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3-4 3-4 误差传播定律误差传播定律 在实际工作中有许多未知量不能直接观测而求其值，在实际工作中有许多未知量不能直接观测而求其值，需要由观测值间接计算出来。例如某未知点需要由观测值间接计算出来。例如某未知点B B的高程的高程HHB B，是由起始点是由起始点A A的高程的高程HHA A加上从加上从A A点到点到B B点间进行了若干站水点间进行了若干站水准测量而得来的观测高差准测量而得来的观测高差h h1 1hhn n求和得出的。求和得出的。这时未知点这时未知点B B的高程的高程HH。是各独立观测值的函数。那么。是各独立观测值的函数。那么如何根据观测值的中误差去求观测值函数的中误差呢？阐如何根据观测值的中误差去求观测值函数的中误差呢？阐述观测值中误差与观测值函数中误差之间关系的定律，称述观测值中误差与观测值函数中误差之间关系的定律，称为为误差传播定律误差传播定律。一、观测值的函数一、观测值的函数 1 1、和差函数、和差函数 设有函数：设有函数：Z Z为为x x、y y的和或差的函数，的和或差的函数，x x、y y为独立观测值，已知其中误差为独立观测值，已知其中误差为为mmx x、mmy y，求，求Z Z的中误差的中误差mmZ Z。设设x x、y y和和z z的真误差分别为的真误差分别为x x、y y和和z z则则 若对若对x x、y y 均观测了均观测了n n次，则次，则将上式平方，得将上式平方，得yxzyxz)2,1(niyixizi )2,1(2222niyiixyixizi nnnnyxyxz2222求和，并除以求和，并除以n n，得，得 由于由于 x x、y y均为偶然误差，其符号为正或负的机会相均为偶然误差，其符号为正或负的机会相同，因为同，因为 x x、y y为独立误差，它们出现的正、负号互不相为独立误差，它们出现的正、负号互不相关，所以其乘积关，所以其乘积 x x y y也具有正负机会相同的性质，在求也具有正负机会相同的性质，在求 x x y y时其正值与负值有互相抵消的可能；当时其正值与负值有互相抵消的可能；当n n愈大时，愈大时，上式中最后一项上式中最后一项 x x y y/n/n将趋近于零，即将趋近于零，即0limnnyx 将满足上式的误差将满足上式的误差 x x、y y称为互相独立的误差，简称独立称为互相独立的误差，简称独立误差，相应的观测值称为独立观测值。对于独立观测值来说，误差，相应的观测值称为独立观测值。对于独立观测值来说，即使即使n n是有限量，由于是有限量，由于 式残存的值不大，一般就式残存的值不大，一般就忽视它的影响。根据中误差定义，得忽视它的影响。根据中误差定义，得0limnnyx222yxzmmm 两观测值代数和的中误差平方，等于两观测值中误差的平方两观测值代数和的中误差平方，等于两观测值中误差的平方之和。之和。当当z z是一组观测值是一组观测值X X1 1、X X2 2XXn n代数和（差）的函数时，即代数和（差）的函数时，即nxxxz21式中式中mmxixi是观测值是观测值x xi i的中误差的中误差。可以得出函数可以得出函数Z Z的中误差平方为的中误差平方为 222221xnxxzmmmm 结论：结论：n n个观测值代数和（差）的中误差平方，等于个观测值代数和（差）的中误差平方，等于n n个观测值个观测值中误差平方之和。中误差平方之和。当诸观测值当诸观测值x xi i为同精度观测值时，设其中误差为为同精度观测值时，设其中误差为mm，即，即 mmx1x1=m=mx2x2=m=mxnxn=m=m则为则为 在同精度观测时，观测值代数和（差）的中误差，与观在同精度观测时，观测值代数和（差）的中误差，与观测值个数测值个数n n的平方根成正比。的平方根成正比。nmmz例例1 1：设用长为：设用长为L L的卷尺量距，共丈量了的卷尺量距，共丈量了n n个尺段，已知每尺个尺段，已知每尺段量距的中误差都为段量距的中误差都为mm，求全长，求全长S S的中误差的中误差mms s。