平稳时间序列模型及其特征

第一章 平稳时间序列模型及其特征第一节 模型类型及其表示一、自回归模型( AR)由于经济系统惯性的作用，经济时间序列往往存在着前后依存关 系。最简单的一种前后依存关系就是变量当前的取值主要与其前一时 期的取值状况有关。 用数学模型来描述这种关系就是如下的一阶自回 归模型：X = Xt-1 + t(常记作AR(1)。其中 X 为零均值(即已中心化处理)平稳序列，为X对X-1的依赖程度， t为随机扰动项序列(外部冲击)。如果 Xt 与过去时期直到 Xt-p 的取值相关，则需要使用包含 Xt1 ,X-p在内的p阶自回归模型来加以刻画。P阶自回归模型的一 般形式为：Xt= 1 Xt - l+ 2 Xt -2+ p Xt - p+ t为了简便运算和行文方便，我们引入滞后算子来简记模型。设 B为滞后算子，即 BX=X-1,则 B(Bk-1X)二Bkx二X-k B(C)=C(C 为常数)。利用这些记号，(X = 1BX+ 2BX+ 3Xt+ + pBXt+ t从而有：1- 1B- 2B- pBp)Xt = t记算子多项式( B) = ( 1- 1B- 2B- pB),则模型可以表示成( B) X=(例如，二 阶自回归模型 Xt=0.7Xt-i +0.3Xt-2 +0.3Xt-3 + t可写成(1-0.7B-0.3B 2) Xt= t二、滑动平均模型( MA)有时，序列X的记忆是关于过去外部冲击值的记忆，在这种情况下， Xt 可以表示成过去冲击值和现在冲击值的线性组合，即Xt= t - 9 1 t-1 - 9 2 t-2 - 9 q t-q(此模型常称为序列X的滑动平均模型，记为 MA(q),其中q为滑动 平均的阶数，9 1,929 q为参滑动平均的权数。相应的序列 Xt称为 滑动平均序列。使用滞后算子记号， (X= (1- 9 iB- 9 2B2- 9 qB1) qt= 9 (B) t (三、自回归滑动平均模型如果序列 X的当前值不仅与自身的过去值有关，而且还与其 以前进入系统的外部冲击存在一定依存关系， 则在用模型刻画这种动 态特征时，模型中既包括自身的滞后项，也包括过去的外部冲击，这 种模型叫做自回归滑动平均模型，其一般结构为：Xt= lXt-1 + 2Xt-2 + pXt-p + t - 9 1 t-1 - 9 2 t-2 -9 q t-q(简记为ARMA(p, q)。利用滞后算子，此模型可写为( B) Xt=9 (B) t(第二节 线性时间序列模型的平稳性、可逆性和传递性首先介绍两个概念。 序列的传递形式：设 Yt为随机序列， t 为白噪声，若 Y 可表示为：Yt= t+G t-1 +G t-2 +G t-k +=G(B) t且|Gk|，则称 Yt具有传递形式，此时 Yt是平稳的。系1数 G称为格林函数。它描述了系统对过去冲击的动态记忆性 强度。 序列的逆转形式：若 Y可表示为： t = Yt - n i Y t-i - n 2 Yt-2 - n k Yt-k -= n (B) Y t且|k ，则称 Yt具有逆转形式(或可逆形式)。1一、MA模型1. MA模型本身就是传递形式。2. MA(q)总是平稳的(由上一章的例)，MA(乂)在系数级数绝对 收敛的条件下平稳。3. MA(q濮型的可逆性条件。先以MA( 1) (Yt= t- 0 1 t-i)为例进行分析。MA(1)的可逆性条件为：I 11。如果引入滞后算子表示 MA(1),则Y= (1- 0 1B) t，可逆条件I 11等价于0 (B)=1- 0 1B=0的根全在单位圆外。对于一般的MA(q)模型，利用滞后算子表示有：Y= ( 1- 0 1B- 0 2B2- 0 qEq) t = 0 (B) t其可逆的充要条件是：B (B) =0的根全在单位圆外(证明见Box-Jenkins , P79)。在可逆的情况下，服从 MA(q)模型的序列可以表示成无穷阶的 AR 模型：-10 (B)Yt= tMA(q)的可逆域：使0 (B) =0的根全在单位圆之外的系数向量(01 ,0 2, , 0 q)所形成的集合。例：求MA(2)的可逆域。解：由Yt t 1 t1 2 t 2，其特征方程为： 该方程的两个根为：由二次方程根与系数的关系，有当MA(2)平稳时，根的模| 1与2都必须大于1,因此必有： 由根与系数的关系，可以推出如下式子：由于1、2是实数，1与2必同为实数或共轭复数。