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定定 义义几何意义几何意义性性 质质二重积分二重积分定定 义义几何意义几何意义性性 质质三重积分三重积分一、主要内容一、主要内容定义定义 设设),(yxf是有界闭区域是有界闭区域 D 上的有界函数，将上的有界函数，将闭区域闭区域 D 任意分成任意分成n个小闭区域个小闭区域1 ，,2 ，n ，其中，其中i 表示第表示第i个小闭区域，也表示它的面积，个小闭区域，也表示它的面积，在每个在每个i 上任取一点上任取一点),(ii ，作乘积作乘积 ),(iif i ，),2,1(ni，并作和并作和 iiniif ),(1，1 1、二重积分的定义、二重积分的定义如如果果当当各各小小闭闭区区域域的的直直径径中中的的最最大大值值 趋趋近近于于零零时时，这这和和式式的的极极限限存存在在，则则称称此此极极限限为为函函数数),(yxf在在闭闭区区域域 D 上上的的二二重重积积分分，记记为为 Ddyxf),(，即即 Ddyxf),(iiniif ),(lim10、二重积分的几何意义、二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值负值性质性质当当 为常数时，为常数时，k.),(),(DDdyxfkdyxkf 性质性质 Ddyxgyxf),(),(.),(),(DDdyxgdyxf 、二重积分的性质、二重积分的性质性质性质对区域具有可加性对区域具有可加性.),(),(),(21 DDDdyxfdyxfdyxf )(21DDD 性质性质 若若 为为D的面积的面积.1 DDdd 性质性质若在若在D上，上，),(),(yxgyxf.),(),(DDdyxgdyxf 特殊地特殊地.),(),(DDdyxfdyxf 设设M、m分别是分别是),(yxf在闭区域在闭区域 D 上的最上的最大值和最小值，大值和最小值，为为 D 的面积，则的面积，则 DMdyxfm ),(（二重积分估值不等式）（二重积分估值不等式）性质性质 设函数设函数),(yxf在闭区域在闭区域D上连续，上连续，为为D的面积，则在的面积，则在 D 上至少存在一点上至少存在一点),(使得使得 ),(),(fdyxfD.性质性质（二重积分中值定理）（二重积分中值定理）、二重积分的计算、二重积分的计算,:bxaD ).()(21xyx X型型.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf X-型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.（）直角坐标系下（）直角坐标系下 Y型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于x轴轴的直线与区域边界相交不多于两个交点的直线与区域边界相交不多于两个交点.),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf ,:dycD ).()(21yxy Y型型.)sin,cos()()(21 rdrrrfd 1)sin,cos(Drdrdrrf ,:1 D).()(21 r（）极坐标系下（）极坐标系下.)sin,cos()(0 rdrrrfd,:2 D).(0 r 2)sin,cos(Drdrdrrf 3)sin,cos(Drdrdrrf .)sin,cos()(020 rdrrrfd,20:3 D).(0 r5 5、二重积分的应用、二重积分的应用(1)体积体积的的体体积积为为之之间间直直柱柱体体与与区区域域在在曲曲面面Dyxfz),(DdxdyyxfV.),(设设S曲面的方程为：曲面的方程为：).,(yxfz 曲面曲面S的面积为的面积为 ;122dxdyAxyDyzxz (2)曲面积曲面积当薄片是均匀的，重心称为形心当薄片是均匀的，重心称为形心.,1 DxdAx.1 DydAy DdA 其中其中,),(),(DDdyxdyxxx .),(),(DDdyxdyxyy 设设有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的闭闭区区域域D，在在点点),(yx处处的的面面密密度度为为),(yx，假假定定),(yx 在在D上上连连续续，平平面面薄薄片片的的重重心心为为(3)重心重心薄片对于薄片对于x轴的转动惯量轴的转动惯量薄片对于薄片对于y轴的转动惯量轴的转动惯量,),(2 DxdyxyI .),(2 DydyxxI 设有一平面薄片，占有设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域面上的闭区域D，在点在点),(yx处的面密度为处的面密度为),(yx，假定，假定),(yx 在在D上连续，平面薄片对于上连续，平面薄片对于x轴和轴和y轴的转动惯量为轴的转动惯量为(4)转动惯量转动惯量薄片对薄片对轴上单位质点的引力轴上单位质点的引力z 设有一平面薄片，占有设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域面上的闭区域D，在点在点),(yx处的面密度为处的面密度为),(yx，假定，假定),(yx 在在D上连续，计算该平面薄片对位于上连续，计算该平面薄片对位于z 轴上的点轴上的点),0,0(0aM处的单位质点的引力处的单位质点的引力)0(a,zyxFFFF ,)(),(23222 dayxxyxfFDx ,)(),(23222 dayxyyxfFDy .)(),(23222 dayxyxafFDz 为引力常数为引力常数f(5)引力引力6 6、三重积分的定义、三重积分的定义设设),(zyxf是空间有界闭区域是空间有界闭区域上的有界函上的有界函数，将闭区域数，将闭区域任意分成任意分成n个小闭区域个小闭区域1v，2v,nv，其中，其中nv 表示第表示第i个小闭区域，也表示它的个小闭区域，也表示它的体积体积,在每个在每个iv上任取一点上任取一点),(iii 作乘积作乘积iiiivf ),(，),2,1(ni，并作和，并作和,如果当各如果当各小闭区域的直径中的最大值小闭区域的直径中的最大值趋近于零时，这和式趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数的极限存在，则称此极限为函数),(zyxf在闭区域在闭区域上的三重积分，记为上的三重积分，记为 dvzyxf),(iiiniivf ),(lim10 .7、三重积分的几何意义、三重积分的几何意义表示空间区域的体积表示空间区域的体积时时当当 Vdvzyxf,1),(8 8、三重积分的性质、三重积分的性质类似于二重积分的性质类似于二重积分的性质9 9、三重积分的计算、三重积分的计算.);()();,(),(:2121bxaxyyxyyxzzyxz .),(),()()(),(),(2121 baxyxyyxzyxzdzzyxfdydxdvzyxf.,),(),(21czcDyxzyxz .),(),(21 zDccdxdyzyxfdzdvzyxf()直角坐标直角坐标 .,sin,coszzryrx ()柱面坐标柱面坐标.),sin,cos(),(dzrdrdzrrfdvzyxf ,dzrdrddv .cos,sinsin,cossin rzryrx,sin2 ddrdrdv dxdydzzyxf),(.sin)cos,sinsin,cossin(2 ddrdrrrrf()球面坐标球面坐标1010、三重积分的应用、三重积分的应用.dvM 其其中中,1 dvxMx 设设物物体体占占有有空空间间闭闭区区域域，在在点点),(zyx处处的的密密度度为为),(zyx，假假定定),(zyx 在在 上上连连续续，则则该该物物体体的的重重心心为为()重心重心,1 dvyMy.1 dvzMz,2 dvzIxy()转动惯量转动惯量 设设物物体体占占有有空空间间闭闭区区域域，在在点点),(zyx处处的的密密度度为为),(zyx，假假定定),(zyx 在在 上上连连续续，则则该该物物体体对对坐坐标标面面,坐坐标标轴轴及及原原点点的的转转动动惯惯量量为为,2 dvxIyz,2 dvyIzx,)(22 dvzyIx,)(22 dvxzIy,)(22 dvyxIz.)(222 dvzyxIo
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