解：因为全长解：因为全长S=LS=LL LL L（式中共有（式中共有n n个个L L）。而）。而L L的中误差为的中误差为mm。nmmS结论：结论：量距的中误差与丈量段数量距的中误差与丈量段数n n的平方根成正比。的平方根成正比。例例2 2：如以：如以 30m30m长的钢尺丈量长的钢尺丈量 90m90m的距离，当每尺段量距的距离，当每尺段量距的中误差为的中误差为5mm5mm时，全长的中误差为：时，全长的中误差为：mmm7.83590 当使用量距的钢尺长度相等，每尺段的量距中误差都为当使用量距的钢尺长度相等，每尺段的量距中误差都为mmL L，则每公里长度的量距中误差，则每公里长度的量距中误差mmKmKm也是相等的。当对长也是相等的。当对长度为度为S S公里的距离丈量时，全长的真误差将是公里的距离丈量时，全长的真误差将是S S个一公里丈个一公里丈量真误差的代数和，于是量真误差的代数和，于是S S公里的中误差为：公里的中误差为：式中，式中，S S的单位是公里。的单位是公里。kssmsm 结论：结论：在距离丈量中，距离在距离丈量中，距离S S的量距中误差与长度的量距中误差与长度S S的平方根的平方根成正比。成正比。例例3 3 为了求得为了求得A A、B B两水准点间的高差，今自两水准点间的高差，今自A A点开始进行点开始进行水准测量，经水准测量，经n n站后测完。已知每站高差的中误差均为站后测完。已知每站高差的中误差均为mm站站，求求A A、B B两点间高差的中误差。两点间高差的中误差。解：因为解：因为A A、B B两点间高差两点间高差h hABAB等于各站的观测高差等于各站的观测高差h hi i（i=li=l，2n2n）之和，）之和，即即h hABAB=H=HB B-H-HA A=h=h1 1+h+h2 2+.+h+.+hn n 结论：结论：水准测量高差的中误差，与测站数水准测量高差的中误差，与测站数n n的平方根成正比的平方根成正比站mnmhAB 2 2、倍数函数、倍数函数设有函数：设有函数：Z Z为观测值的函数，为观测值的函数，K K为常数，为常数，X X为观测值，已知其中误差为观测值，已知其中误差为为mmx x，求，求Z Z的中误差的中误差mmZ Z。设设x x和和z z的真误差分别为的真误差分别为x x和和z z则则 若对若对x x 共观测了共观测了n n次，则次，则将上式平方，得将上式平方，得求和，并除以求和，并除以n n，得，得kxz xzk)2,1(nikxizi )2,1(222nikxizi nknxz222nmnmxxzz22xzxzkmmmkm222结论结论：观测值与常数乘积的中误差，等于观测值中误差乘常数。：观测值与常数乘积的中误差，等于观测值中误差乘常数。例例4 4 在在1 1：500500比例尺地形图上，量得比例尺地形图上，量得A A、B B两点间的距离两点间的距离S SABAB=23.4mm=23.4mm，其中误差，其中误差mmsabsab=土土0.2mm0.2mm，求，求A A、B B间的实间的实地距离地距离S SABAB及其中误差及其中误差msmsABAB。解：解：S SABAB=500 S=500 Sabab=500=500 23.4=11700mm=11.7m 23.4=11700mm=11.7m 得得 m msABsAB500 500 mmSabSab500500 （士（士0.20.2）=土土100mm100mm 0.1m 0.1m 最后答案为最后答案为S SABAB=11.7m=11.7m士士0.1m0.1m3 3、线性函救、线性函救 设有线性函数：设有线性函数：则有则有例例5 5 设有线性函救设有线性函救观测量的中误差分别为，观测量的中误差分别为，求求Z Z的中误差的中误差 nnxkxkxkz 221122222112)()()(nxnxxzmkmkmkm 321141149144xxxzmmmmmmmmm6,2,3321mmmz6.16141214931442224 4、一般函数、一般函数nxxxfz 21,式中式中x xi i(i=1(i=1，2n)2n)为独立观测值，已知其中误差为为独立观测值，已知其中误差为mmi i(i=1(i=1 2n)2n)，求，求z z的中误差。