又因为I i| 1 , 因此故反之，如果| 2 1，且2 1 1。那么从I 21可以推出至1 2少有一个I i 1，例如，假设11 1，则根据1 (1丄)(1丄)1可推出1 2(1丄)(1丄)0，由1丄0可以推出1丄 0，从而|1。因此，1 2 1 2(B) 11B 2B20的根在单位圆之外。(平稳域为一三角形)。AR模型1. AR(P)模型本身就是一种逆转形式。2. 平稳性。先以AR(1)( Yt二M +)，进行分析。AR(1)平稳的条件为| 1 1，它等价于(B)=1- iB=0的根在单位 圆外。3、在平稳的情况下，AR(1)有传递形式：(1- iB) Yt=Yt1 t j1 iBj o一般地，对于 AR(P)模型：(B) Y t= t，序列 Yt平稳的充要 条件是：(B)=0的根全在单位圆外。此时，Y有传递形式：Yt= -1(B) tAR(P)的平稳域：使(B)=0的根全在单位圆外的AR系数向量(1, 2, , P,)的全体形成的集合。练习：求AR(1)与AR(2)的平稳域。三、ARMA (p,q)模型1、平稳性与传递形式首先考察 ARMA(1 , 1)的平稳性： Yt F 1Y t-1= 1 t-1Yt平稳1 1 | 1 (与AR (1)的平稳域相同)此结论表明，ARMA (1,1)序列的平稳性仅与自回归系数有关，而与滑动平均系数无关。而且平稳条件与 AR (1)的平稳条件相同。 在平稳的条件下，Yt有上述形式的传递形式。一般地，服从ARMA (p,q)模型的序列Yt平稳的充要条件是： (B) =0的根全在单位圆外。在平稳的条件下，Yt有传递形式 Yt二0 -1 (B)0( B) t2、可逆性 对于 ARMA ( 1,1)，假定可逆形式为2e t= n( B) Yt= (1 n 21上式表明，MA (q)模型的记忆仅有q个时段，Yt的自协方差 函数或自相关函数(ACF) q步截尾。这是MA (q)模型的典型特征。MA (q)的典型特征：p s在q步截尾。Bn 2B 一n k B k ) Yt代入 ARMA ( 1,1)的滞后算子表示形式，采用类似前面的方法， 比较同次冥系数可得e t= Y t - (0 1-0 i) 丫t-i -0 i (0 i-0 i) 丫t-2 -0 i k-1 (0 i - 0 i) 丫t-k -根据前面的定义(可逆性定义)，应有丨0 1 1 1。因此，ARMA (1,1)可逆的条件是丨0 1 1 1,它仅与滑动系 数有关，而与自回归系数无关。而且可逆条件与 MA (1)的可逆条 件相同。一般地，服从ARMA (p,q)模型的序列Yt，其具有可逆性的条件 是： 0( B) =0 的根全在单位圆外。在可逆的条件下, Yt 的逆转形 式为 e t=0 -1( B)0( B) Yt3、传递性与可逆性的重要意义第三节线性时间序列模型的自相关函数与偏自相关函数自相关函数1、MA( q)模型的自相关函数设 Yt服从：qYt= 0( B) t = t _0 1 t-1 -B q t-q= 0 j t-jj 0则 Yt的s阶自协方差函数为:(0 0 0 s+ 0 1 0 s+1+ 0 q-s 0 q)0(sq)(0 0= -1 )由上式，有 Y= c * AR (p)模型的自相关函数首先考察AR (1) (Yt= 1Yt-1+ t )的自相关函数的特征。Yt的自协方差函数为：Y=Cov( Yt, Y t+s) = 1 Y-1 ( 1+0 12 + 0 q2)故 Yt的自相关函数(ACF)为：P s=y/ yq s q2qs 1 s 1 从而 Y= 1 Y-1= 0 12 u s-2= is Y自相关函数( ACF )为：p s= Y/ Y= is当I i |0,即自相关函数p s随S的增大而衰减至零。这种现象称为拖尾性。对于一般的AR (p),序列的自相关函数的特征分析如下：设Yt= iYt-i+ 2丫t-2+ + pYt-p+ e t= (B) Y t+ e t则自协方差函数：Y= 1 Y-i+ 2 Y-2+ + p Y-p这是一个关于 s 的线性差分方程。上式两边同除y,得关于自相关函数(ACF)的线性差分方程。p s= 1 p s-l+ 2 p s-2+ p p s-p在AR(p)平稳的条件下， (B)=0有p个在单位圆外的根a 1、a 2, a p。