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第七七章 第八节二次曲面二次曲面二次曲面二次曲面三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍.研究二次曲面特性的基本方法是平行截线法平行截线法.其基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形统称为二次曲面二次曲面.222123123a xa ya zb xyb yzb zx1230c xc yc zd(二次项系数不全为 0)zyxO1 1.椭球面椭球面),(1222222为正数cbaczbyax(1)范围：czbyax,(2)与坐标面的交线：椭圆,012222zbyax,012222xczby 012222yczax1222222czbyax与)(11czzz的交线为椭圆：1zz(4)当 ab 时为旋转椭球面旋转椭球面;同样)(11byyy的截痕）（axxx11及也为椭圆.当abc 时为球面球面.(3)截痕:1)()(212221222222zcyzcxcbcacba,(为正数)z2.抛物面抛物面zqypx2222(1)椭圆抛物面(p,q 同号)(2)双曲抛物面zqypx2222(p,q 同号)zyxOzyxO特别,当 p=q 时为绕 z 轴的旋转抛物面.马鞍，故称马鞍面）（其形状如3.双曲面双曲面(1)单叶双曲面by 1)1上的截痕为平面1zz 椭圆.时,截痕为22122221byczax(实轴平行于x 轴；虚轴平行于z 轴）1yy),(1222222为正数cbaczbyax1yy 平面 上的截痕情况:双曲线:zxyO虚轴平行于x 轴）by 1)2时,截痕为0czax)(bby或by 1)3时,截痕为22122221byczax(实轴平行于z 轴;1yy 相交直线:双曲线:0zxyOzxyO(2)双叶双曲面),(1222222为正数cbaczbyax上的截痕为平面1yy 双曲线上的截痕为平面1xx 上的截痕为平面)(11czzz椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:双曲线222222czbyax单叶双曲面11双叶双曲面P18 Ozxyzxy4.4.椭圆锥面椭圆锥面),(22222为正数bazbyax上的截痕为在平面tz 椭圆在平面 x0 或 y0 上的截痕为过原点的两直线.1)()(2222t byt axtz,可以证明,椭圆上任一点与原点的连线均在曲面上.(椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换得到)xyzO当k取各种实数值时，22(3)(3)kxykz各表示什么曲面。解：解：曲面的类型取决于各项系数的符号,情形如下：k的值k-3k=-3-3k3k+3-0+k-3-0+曲面的类型椭圆抛物面抛物柱面双曲抛物面两个相交平面双曲抛物面例例3.列表讨论各种方程 画出由下列不等式组所确定的立体的简图：01,x解解:这立体是三个平面x=0,y=0的三棱柱，22xyz之下的部分，主要交线有以下三条：220(1)xxyz即20 xzy是yOz面上的抛物线；220(2)yxyz即20yzx是zOx面上的抛物线；例例4.01,yx 220zxy1xy和所围成在xOy平面之上，旋转抛物面221(3)xyxyz是抛物线，在zOx面上投影是 20,221.yzxx简图如下：20 xzy20yzx
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