的中误差。当当x xi i具有真误差具有真误差 时，函数时，函数Z Z相应地产生真误差相应地产生真误差 z z。这些。这些真误差都是一个小值，由数学分析可知，变量的误差与函真误差都是一个小值，由数学分析可知，变量的误差与函数的误差之间的关系，可以近似地用函数的全微分来表达。数的误差之间的关系，可以近似地用函数的全微分来表达。xnnxxzxfxfxf 2121式中 （i=l，2n）是函数对各个变量所取的偏导数，以观测值代人所算出的数值，它们是常数，因此上式是线性函数可为：ixfnnzmxfmxfmxfm22222212212 例例 6 6 设有某函数设有某函数z=Ssinz=Ssin式 中式 中 S=1 5 0.1 1 mS=1 5 0.1 1 m，其 中 误 差，其 中 误 差 mms s=士士 0 0 5 m0 0 5 m；=119=11945004500，其中误差，其中误差mm=士士20.620.6；求；求z z的中误的中误差差mmz z。解：因为解：因为z=Ssinz=Ssin，所以，所以z z是是S S及及a a的一般函数。的一般函数。mmmmsmmzsz44cossin22222 求观测值函数的精度时，可归纳为如下三步：求观测值函数的精度时，可归纳为如下三步：1 1）按问题的要求写出函数式：）按问题的要求写出函数式：2 2）对函数式全微分，得出函数的真误差与观测值）对函数式全微分，得出函数的真误差与观测值真误差之间的关系式：真误差之间的关系式：式中，式中，是用观测值代入求得的值。是用观测值代入求得的值。3 3）写出函数中误差与观测值中误差之间的关系式：）写出函数中误差与观测值中误差之间的关系式：nxxxfz 21,xnnxxzxfxfxf 2121ixfnnzmxfmxfmxfm22222212212 二、一般函数的中误差二、一般函数的中误差 观测值函数中误差公式汇总观测值函数中误差公式汇总 函数式函数式 函数的中误差函数的中误差一般函数一般函数倍数函数倍数函数 和差函数和差函数 线性函数线性函数 算术平均值算术平均值 ),(21nxxxFZ2222222121nnZmxFmxFmxFmxxZKmmKmKxZ22nxxxZ21nmmZnnxkxkxkZ22112222222121nnZmkmkmkmnnnnnllllx12111nmmX误差传播定律的应用误差传播定律的应用 用用DJDJ6 6经纬仪观测三角形内角时，每个内角观经纬仪观测三角形内角时，每个内角观测测4 4个测回取平均，可使得三角形闭合差个测回取平均，可使得三角形闭合差m m1515 。例1：要求三角形最大闭合差m15，问用DJ6经纬仪观测三角形每个内角时须用几个测回？123=(1+2+3)-180 解：由题意：解：由题意：2m=15,则则 m=7.5 每个角的测角中误差：每个角的测角中误差：3.435.7m测回即43.45.8,5.83.4,22nnnmmx由于由于DJ6一测回角度中误差为：一测回角度中误差为：由角度测量由角度测量n测回取平均值的中误差公式：测回取平均值的中误差公式：5.826m误差传播定律的应用误差传播定律的应用例例2 2：试用中误差传播定律分析视距测量的精度。：试用中误差传播定律分析视距测量的精度。解:(1)测量水平距离的精度基本公式：2cosKlD 求全微分：dKldlKdDdllDdD)cossin2(cos2水平距离中误差：22222)2sin()cos(mKlmKmlD)206265(其中：误差传播定律的应用误差传播定律的应用例例2 2：试用中误差传播定律分析视距测量的精度。：试用中误差传播定律分析视距测量的精度。