2-112dnds 由等势线和等流函数线构成的正交的网格，即流网。由等势线和等流函数线构成的正交的网格，即流网。性质：性质：（1 1）等势线与等流函数线正交，即流线与等势线正交；）等势线与等流函数线正交，即流线与等势线正交；即：即：dndndddd=dsds（2 2）流网中每一网格的边长之比）流网中每一网格的边长之比，等于，等于dsdsdndn与与的增值之比：的增值之比：dddd若：若：dd=dd，则为正方则为正方 形网格形网格*恒定平面势流中流网上的任意两点都满足伯努利方程。恒定平面势流中流网上的任意两点都满足伯努利方程。*根据以上两性质，即可绘制流网，以求得流场的速度分根据以上两性质，即可绘制流网，以求得流场的速度分 布、压强分布。布、压强分布。*流网可解决恒定平面势流问题，是在一定条件下，拉普拉流网可解决恒定平面势流问题，是在一定条件下，拉普拉 斯方程的一种图解法。斯方程的一种图解法。五、势流叠加五、势流叠加是势流的一个重要特性，几个简单势流叠加后组是势流的一个重要特性，几个简单势流叠加后组 成的复杂流动仍为势流（复合势流），仍满足拉成的复杂流动仍为势流（复合势流），仍满足拉 普拉斯方程。普拉斯方程。即：即：=1 1+2 2+3 3+n n=1 1+2 2+3 3+n n
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