《空间曲线方程式》PPT课件

第六节第六节 空间曲线及其方程空间曲线及其方程设有两块曲面S1,S2,它们的方程依次为:S1:F(x,y,z)=0S2:G(x,y,z)=0S1,S2的交线C上的点一定同时满足这两个方程,而不在交线上的点绝不会同时满足这两个方程.因此0),(0),(zyxGzyxF即为交线C的方程,称为空间曲线C的一般方程.(1)x y zo S1S2C例1:球面 x 2+y 2+z 2=32与平面 z=2的交线是一个圆,它的一般方程是x 2+y 2+z 2=32 z=2例2:方程组222222)2()2(ayaxyxaz表示怎样的曲线?解:方程 表示球心在原点O,半径为a的上半球面.222yxaz方程 表示母线平行于z 轴的圆柱面.222)2()2(ayax它的准线xOy面上的圆,圆心在点.2),0,2(aa半径为所以方程组表示上述半球面与圆柱面的交线.Oxyz将曲线C上动点的坐标x,y,z都表示成一个参数t的函数.x=x(t)y=y(t)(2)z=z(t)当给定 t=t1时,就得到C上一个点(x,y,z),随着 t的变动便可得曲线C上的全部点.方程组(2)叫做空间曲线的参数方程.例3:如果空间一点 M 在圆柱面 x2+y2=a2 上以角速度 绕 z 轴旋转,同时又以线速度v 沿平行于z 轴的正方向上升(其中,v都是常数),那末点M 构成的图形叫做螺旋线,试建立其参数方程.解:取时间t为参数,设当t=0时,动 点 位 于 x 轴 上 的 一 点 A(a,0,0)处,经过时间t,由A运动到M(x,y,z),M在xOy面上的投影为M(x,y,0).xyzhAOMtM(1)动点在圆柱面上以角速度 绕z轴旋转,所以经过时间t,AOM =t.从而x=|OM|cosAOM =acos ty=|OM|sinAOM =asin t(2)动点同时以线速度v沿 z 轴向上升.因而z=MM =vt 得螺旋线的参数方程x=acos ty=asin tz=vt 注注:还可以用其它变量作参数.xyzAOMtMyxzAOMtM例如:令=t.为参数;螺旋线的参数方程为:x=acos y=asin z=b.vb 这里当从 0变到 0+是,z由b 0变到 b 0+b,即M点上升的高度与OM 转过的角度成正比.特别,当=2 时,M点上升高度h=2 b,h在工程上称 h=2 b为螺距.设空间曲线C的一般方程F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0(3)由方程组(3)消去z后得方程H(x,y)=0 (4)方程(4)表示一个母线平行于z 轴的柱面,曲线C 一定在曲面上.以曲线C为准线,母线平行于z 轴(即垂直xOy面)的柱面叫做曲线C关于xOy面的投影柱面,投影柱面与xOy面的交线叫做空间曲线在xOy面上的投影曲线,或简称投影.所以方程所表示的曲线必定包含了空间曲线C在xOy面上的投影.H(x,y)=0z=0注:同理可得曲线在yOz面或xOz面上的投影曲线方程.例4:已知两个球面的方程分别为:x2+y2+z2 =1和 x2+(y 1)2+(z1)2 =1求它们的交线C在xOy面上的投影曲线的方程.解:联立两个方程消去 z,得01)21(4222zyx1)21(4222yx这是母线平行于z 轴的椭圆柱面,两球面的交线C在xOy面上的投影曲线方程为例5:设一个立体由上半球面 和锥面224yxz)(322yxz所围成,求它在xoy面上的投影.解:半球面与锥面的交线为)(34:2222yxzyxzC由方程消去 z,得 x2+y2=1yxzOx2+y2 1这是一个母线平行于z 轴的圆柱面.于是交线C 在xoy面上的投影曲线为x2+y2=1z=0这是xoy面上的一个圆.所以,所求立体在xoy面上的投影为:x2+y2 11.定义:由x,y,z的二次方程:ax2+by2+cz2+dxy+exz+fyz+gx+hy+iz+j=0所表示的曲面,称为二次曲面.其中a,b,i,j 为常数.研究方法是采用平面截痕法.zoxyO2 用平面z=k去截割(要求|k|c),得椭圆kzckbyax2222221当|k|c 时,|k|越大,椭圆越小;当|k|=c 时,椭圆退缩成点.2.几种常见二次曲面.(1)椭球面1 用平面z=0去截割,得椭圆012222zbyax1222222Czbyax3 类似地,依次用平面x=0,平面y=0截割,得椭圆:,012222xczby.012222yczax特别:当a=b=c时,方程x2+y2+z2=a2,表示球心在原点o,半径为a的球面.(2)椭圆抛物面:zbyax22221 平面 z=k,(k 0)截割,截线是平面 z=k上的椭圆.kzkbyax2222k=0时,为一点O(0,0,0);随着k增大,椭圆也增大.zyxo2 用平面 y=k去截割,截线是抛物线,2222kyzbkax.,022axzk为时当3 类似地，用平面 x=k 去截割,截线是抛物线.kxzbyak2222.,022byzk为时当第七节第七节 平面及其方程平面及其方程1.法向量:若一非零向量n垂直于一平面.则称向量n为平面 的法向量.注注:1 对平面,法向量n不唯一;2 平面 的法向量n与 上任一向量垂直.2.平面的点法式方程设平面过定点 M0(x0,y0,z0),且有法向量n=A,B,C.