线性代数教材第二节课件

线性代数教材第二节1第二节行化简与阶梯形矩阵 解的存在性与唯一性线性代数教材第二节2阶梯形矩阵与行最简形阶梯形矩阵与行最简形至少包含一个非零元素的行或者列，称为矩阵的至少包含一个非零元素的行或者列，称为矩阵的非零非零行行或者或者非零列非零列。非零行中最左边的非零元素，称为该行的非零行中最左边的非零元素，称为该行的非零首元非零首元或或者者首项元素首项元素。线性代数教材第二节3若矩阵满足下列两条性质，就称该矩阵为若矩阵满足下列两条性质，就称该矩阵为阶梯矩阵阶梯矩阵：1.所有非零行都在元素全部为零的行之上；所有非零行都在元素全部为零的行之上；2.每一行非零首元所在的列，都在上一行非零首元所每一行非零首元所在的列，都在上一行非零首元所在的列的右边，即非零首元所在的列数随着行数的增在的列的右边，即非零首元所在的列数随着行数的增大而增大。大而增大。0000000000000000221121rnrjnjnjnsaaaaaaAr。行全为行全为的后的后0,0,212121rsAjjjaaarrjjjr线性代数教材第二节4则称为则称为行最简形矩阵行最简形矩阵或或Jordan(Jordan(约当约当)阶梯型矩阵阶梯型矩阵。3.非零行中的非零首元均为非零行中的非零首元均为1；4.每个非零首元每个非零首元1所在列的其余元素均为所在列的其余元素均为0。如果一个阶梯矩阵还满足以下两个条件：如果一个阶梯矩阵还满足以下两个条件：300920511C210010102001D0000150002101311A000000120002041B都是阶梯矩阵，都是阶梯矩阵，、DCBA是行最简形矩阵。是行最简形矩阵。其中其中D线性代数教材第二节5(证明略证明略)命题命题 任何一个非零矩阵都可经初等行变换化为阶梯矩任何一个非零矩阵都可经初等行变换化为阶梯矩阵，更进一步可化为行最简形。阵，更进一步可化为行最简形。注意：注意：使用不同顺序的初等行变换，化出来的阶梯矩阵使用不同顺序的初等行变换，化出来的阶梯矩阵一般是不同的。但是从一个矩阵出发，通过不同顺序的一般是不同的。但是从一个矩阵出发，通过不同顺序的初等行变换化简，得到的行最简形是唯一的。初等行变换化简，得到的行最简形是唯一的。思考：为什么行最简形是唯一的？思考：为什么行最简形是唯一的？矩阵的阶梯形中，非零首元对应的位置称为矩阵的阶梯形中，非零首元对应的位置称为主元位置主元位置，位于主元位置的元素称为位于主元位置的元素称为主元主元，主元所在列称为主元所在列称为主元列主元列。线性代数教材第二节6例例 化下列矩阵为阶梯形，行最简形，并求主元列。化下列矩阵为阶梯形，行最简形，并求主元列。28810635212111434261300解解:31rr 28810636130011434252121122rr 2881063613001010052121143rr 132700613001010052121线性代数教材第二节7233rr 13270031000101005212124)7(rr6200031000101005212100000310001010052121342rr 0000031000101003002121rr 31)2(rr)1(1r矩阵的主元列分别是矩阵的主元列分别是第一、三、四列。第一、三、四列。容易观察到，不同的初等行变换化出的阶梯形不同，容易观察到，不同的初等行变换化出的阶梯形不同，但是主元位置是相同的，且行最简形是唯一的。但是主元位置是相同的，且行最简形是唯一的。行最简形行最简形阶梯矩阵阶梯矩阵线性代数教材第二节8用初等行变换化矩阵为阶梯形用初等行变换化矩阵为阶梯形(行最简形行最简形)的一般步骤：的一般步骤：1.1.从矩阵最左边的非零列开始，主元位置在该列的第一行；若该从矩阵最左边的非零列开始，主元位置在该列的第一行；若该位置元素为零，则用位置元素为零，则用对换变换对换变换将其变为非零元，就得到一主元。将其变为非零元，就得到一主元。2.2.用初等行变换中的用初等行变换中的倍加变换倍加变换将主元下方的元化为零。将主元下方的元化为零。3.3.盖住或忽略含有主元位置的行和它上面的所有行。对余下的子盖住或忽略含有主元位置的行和它上面的所有行。对余下的子矩阵应用第一步到第三步，就可以得到阶梯形矩阵。矩阵应用第一步到第三步，就可以得到阶梯形矩阵。4.4.