巧用参数分离法解决解析几何中的定值问题

巧用参数分离法解曲线系过定点问题浙江省海盐县元济高级中学 崔宝法 浙江师范大学 2003级教育硕士 刘春苗 (邮编 314300) 平面解析几何中的定值问题是指按照一定条件构成的几何图形或数量关系，当某些元 素在一定范围内变化时，与它有关的量保持不变数值的一类问题。在定值问题中，其中有 一类是判定或证明平面曲线系过定点的问题。解决此类问题的方法很多，限于篇幅，下面 只介绍用“参数分离法”解决曲线系过定点的问题。一、含一个参变量的曲线系过定点的问题模式1、若经过参数分离后，能将曲线系方程整理成f (X, y) +九g(x, y)二0 (九为参数)，则这个曲线系就是过f (x, y)二0和g (x, y)二0交点的曲线系，解方程组f (x, y)二 0g (x, y)二 0，便可求得定点例1求证：不论m取何值，直线系(m + l)x +(m + 2)y -(5血+ 8)= 0必过定点,并求出这个定点的坐标。证将参数m分离，得：(x + 2 y - 8) +m (x + y - 5)= 0因为当方程x + 2y -8 = 0和x + y -5 = 0同时成立时，无论m取何值，方程恒成立，所以直线系必经过直线x + 2 y 一 8 = 0和x + y 一 5 = 0交点，x + 2 y 8 = 0, x = 2,解方程组_得x + y - 5 = 0,y = 3.因此，不论m取何值，直线系(m +1)x + (m + 2)y -(5m + 8)= 0必过定点(2,3)。说明 此类问题求法的第一步是分离出参数，然后令参数的所有系数等于零(即不让 这样的参数起作用)，建立起方程组，即可从方程组中解得定点。模式2、若曲线系方程可以整理成关于参数九的n次多项式 f(x,y)九n = 0，则欲ii=0使曲线系过定点，只要使关于参数九的n次多项式的各项系数为零，即f.(x, y) = 0 (i = 0,1,2, n)。解此方程组，若有解，则立即可知曲线系所过的定点；若无解，则可知曲线系不过定点。例2求证：无论m取什么实数，直线(2m2 + 8m + 3)x -(3m2 + m - 4)y +4m2 -6m +11 = 0 必过一定点，并求出该 定点。证 按参数 m 的降幂整理，有m2 (2x - 3y + 4) + m(8x - y - 6) + (3x + 4y -11)二 0 0x 二 1, y = 2.2 x 3 y + 4 = 0, 由模式2,解方程组8x- y - 6二0,3 x + 4 y 一 11 = 0,所以直线过定点(1,2 )o二、含有两个参变量的曲线系过定点的问题若曲线系是含两个参数九,卩的方程九f (x, y) +卩g(x, y)二h(x, y)其中九,卩满足某一线性条件A九+ BR = C,(A,B,C为常数) 贝I此类问题可按以下的步骤解之：第一步：设曲线系过定点(x , y )，代入上述式，有00(x , y ) + yg (x , y )二 h(x , y ), 0),求恒与圆系内切的定圆的方程。解配方，得(x - 3a cos o)2 + (y - 3a sin 0)2 = (4a)2。设所求圆的方程是(x-x +(y-yi)2-r2，并设两圆的圆心距为n 6ax cos 0 + 6ay sin 0 - (x2 + y2 + 9a2 - d2 )= 0。1 1 1 1由模式 1,得6ax = 6ay =一 xx 2 + y 2 + 9a2 -d21 1 1 1x 二 y 二 0, d 二 3a。11所以当所求定圆与圆系内切时，圆心在原点，半径为7 a或a, 其方程是 x2 + y2 = 49a2，或 x2 + y2 = a2。2、模式2 关于x的方程a xk-1 + a xk-2 HFa x + a = 0的解的个数多于k 1个k-1k-210的充要条件是a 二a 二二a二a二0。k -1k -210例6证明方程x2 + y2 + kx-(k -10)y -k +17 = 0所表示的曲线是一族切于同一 个定点的圆(k是参数，且k丰4 )。证明 分离参数，将原方程变形为(x - y - 1)k + (x2 + y2 +10y +17)二 0。t k e R,.由模式 2 可知：x y 1 = 0， x2 + y2 +10y +17 = 0 n x = -2, y = -3。故圆族过定点 P(-2,-3) 。F面证明点P即为所有圆的公切点。又将原方程化为f x+1 yk 2丿=1(k - 4)2,/ k 丰 4, . (k 4)2 0， 所以表示一族圆。,Of取k二k , k二k，有圆心O1 2 1 k.斜率k二k =1,. P,O ,O三点共线，o1po2 p1 2即两圆的连心线都通过所有圆的公共点P,故任意两圆都相切于P （2, 3）点。例7已知直线化，A是直线li上一定点，在li，l2上分别有动点P、0使ZQPA二2ZQAP。求证：直线PQ恒切于一定圆。分析 欲证动直线PQ恒切于一定圆，可用参数0写出动直线PQ的方程，然后再 探讨它的性质，证明它与参数无关。证明以A为原点J为x轴建立直角坐标系。设li，I间的距离为a （常数，QA =，则Q点的坐标为(a cot9 , a)。ZQAA 二 2ZQAA = 20，直线 AQ : y a = tan(兀一20)(x a cot 0)，变形，并将sin20和cos20看成两个参数，加以分离x sin 20 + (y 一 2a)cos 20 a = 0 。设（xo, yo）为定圆圆心，r为半径，若恒切于定圆，则下式应是关于0的恒等式x sin 20 + （y 一 2a）cos2 0 a = r。0 0即相当于不论0取何值，曲线过定点。所以有= 即直线PQ恒与以（0,2a）为圆心，a为半径的定圆相切。I y = 2a,0 研究曲线系过定点问题，有助于把握某些不定曲线“变中有不变”的良好性质，增强 数学发现能力，从而提高学生分析和解决问题的能力。注:本文发表于西南大学数学教学通讯2006 年第9 期