高等数学教学课件第三节函数的极限

一、函数极限的定义一、函数极限的定义二、函数极限的性质二、函数极限的性质三、小三、小 结结 2/24一、自变量趋于有限值时函数的极限一、自变量趋于有限值时函数的极限第三节第三节 函数的极限 ,)(xfy 对对0)1(xx 0)2(xx0)3(xxx)4(x)5(x)6(自变量变化过程的六种形式:二、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋于无穷大时函数的极限本节内容本节内容:3/24一、自变量趋向有限值时函数的极限一、自变量趋向有限值时函数的极限;)()(任任意意小小表表示示AxfAxf .000的的过过程程表表示示xxxx x0 x 0 x 0 x ,0邻邻域域的的去去心心点点 x.0程度程度接近接近体现体现xx 问题问题:如何用数学语言刻划函数如何用数学语言刻划函数“无限接近无限接近”.4/24定定义义 Axfxx)(lim01、定义：、定义：.)(,0,0,00 Axfxxst恒有恒有时时5/242、几何解释、几何解释:)(xfy AAA0 x0 x0 xxyo.2,)(,0的带形区域内的带形区域内宽为宽为为中心线为中心线线线图形完全落在以直图形完全落在以直函数函数域时域时邻邻的去心的去心在在当当 Ayxfyxx注意：注意：;)(.10是是否否有有定定义义无无关关在在点点函函数数极极限限与与xxf.2有有关关与与任任意意给给定定的的正正数数 .,越越小小越越好好后后找找到到一一个个显显然然 6/24例例2).(,lim0为为常常数数证证明明CCCxx 证证Axf)(CC ,成立成立 ,0 任给任给0.lim0CCxx,0 任任取取,00时时当当 xx例例3.lim00 xxxx 证证明明证证,)(0 xxAxf为了为了,0 任给任给,只只要要取取,00时时当当 xx0)(xxAxf ,成立成立 .lim00 xxxx 7/24例例4.211lim21 xxx证证明明证证211)(2 xxAxf为为了了,0 任给任给,只只要要取取,00时时当当 xx函数在点函数在点x=1处没有定义处没有定义.1x,)(Axf要要使使,2112 xx就有就有.211lim21 xxx8/243.单侧极限单侧极限(one-sided limit):例如例如,.1)(lim0,10,1)(02 xfxxxxxfx证明证明设设两种情况分别讨论两种情况分别讨论和和分分00 xx,0 xx从从左左侧侧无无限限趋趋近近;0 xx记作记作,0 xx从从右右侧侧无无限限趋趋近近;0 xx记作记作yox1xy 112 xy9/24左极限左极限.)(,0,000 Axfxxx恒有恒有时时使当使当右极限右极限.)(,0,000 Axfxxx恒恒有有时时使使当当000:000 xxxxxxxxx注注意意.)()(lim00AxfAxfxx 或或记记作作.)()(lim00AxfAxfxx 或或记记作作(left-hand limit)(right-hand limit)10/24.)()()(lim:000AxfxfAxfxx 定定理理.lim0不存在不存在验证验证xxxyx11 oxxxxxx 00limlim左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,.)(lim0不不存存在在xfx例例5证证1)1(lim0 xxxxxxx 00limlim11lim0 x11/24例例6 6).(lim,0,10,1)(02xfxxxxxfx 求求设设yox1xy 112 xy解解两个单侧极限为两个单侧极限为是函数的分段点是函数的分段点,0 x)1(lim)(lim00 xxfxx ,1)1(lim)(lim200 xxfxx,1 左右极限存在且相等左右极限存在且相等,.1)(lim0 xfx故故12/24.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx播放播放二、自变量趋向无穷大时函数的极限二、自变量趋向无穷大时函数的极限13/24问问题题:函函数数)(xfy 在在 x的的过过程程中中,对对应应函函数数值值)(xf无无限限趋趋近近于于确确定定值值 A.;)()(任任意意小小表表示示AxfAxf .的的过过程程表表示示 xXx.0sin)(,无无限限接接近近于于无无限限增增大大时时当当xxxfx 通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:14/24定义定义X .)(,0,0 AxfXxX恒恒有有时时使使当当 Axfx)(lim1、定义：、定义：15/24:.10情情形形 x.)(,0,0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当:.20情形情形xAxfx)(lim.)(,0,0 AxfXxX恒恒有有时时使使当当Axfx)(lim2、另两种情形、另两种情形:Axfx)(lim:定理定理.)(lim)(limAxfAxfxx 且且16/24xxysin 3、几何解释、几何解释:X X.2,)(,的带形区域内的带形区域内宽为宽为为中心线为中心线直线直线图形完全落在以图形完全落在以函数函数时时或或当当 AyxfyXxXxA17/24xxysin 例例7.0sinlim xxx证证明明证证xxxxsin0sin 为了为了x1 X1,0 ,1 X取取时恒有时恒有则当则当Xx ,0sin xx.0sinlim xxx故故.)(,)(lim:的的图图形形的的水水平平渐渐近近线线是是函函数数则则直直线线如如果果定定义义xfycycxfx 18/24三、函数极限的性质三、函数极限的性质1.（局部）（局部）有界性有界性定理定理 若在某个过程下若在某个过程下,)(xf有极限有极限,则存在则存在过程的一个时刻过程的一个时刻,在此时刻以后在此时刻以后)(xf有界有界.2.唯一性唯一性19/24).0)(0)(,)(,0),0(0,)(lim00 xfxfxUxAAAxfxx或或时时当当则则或或且且若若。3.3.定理定理(局部保号性局部保号性).0(0),0)(0)(,)(,0,)(lim00 AAxfxfxUxAxfxx或或则则或或时时当当且且若若。推论推论20/244.子列收敛性子列收敛性(函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系).)(),(,),(),(,)(.),(),(21000时时的的子子列列当当为为函函数数即即则则称称数数列列时时使使得得有有数数列列中中或或可可以以是是设设在在过过程程axxfxfxfxfxfaxnaxxxxaaxnnnn 定义定义.)