若进一步要得到行最简形，在进行第二步时，要运用若进一步要得到行最简形，在进行第二步时，要运用倍加变换倍加变换将主元列中主元以外的所有元化为零，并用将主元列中主元以外的所有元化为零，并用数乘变换数乘变换将主元化为将主元化为1.1.线性代数教材第二节9用化矩阵为阶梯形的方法求解线性方程组：用化矩阵为阶梯形的方法求解线性方程组：首先对方程组的增广矩阵用初等行变换化为阶梯矩首先对方程组的增广矩阵用初等行变换化为阶梯矩阵阵(或化为行最简形或化为行最简形)例例 求解线性方程组求解线性方程组解解:4422331322115432154352152154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxx线性代数教材第二节10442211331100130022110011111111111111021100352200331100331100111111021100310000310000000000111111021100310000000000000000线性代数教材第二节11000000000000310000601100400011写出行最简形对应的方程组写出行最简形对应的方程组36454321xxxxx)(广矩阵是行等价的，广矩阵是行等价的，方程组与原方程组的增方程组与原方程组的增由于由于)(。方程组与原方程组同解方程组与原方程组同解因此，因此，)(方程组可以解出方程组可以解出于是由于是由)(36454321xxxxx方程组有无穷多解，方程组有无穷多解，设设lxkx42,则则方方程程组组有有)3,6,4(),(54321llkkxxxxx通解通解线性代数教材第二节1200000000000031000060110040001136454321xxxxx变量变量 与阶梯矩阵的主元位置对应，称为与阶梯矩阵的主元位置对应，称为基本变量基本变量。在行最简形中，这三个变量分别只在一个方程中出现，。在行最简形中，这三个变量分别只在一个方程中出现，可以将其解出来，显式表示。可以将其解出来，显式表示。531,xxx方程组余下的变量方程组余下的变量 可任意取值，因此称为可任意取值，因此称为自由变量自由变量。42,xx注意注意 此例中，自由变量的出现是因为线性方程组的主元列此例中，自由变量的出现是因为线性方程组的主元列数数(即基本变量的个数即基本变量的个数)少于总未知量个数。少于总未知量个数。主元列数为主元列数为3 3列，即基本变量为列，即基本变量为3 3个，对应于个，对应于3 3个方程，而总个方程，而总的未知量个数为的未知量个数为5 5，故剩下的，故剩下的2 2个变量就成为了自由变量。个变量就成为了自由变量。方程组有解时，方程组有解时，自由变量个数自由变量个数=总未知量个数总未知量个数 主元列数主元列数线性代数教材第二节13首先对方程组的增广矩阵用初等行变换化为阶梯矩首先对方程组的增广矩阵用初等行变换化为阶梯矩阵阵(或化为行最简形或化为行最简形)例例 求解线性方程组求解线性方程组解解:4422331222115432154352152154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxx442211331100120022110011111111000000300000310000021100111111线性代数教材第二节14由此阶梯矩阵可写出与原方程组同解的方程组由此阶梯矩阵可写出与原方程组同解的方程组303021554354321xxxxxxxxx矛盾方程矛盾方程因此原方程组无解。因此原方程组无解。000000300000310000021100111111矛盾方程的出现实际上是因为方程组的矛盾方程的出现实际上是因为方程组的系数矩阵的主元列数系数矩阵的主元列数少于少于增广矩阵的主元列数增广矩阵的主元列数。线性代数教材第二节15定理定理1 1 一个线性方程组有解当且仅当增广矩阵的最右一个线性方程组有解当且仅当增广矩阵的最右边一列不为主元列，边一列不为主元列，即增广矩阵的阶梯形式没有如下即增广矩阵的阶梯形式没有如下形式的行：形式的行：b000。其中其中0b在有解时，如果主元列数等于未知量个数，则方程组在有解时，如果主元列数等于未知量个数，则方程组有唯一解；如果主元列数少于未知量个数，则方程组有唯一解；如果主元列数少于未知量个数，则方程组有无穷多解。