对于平面上任一点M(x,y,z),向量M0M与n垂直.yxzM0MnOn M0 M=0而M0 M=x x0,y y0,z z0,得:A(x x0)+B(y y0)+C(z z0)=0称方程(1)为平面的点法式方程.(1)例1:求过点(2,3,0)且以 n=1,2,3为法向量的平面的方程.解:根据平面的点法式方程(1),可得平面方程为:1 (x 2)2 (y+3)+3 (z 0)=0即:x 2y+3z 8=0 nM3M2M1解:先找出该平面的法向量n.由于n与向量M1M2,M1M3都垂直.而M1M2=3,4,6 M1M3=2,3,1可取n=M1M2 M1M3132643kji=14i+9j k例2:求过三点M1(2,1,4),M2(1,3,2)和M3(0,2,3)的平面的方程.所以,所求平面的方程为:14(x 2)+9(y+3)(z 4)=0即:14x+9y z 15=0 1.定理1:任何x,y,z的一次方程.Ax+By+Cz+D=0都表示平面,且此平面的一个法向量是:n=A,B,C证:A,B,C不能全为0,不妨设A 0,则方程可以化为0)0()0()(zCyBADxA它表示过定点 ,且法向量为 n=A,B,C的平面.)0,0,(0ADM注：一次方程:Ax+By+Cz+D=0 (2)称为平面的一般方程.例2:已知平面过点M0(1,2,3),且平行于平面2x 3y+4z 1=0,求其方程.解:所求平面与已知平面有相同的法向量n=2 3,42(x+1)3(y 2)+4(z 3)=0即:2x 3y+4z 4=02.平面方程的几种特殊情形(1)过原点的平面方程由于O(0,0,0)满足方程,所以D=0.于是,过原点的平面方程为:Ax+By+Cz=0(2)平行于坐标轴的方程考虑平行于x轴的平面Ax+By+Cz+D=0,它的法向量n=A,B,C与x 轴上的单位向量 i=1,0,0垂直,所以n i=A 1+B 0+C 0=A=0于是:平行于x 轴的平面方程是 By+Cz+D=0;平行于y 轴的平面方程是 Ax+Cz+D=0;平行于z 轴的平面方程是 Ax+By+D=0.特别:D=0时,平面过坐标轴.(3)平行于坐标面的平面方程平行于xOy 面的平面方程是 Cz+D=0;平行于xOz 面的平面方程是 By+D=0;平行于yOz 面的平面方程是 Ax+D=0.例3:求通过x 轴和点(4,3,1)的平面方程.解:由于平面过x 轴,所以 A=D=0.设所求平面的方程是 By+Cz=0又点(4,3,1)在平面上,所以3B C=0 C=3B所求平面方程为 By 3Bz=0即:y 3z=0 例4:设平面与x,y,z 轴的交点依次为P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)三点,求这平面的方程.解:设所求平面的方程为Ax+By+Cz+D=0因P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)三点都在这平面上,于是aA+D=0bB+D=0cC+D=0解得:cDCbDBaDAoyPxzQR所求平面的方程为:0DzcDybDxaD即:1czbyax(3)1.定义:两平面的法向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角.1n1n22若已知两平面方程是:1:A1x+B1y+C1z+D1=0法向量 n1=A1,B1,C12:A2x+B2y+C2z+D2=0法向量 n2=A2,B2,C2,),(),(),(21212121两者中的锐角和应是的夹角与平面nnnnnn),cos(21nn|2121nnnn222222212121212121|CBACBACCBBAAcos所以2.平面1与2 相互垂直 A1A2+B1B2+C1C2=0平面1与2 相互平行212121CCBBAA规定:若比例式中某个分母为0,则相应的分子也为0.例6:一平面通过两点M1(1,1,1)和M2(0,1,1),且垂直于平面 x+y+z=0,求它的方程.解:设所求平面的一个法向量 n=A,B,C已知平面 x+y+z=0的法向量 n1=1,1,1 所以:n M1M2 且n n1 而 M1M2=1,0,2于是:A (1)+B 0+C (2)=0 A 1+B 1+C 1=0解得:B=CA=2C取C=1,得平面的一个法向量n=2,1,1所以,所求平面方程是2 (x 1)+1 (y 1)+1 (z 1)=0即:2x y z=0例:设P0(x0,y0,z0)是平面 Ax+By+Cz+D=0外一点,求P0到这平面的距离d.解:在平面上任取一点P1(x1,y1,z1)P0P1Nn则 P1P0=x0 x1,y0 y1,z0 z1过P0点作一法向量 n=A,B,C于是:01jPrPPdn|01nnPP222101010)()()(CBAzzCyyBxxA又 A(x0 x1)+B(y0 y1)+C(z0 z1)=Ax0+By0+Cz0+D(Ax1+By1+C z1+D)=Ax0+By0+Cz0+D所以,得点P0到平面Ax+By+Cz+D=0的距离:222000CBADCzByAxd(4)例如:求点A(1,2,1)到平面:x+2y+2z 10=0的距离13322110122211222d