根据线性差分方程解的有关理论，自相关函数(ACF)服从的 线性差分方程 (B)p s=0 的通解为：p s=c1a 1-s+ c2a 2-s + cpa p-s由于|a j | 1,因此p s将按指数衰减(实根情形)或正弦振荡衰减(复根情形)。这种特性称为AR (p)的拖尾性。AR (p)的典型特征是：p s拖尾(衰减)3、ARMA ( p,q)的自相关函数设ARMA (p,q)的形式为：Yt= 1Yt-1 + 2丫t-2+ + pYt-p+ e t -0 1 e t-1-0 q e t-q则Yt的s阶自协方差函数为:Y = 1 Y-l+ 2 Y-2+ + pY-p+E(Yt t+s) _0 lE(Yt t+S-1)-_0 qE(Yt t+S-q) 当Ow sq 时，&q0, t+s-qt,从而 t+S, t+S-1，, t+S-q 全在t时刻以后，由于Yt与未来的外部冲击不相关，因此 Y中后面 的项全为零。Y= 1 Y-1+ 2 y-2+ + p Y-P它只同自回归系数有关。两边冋除 Y，得 P s= 1 p s-1 + 2 P s-2+ p p s-p(s q)即ARMA (p,q)的自相关函数(ACF)在sq时，与AR (p) 的自相关函数所满足的线性差分方程完全相同。借用前面关于AR (p)的自相关函数特征的讨论可知，ARMA (P,q)的自相关函数(ACF)在q以后随s的增长按指数衰减或以正 弦振荡衰减，即仍体现出拖尾特征。二、偏自相关函数从前面的自相关函数的讨论中可看出，自相关函数的截尾性是MA (q)的独有特征，但自相关函数的拖尾性却是 AR (p)与ARMA (P,q)共有的特征，尽管ARMA (p,q)的自相关函数在q阶后开始 按指数衰减或以正弦振荡衰减，但这还不足于区别AR (p)与ARMA(p,q),因为在实际应用中很难区分是否是从 q阶开始衰减的。因此，还需寻找序列的其他统计特征。这就是偏自相关函数的特征。设Yt是一随机序列，所谓Yt的s阶偏自相关系数，是指扣出 中间s-1个项的影响之后，Yt与Yt+s的相关系数。为了考察偏自相关 函数的特性，我们分析如下：设 Yt是一零均值平稳序列，我们设想用 Yt-i, Yt-2，Yt- s 的s阶自回归模型去拟和 Yt,即建立如下模型：Yt= siYt-i+ S2Yt-2+ ssY t-s+ et其中et为误差项。估计模型的常用方法是最小二乘法，即选择si, S2,， sss使模型的残差方差 Q=E(Yt- Sj Yt- j ) 2=Eet2 达到最小。根据极值 ji条件应有：Q/ Sj =0(j=1 , 2,，s)据此，可推出 si, s2,， ss所满足的方程为其中p k(k=i，s)为Yt的k阶自相关系数。此方程组称为Y ule-Walker 方程。可以证明， ss是在给定Y t-1, Y t-2，Y t-s+1的条件，Yt和 Yt- s之间的条件相关系数，即偏相关系数。 ss就为 Yt的偏相 关函数。要考察 Yt服从自回归过程的情况下，偏自相关函数的特征，就需要由Yule-Walker方程解出 ss的表达式，然后进行分析。由于求解过程比较复杂。在此我们通过另外一条途径考察 ss的特性。假定丫汀的真实过程为AR (p) (p阶自回归)，我们用s阶自回归过程去逼近，则模型的残差方差为sQ=E (Yt- sj Yt- j ) 2j 1ps=E ( j - sj) Yt-j+ t- sj Yt- j ) 2j 1j pl2(Tps=E ( j - sj) Yt-j- sj Yt- j ) 2+j ij p12(T则当且仅当时，Q达到最小值上式表明，当s p时， ss=0,即 pp= p是AR (p)模型偏自 相关函数 ss, s 1中不为零的最后一项。这种偏自相关 p步截 尾是AR (p)的典型特征。对于AR (p)和ARMA (p,q)模型，在可逆的条件下，有逆转 形式 t= 0 -1(B) (B) Yt这是一个无穷阶的 AR模型，根据前面的讨论知，Yt的偏自 相关函数不会出现截尾现象，而是无限延伸的。 (AR (p)是p阶截 尾的，AR (心)不会截尾)可以证明，其偏自相关函数呈指数衰减 或正弦波衰减至此，我们已完全分析了各种线性时间序列模型的特征。