有无穷多解。定理定理2 2 一个线性方程组有解当且仅当系数矩阵与增广一个线性方程组有解当且仅当系数矩阵与增广矩阵有相同的主元列。矩阵有相同的主元列。线性代数教材第二节16推论推论1 1 齐次线性方程组一定有解。齐次线性方程组一定有解。推论推论2 2 常数项全部为零的线性方程组称为常数项全部为零的线性方程组称为齐次线性方程组齐次线性方程组，反之，则称为反之，则称为非齐次线性方程组非齐次线性方程组。；列列数数等等于于未未知知量量个个数数其其系系数数矩矩阵阵的的主主元元零零解解的的齐齐次次线线性性方方程程组组只只有有nnm；列列数数小小于于未未知知量量个个数数其其系系数数矩矩阵阵的的主主元元零零解解的的齐齐次次线线性性方方程程组组有有非非nnm零零解解。的的齐齐次次线线性性方方程程组组有有非非，则则如如果果nmnm000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa线性代数教材第二节17使用初等行变换求解线性方程组的步骤使用初等行变换求解线性方程组的步骤1.1.写出线性方程组的增广矩阵。写出线性方程组的增广矩阵。2.2.用初等行变换将增广矩阵化为阶梯形，用主元列数用初等行变换将增广矩阵化为阶梯形，用主元列数判断方程组是否有解。若无解，则停止；否则，进行判断方程组是否有解。若无解，则停止；否则，进行下一步。下一步。3.3.继续进行初等行变换化简，得到行最简形。继续进行初等行变换化简，得到行最简形。4.4.写出行最简形矩阵对应的线性方程组。写出行最简形矩阵对应的线性方程组。5.5.改写第四步得到的每个非零方程，将其中的基本变改写第四步得到的每个非零方程，将其中的基本变量用显式表示出来，得到方程组的解。量用显式表示出来，得到方程组的解。线性代数教材第二节18000001108971练习练习1 1 设线性方程组的增广矩阵可经过一系列的初等设线性方程组的增广矩阵可经过一系列的初等行变换化为如下阶梯矩阵行变换化为如下阶梯矩阵求解该线性方程组。求解该线性方程组。解：解：由于系数矩阵与增广矩阵有相同的主元列，所以方由于系数矩阵与增广矩阵有相同的主元列，所以方程组有解。程组有解。又由于主元列数是又由于主元列数是2 2，未知量个数是，未知量个数是3 3，即主元列数少，即主元列数少于未知量个数，所以方程组有无穷多解。于未知量个数，所以方程组有无穷多解。线性代数教材第二节19写出行最简形对应的方程组写出行最简形对应的方程组0823231xxxx，自由变量是，自由变量是基本变量是基本变量是321,xxx323128xxxx解出解出，则则方方程程组组的的通通解解是是设设kx 3),28(),(321kkkxxx再将增广矩阵的阶梯形进一步化为行最简形：再将增广矩阵的阶梯形进一步化为行最简形：000001108971000001108201线性代数教材第二节2001103520121a练习练习2 2 设一个线性方程组的增广矩阵为设一个线性方程组的增广矩阵为解解:无无穷穷多多解解。一一解解、取取何何值值时时，方方程程组组有有唯唯若若方方程程组组有有解解，请请讨讨论论该该方方程程组组是是否否会会无无解解a)2(?)1(有解。有解。线性方程组，因此一定线性方程组，因此一定，可知此方程组是齐次，可知此方程组是齐次全为全为由于增广矩阵最后一列由于增广矩阵最后一列0)1(线性代数教材第二节2101103520121a013001100121a020001100121a阶梯形：阶梯形：接下来将增广矩阵化为接下来将增广矩阵化为)2(因因此此只只有有零零解解。，与与未未知知量量个个数数相相等等，主主元元列列数数等等于于系系数数矩矩阵阵的的时时，该该齐齐次次线线性性方方程程组组即即当当32,02aa此此有有无无穷穷多多解解。，小小于于未未知知量量个个数数，因因主主元元列列数数等等于于系系数数矩矩阵阵的的时时，该该齐齐次次线线性性方方程程组组即即而而当当22,02aa线性代数教材第二节22有有无无穷穷多多解解或或无无解解。无无解解有有唯唯一一解解有有无无穷穷多多解解)(;)(;)(;)(DCBA答答：练习练习3 3 如果一个如果一个非齐次非齐次线性方程组，其方程的个数少于线性方程组，其方程的个数少于未知量的个数，则该非齐次线性方程组未知量的个数，则该非齐次线性方程组有有无无穷穷多多解解或或无无解解。选选,)(D