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静定结构的位移计算第四章4-1 概述4-3 图乘法4-2 变形体虚功原理及静定位移计算一般公式建筑力学建筑力学4-1 概述一、静定结构的位移 静定结构在荷载、温度变化、支座移动以及制造误差等因素作用下，结构的某个截面通常会产生水平线位移、竖向线位移以及角位移。1.截面位移桁架受荷载作用刚架受荷载作用BuAPFBVBCABCPFcvcuc建筑力学建筑力学支座B下沉cvcABCC温度变化c1t2tABCC12ttcucv建筑力学建筑力学次梁跨中挠度主梁跨中挠度楼盖跨中挠度吊车梁跨中挠度二、位移计算的目的1）验算结构的刚度11()200300l1400l11()200300l11()500600l(L为梁 板的跨度)建筑力学建筑力学2）为超静定结构的内力和位移计算准备条件 求解超静定结构时，只利用平衡条件不能求得内力或位移的唯一解，还要补充位移条件。12kN7.5kN.m9kN.m2m2mABkNFyB75.3 如右图示超静定单跨梁，若只满足平衡条件，内力可以由无穷多组解答，例如 可以取任意值。yBF建筑力学建筑力学三、实功和虚功：1.实功 力 在由该力引起的位移 上所作的功称为实功。即1PF1 右图中，外力是从零开始线性增大至 ，位移也从零线性增大至 。也称为静力实功。1PF11112PWFFP111121PFW建筑力学建筑力学2.虚功 力FP在由非该力引起的位移上所作的功叫作虚功。右图简支梁，先加上 ，则两截面1PF1、2之位移分别为 、。然后加 122PF，则1、2截面产生新的位移 。12和FP1FP2121212建筑力学建筑力学实功：虚功：11221122PPFF11PF虚功强调作功的力与位移无关。FP1FP2121212建筑力学建筑力学4-2 变形体虚功原理及位移计算一般公式一、变形体虚功原理 定义：设变形体在力系作用下处于平衡状态，又设该变形体由于其它原因产生符合约束条件的微小连续变形，则外力在位移上做的外虚功W恒等于各微段应力的合力在变形上作的内虚功Wi，即W=Wi。建筑力学建筑力学下面讨论W及Wi 的具体表达式。条件：1）存在两种状态：第一状态为作用有平衡力系；第二状态为给定位移及变形。以上两种状态彼此无关。2）力系是平衡的，给定的变形是符合 约束条件的微小连续变形。3）上述虚功原理适用于弹性和非弹性 结构。建筑力学建筑力学ds1C2C()w s123第二状态（给定位移和变形）dsddsds0dds0ddsddsMMsd1RF2RF1PF2PF3PFq(s)q(s)dsds第一状态（给定平衡力系）QQNN建筑力学建筑力学1122331122()()()()PPPRRPiiRKKiKWq s w s dsFFFF CF CWq s w s dsFF C 外力虚功：微段ds的内虚功dWi：00()iQNQNQNdWMdF dF dM dsFdsF dsMFFds整根杆件的内虚功为：0()iiQNWdWMFFdsQNQNQNQN建筑力学建筑力学根据虚功方程W=Wi，所以有：结构通常有若干根杆件，则对全部杆件求总和得：0()()()PiiRKKiKQNq s w s dsFFCMFFds QN0()()()PiiRKKiKQNq s w s dsFF CMFFds QN建筑力学建筑力学小结：只要求两个条件：力系是平衡的，给定的变形是符合约束条件的微小连续变形。上述虚功原理适用于各类结构（静定、超静定、杆系及非杆系结构），适用于弹性或非弹性结构。考虑了杆件的弯曲、剪切及轴向变形。1)2)3)建筑力学建筑力学二、各类结构的位移计算公式1.梁和刚架 在梁和刚架中，由于轴向变形及剪切变形产生的位移可以忽略，故位移计算公式为：=PMMdsEI 在高层建筑中，柱的轴力很大，故轴向变形对位移的影响不容忽略。对于深梁，即h/l 较大的梁，剪切变形的影响不容忽略。(M 单位荷载1作用下的结构内弯矩)建筑力学建筑力学(MP外荷载作用下的结构内弯矩)2.桁架 桁架各杆只有轴力，所以位移计算公式为：=NNPF FdsEANNPNNPF FF F ldsEAEA4.拱NNPPF FMMdsdsEIEA 拱轴截面轴向变形的影响通常不能忽略：3.组合结构NNPPF F lMMdsEIEA 用于弯曲杆用于二力杆N NPN NPN NPN NPN NP建筑力学建筑力学(N 单位荷载1作用下的结构内轴力)外荷载作用下的结构内轴力)(NP例4-2-1 求简支梁中点竖向位移 CVqxAMPQPql/2xAM0.5ABCl/2l/2FP=1ABqCl/2l/2Q建筑力学建筑力学解：)0()(21lxxlqxMP)20(21lxxM建筑力学建筑力学/2/223004341112()()222115()()()23242384llCMqxqx lx dxlxx dxEIEIqllqllEIEI CV4-3 图乘法 图乘法是一种求积分的简化计算方法，它把求积分的运算转化为求几何图形的面积与竖标的乘积的运算。