(lim,)()(,)(limAxfaxxfxfAxfnnnax 则则有有时时的的一一个个子子列列当当是是数数列列若若定理定理21/24例如例如,xxysin 1sinlim0 xxx,11sinlim nnn,11sinlim nnn11sin1lim22 nnnnn函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在限都存在,且相等且相等.22/24xy1sin 例例8.1sinlim0不不存存在在证证明明xx证：证：,1 nxn取取,0lim nnx;0 nx且且 ,2141 nxn取取,0lim nnx;0 nx且且23/24 nxnnnsinlim1sinlim 而而,1 214sinlim1sinlim nxnnn而而1lim n二者不相等二者不相等,.1sinlim0不存在不存在故故xx,0 24/24四、小结四、小结函数极限的统一定义函数极限的统一定义;)(limAnfn ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(lim0Axfxx;)(lim0Axfxx .)(lim0Axfxx .)(,0)(lim AxfAxf恒有恒有从此时刻以后从此时刻以后时刻时刻(见下表见下表)用时用时2课时课时业业作作)3)(1(538 P25/24过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 n x x xNNn Nx Nx Nx )(xf Axf)(0 xx 00 xx 0 xx 0 xx 00 xx00 xx过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 )(xf Axf)(26/242-131习题习题P)(,)(,.6212 kaxkaxxkkn若若对对于于数数列列).(naxn证明：证明：证证明明：,)(12 kaxk)(2 kaxk又又.,0,01211 axKkstKk有有.,0,0222 axKkstKk有有对对上上述述.,2,221上两个不等式均成立上两个不等式均成立取取NnstKKmaxN .成成立立即即 axn.limaxnn 故故 27/24例例5.lim00 xxxx 证：证：0)(xxAxf ,0 任给任给,min00 xx 保保证证，故故可可取取,00时时当当 xx00 xxxx ,)(Axf要要使使,0 xx就就有有,00 xxx 00000.0 xxxxxxxx 可可用用而而且且只只要要.lim,0:000 xxxxx 时时当当证明证明34P 28/24 xy .1xay .2xey .3xaylog.4 xyln.5 xyxycos.7sin.6 xyxycot.9tan.8 xyxycsc.11sec.10 xyxyarccos.13arcsin.12 xarcyxycot.15arctan.14 29/241、幂函数幂函数)(是常数是常数Rxy oxy)1,1(112xy xy xy1 xy 30/242、指数函数、指数函数)1,0(aaayxxay xay)1()1(a)1,0(xey 31/243、对数函数、对数函数，特别地，特别地1,0(log aaxyaxyalog xya1log)1(a)0,1(),时时，记记为为当当ea xyln 32/244、三角函数、三角函数xysin xysin Sine-正弦正弦函数正弦函数33/24xycos xycos cosine-余弦余弦函数余弦函数34/24xytan xytan tangent-正切，切线正切函数正切函数35/24xycot xycot cotangent-余切余切函数余切函数36/24xxycos1sec secant-正割xysec 正割函数正割函数37/24xxysin1csc xycsc Cosecant-余割余割函数余割函数38/245、反三角函数、反三角函数xyarcsin 是整体记号arcsinxyarcsin 反反正正弦弦函函数数39/24xyarccos 是整体记号arccosxyarccos 反反余余弦弦函函数数40/24xyarctan 同上xyarctan 反反正正切切函函数数41/24 幂函数幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角函数和反三角函数和反三角函数统称为三角函数统称为基本初等函数基本初等函数.xycot arc同上xycot 反反余余切切函函数数arc42/24思考题思考题试试问问函函数数 0,50,100,1sin)(2xxxxxxxf在在0 x处处的的左左、右右极极限限是是否否存存在在？当当0 x时时，)(xf的的极极限限是是否否存存在在？43/24思考题解答思考题解答 )(lim0 xfx,5)5(lim20 xx左极限存在左极限存在,)(lim0 xfx,01sinlim0 xxx右极限存在右极限存在,)(lim0 xfx)(lim0 xfx)(lim0 xfx不存在不存在.44/24.01.01_131222 yzxzxxyx，必有，必有时，只要时，只要取取，问当，问当时，时，、当、当.001.0420_4212 yxxyx，必必有有只只要要时时，取取，问问当当时时，、当当 证明：证明：二、用函数极限的定义二、用函数极限的定义一、填空题一、填空题:0sinlim221241lim1221 xxxxxx、练练 习习 题题45/24.)(:0极限各自存在并且相等极限各自存在并且相等必要条件是左极限、右必要条件是左极限、右时极限存在的充分时极限存在的充分当当函数函数三、试证三、试证xxxf?0)(存存在在时时的的极极限限是是否否在在四四、讨讨论论：函函数数 xxxx 46/24一一、1 1、0 0.0 00 00 02 2；2 2、397.四四、不不存存在在.练习题答案练习题答案47/24.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限48/24.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限49/24.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限50/24.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限51/24.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限52/24.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限53/24.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限54/24.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限55/24.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限