Kalman滤波器和Wiener滤波器的仿真与实现

Wiener滤波所谓滤波就是从混合在一起的诸多信号中提取所要的信号。根据滤波器的输出是否为输入的线性函数，可将它分为线性滤波器和非线性滤波器两种。滤波器研究的一个基本课题就是：如何设计和制造最佳的或最优的滤波器。所谓最佳滤波器是指能够根据某一最佳准则进行滤波的滤波器。设维纳滤波器的输入为含噪声的随机信号。期望输出与实际输出之间的差值为误差，对该误差求均方，即为均方误差。因此均方误差越小，噪声滤除效果就越好。如果能够满足维纳霍夫方程，就可使维纳滤波器达到最佳。根据维纳霍夫方程，最佳维纳滤波器的冲激响应，完全由输入自相关函数以及输入与期望输出的互相关函数 所决定。22()()-()E e nEs ns n()()(),optxxxsihi RikRkk在一定的约束条件下，其输出与一给定函数（通常称为期望输出）的差的平方达到最小，通过数学运算最终可变为一个托布利兹方程的求解问题。维纳滤波器又被称为最小二乘滤波器或最小平方滤波器，目前是基本的滤波方法之一。从理论上说，维纳滤波的最大缺点是必须用到无限过去的数据，不适用于实时处理。为了克服这一缺点，60 年代 Kalman 把状态空间模型引入滤波理论，并导出了一套递推估计算法，后人称之为卡尔曼滤波理论。卡尔曼滤波卡尔曼滤波从被提取信号有关的量测量中通过算法估计出所需信号。其中被估计信号是由白噪声激励引起的随机响应，激励源与响应之间的传递结构（系统方程）已知，量测量与被估计量之间的函数关系（量测方程）也已知。卡尔曼滤波是以最小均方误差为估计的最佳准则，来寻求一套递推估计的算法，其基本思想是：采用信号与噪声的状态空间模型，利用前一时刻地估计值和现时刻的观测值来更新对状态变量的估计，求出现时刻的估计值。它适合于实时处理和计算机运算。卡尔曼滤波特点：（1）卡尔曼滤波处理的对象是随机信号；（2）被处理信号无有用和干扰之分，滤波的目的是要估计出所有被处理信号；（3）系统的白噪声激励和量测噪声并不是需要滤除的对象，它们的统计特性正是估计过程中需要利用的信息。（4）所以确切的说，卡尔曼滤波应称作最优估计理论，此处称谓的滤波与常规滤波具有完全不同的概念和含义。简单来说，卡尔曼滤波器是一个“optimal recursive data processing algorithm（最优化自回归数据处理算法）”。对于解决很大部分的问题，他是最优，效率最高甚至是最有用的。卡尔曼的五个核心方程：X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k)(1)P(k|k-1)=A P(k-1|k-1)A+Q (2)X(k|k)=X(k|k-1)+Kg(k)(Z(k)-H X(k|k-1)(3)Kg(k)=P(k|k-1)H/(H P(k|k-1)H+R)(4)P(k|k)=（I-Kg(k)H）P(k|k-1)(5)计算滤波估计的流程图我们看以看出，滤波过程是以不断地“预测修正”的递推方式进行计算，先进行预测值计算，再根据观测值得到的新信息和kalman 增益（加权项），对预测值进行修正。由滤波值可以得到预测，又由预测可以得到滤波，其滤波和预测相互作用，并不要求存储任何观测数据，可以进行实时处理。仿真实例设有一个随机信号 服从AR(4)过程，它是一个宽带过程，参数如下：通过观测方程 来测量信号，是方差为1的高斯白噪声，利用Kalman滤波器通过测量信号估计 的波形。()()()y nx nn建立模型将随机信号X(n)看成是由典型白噪声序列源W(n)激励一个线性系统产生，用一个差分方程来描述：()1.352(1)1.338(2)0.662(3)0.240(4)()x nx nx nx nx nw n1234()1()()1 1.3521.3380.6620.240X zH zW zzzzz观测方程是Y(n)=X(n)+V(n),V(n)是方差为的高斯白噪声，产生进入Wiener滤波器的信号。将滤波器的阶数设为101，根据维纳霍夫方程：其中rx1是观测信号的自相关函数，是观测信号和期望信号的互相关函数。定义维纳滤波的模型，最后带入filter。1 12xxhrr稳态Kalman滤波器方程如下：测量值修正计算：我们可以通过kalman函数设计上述稳态滤波器。首先定义带噪声的系统模型：1(1)x n nx n nM y nCx n n1x nnAx n nBu n1 x nAx nBu nBw ny nCx n1(1)x n nx n nM y nCx n n1x nnAx n nBu nKalman滤波器模型图