解解:(2):(2)测量高差的精度基本公式：测量高差的精度基本公式：求全微分：求全微分：dKldlKdDdllDdD)cossin2(cos2高差中误差：高差中误差：2222)2cos(2sin21 mKlmKmlh2sin21Klh)206265(其中：误差传播定律的应用误差传播定律的应用例例3:3:(1)(1)用钢尺丈量某正方形一条边长为用钢尺丈量某正方形一条边长为 求该正方形的周长求该正方形的周长S S和面积和面积A A的中误差的中误差.解:(1)周长 ,lml (2)(2)用钢尺丈量某正方形四条边的边长为用钢尺丈量某正方形四条边的边长为其中其中:求该正方形的周长求该正方形的周长S S和面积和面积A A的中误差的中误差.iliml lllllmmmmmlllll43214321且lS4lSmm4 面积 ,2lA lAlmm2 周长的中误差为周长的中误差为 dldS4全微分全微分:面积的中误差为面积的中误差为 全微分:ldldA2（2）1234=S llll1234222222242sllllssmmmmmmmmm1222221122222AAAAllml ml mmmmm 如果对某个未知量进行如果对某个未知量进行n n次同精度观测，则其次同精度观测，则其最或然值即为最或然值即为n n次观测量的算术平均值：次观测量的算术平均值：niinllllnnX1211)(1在相同条件下对某段长度进行两组丈量：在相同条件下对某段长度进行两组丈量：lll4,2,1 第一组第一组：第二组第二组：lll10,6,5 算术平均值分别为算术平均值分别为LL21,41421141)(41iillllL1051065261)(61jjllllL,21mmLL其中误差分别为：其中误差分别为：mmL1422mmL262241mmL62mmL 全部同精度观测值的最或然值为全部同精度观测值的最或然值为：101010541jjiilllX646421LLmmmmLmmLmmLLLL22221221222121ppLpLpX2122111212121ppLLppXpi在在piLiXLi值的大小体现了值的大小体现了中比重的大小，中比重的大小，称称为为的权的权。令令22022iiiLLmmpmm 若有不同精度观测值若有不同精度观测值,21LLLn其权分别为其权分别为,11pppn该量的最或然值可扩充为该量的最或然值可扩充为：ppLXpppLpLpLpnnn212211称之为加权算术平均值。称之为加权算术平均值。当各观测值精度相同时当各观测值精度相同时ppppn21nppXniinLLLL121)111()(mmmmn21 定权的基本公式定权的基本公式：2iicpmc c为任意正数，权等于为任意正数，权等于1 1的中误差称为的中误差称为“单位权中单位权中误差误差”，一般用，一般用m m0 0表示。所以：表示。所以：20201iiiimpmmmp中 误 差 的 另 一 种 表 达 方 式：权的特性权的特性1、反映了观测值的相互精度关系。反映了观测值的相互精度关系。3、不在乎权本身数值的大小，而在于相互的比例关系不在乎权本身数值的大小，而在于相互的比例关系 222000222222121212111:nnnmmmpppmmmmmm 2、c值的大小和值的大小和X值没有关系值没有关系4、若、若Li是同类量的观测值，此时，权无单位。若是同类量的观测值，此时，权无单位。若Li是是不同类量的观测值，权是否有单位不能一概而论，而视不同类量的观测值，权是否有单位不能一概而论，而视具体情况而定。具体情况而定。四、单位权中误差的计算四、单位权中误差的计算 在同精度观测中，观测值的精度是相同的，因此可用 来计算观测值的中误差。在不同精度观测中，每个观测值的精度不同，就必须先求出单位权中误差，然后根据 求出各观测值的中误差。1nvvmnm或以推导计算单位权中误差的公式为0/iimmp001pmnpvvmn
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