一、图乘法基本公式为方便讨论起见，把积分 改写成dsEIMMPdsEIMMki。建筑力学建筑力学00111111()BikABikABiABABAM MdsEIM M dxEIM dEIxtgdEItgxdEIx tgEIyEI()EIconst()kM d xd()iMxtg()BoAxdx()oox tgyMi图yxMk图d=MkdxMk(x)xx0dxAByxMi(x)=xtgxx0ABy0建筑力学建筑力学说明：1）条件：AB杆为棱柱形直杆，即EI等于常数；Mi与Mk图形中有一个是直线图形。2）y0与的取值：y0一定取自直线图形，则取自另一个图形，且取的图形的形心位置是已知的，不必另行求解。3）若y0与在杆轴或基线的同一侧，则乘积y0取正号；若y0与不在杆轴或基线的同一侧，则乘积y0取负号。建筑力学建筑力学二、常见图形的几何性质l/2l/2二次抛物线h23lhl二次抛物线h二次抛物线3l/4l/4hlh315l/83l/8二次抛物线hlh32建筑力学建筑力学三、图乘法举例 运用图乘法进行计算时,关键是对弯矩图进行分段和分块,尤其是正确的进行分块。1203132MMy1203132MMyM1M2y02l/3l/3M1M2y02l/3l/3建筑力学建筑力学 分段 图均应分为对应的若干段，然后进行计算。PMM、DBCDPPPPAABCMMMMMMMMdsdsdsdsEIEIEIEIABCDABCDMPM建筑力学建筑力学分块只对 或 中的一个图形进行 分块，另一个图形不分块。PMM1212()BBBBPPPPPAAAAMMM MMMMMMdsdsdsdsEIEIEIEIABABMMP1MP2建筑力学建筑力学例4-3-1 求 。AV解：作 图 图，如上图所示。MPM分段：，分为AC、CB两段。分块：图的CB段分为两块。MPMM1122331211()AVyyyEIEIMPMACBEI1EI21231FPCBy1y2y3EI1EI2A建筑力学建筑力学 此题还可以这样处理：先认为整个AB杆的刚度是 ，再加上刚度为 的AC段，再减去刚度为 的AC段即可。2EI1EI2EI112222212111AVyyyEIEIEICBACACA122MPEI2EI2EI1EI2+-FPACBACACMEI2EI2EI1EI2y2y2+-y11建筑力学建筑力学例4-3-2 求 ,EI等于常数。CV解：作 图 图，如右图所示。MPM分段：，分为AC、CB两段。分块：图的AC段分为两块。MPMPM1242 133 212 222 11y 12336)4311632(2y EIEIyyEICV167.22)122134(1)(12211BACBACB2m2m2kN/m16A4C121MPM2y2y1建筑力学建筑力学例4-3-3 求 ,EI等于常数。B作 图 图，如下页图所示。MPM8kN5kN2kN/m12kN.m4kN.m7kN4m4mACB解：建筑力学建筑力学1116 8642218 142 11/2y 22120(412)333y 32324433 313(1 1/2)24y 1122331112032 3()(644)233418013.33(328)()3ByyyEIEIEIEI1/21My12y381244MP图13y2图1ACBBAC（kN.m)建筑力学建筑力学建筑力学建筑力学例4-3-4 求 ,EI等于常数。B解：作 图及 图，如右所示。MPM分段：，分为AB、BC两段。分块：图的BC段分为两块。MPMPMM图6kN/m7kN6kN.m17kN2m4mABC1/61/62/31/312y3y12yPM图1412613（kN.m)112212122 1414233912421224(146)233333yy 3324 1232313y 1122331()124221(1432)933315617.33()9ByyyEIEIEIEI1/61/62/31/312y3y1M图2yPM图1412613（kN.m)建筑力学建筑力学例4-3-5 求CH，EI等于常数。解：ABC2kN/mEIEI2kN/m4m2m作MP图和 图见下页图。分块：MP图的AB段分为两块。M建筑力学建筑力学1122331832 421.53342324 423312 48(124)42yyy 1122331()1832(1.528 4)3316.67(25.3332)()CHyyyEIEIEIEI 1242y3=41MP图(kN.m)2m2y22y1M图13ABC4建筑力学建筑力学谢 谢谢谢观看/欢迎下载BY FAITH I MEAN A VISION OF GOOD ONE CHERISHES AND THE ENTHUSIASM THAT PUSHES ONE TO SEEK ITS FULFILLMENT REGARDLESS OF OBSTACLES.BY FAITH I BY FAITH
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