ewch3-2函数单调性与曲线的凹凸性

3 31 1 微分中值定理微分中值定理 3 32 2 函数单调性与曲线的凹凸性函数单调性与曲线的凹凸性3 33 3 函数的极值与最值函数的极值与最值 3 34 4 函数图形的描绘函数图形的描绘3 35 5 洛必达法则洛必达法则3 36 6 泰勒（泰勒（Taylor)Taylor)公式公式 3.2 函数单调性与函数单调性与曲线的凹凸性曲线的凹凸性一、函数的单调性一、函数的单调性二、曲线的凹凸性二、曲线的凹凸性一、函数的单调性一、函数的单调性xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)(xf0)(xf定理定理1（函数单调性判别法）函数单调性判别法）.,)(0)(),()2(,)(0)(),(1.),(,)(上上单单调调减减少少在在那那末末函函数数，内内如如果果在在上上单单调调增增加加；在在，那那末末函函数数内内如如果果在在）（导导内内可可上上连连续续，在在在在设设函函数数baxfyxfbabaxfyxfbababaxfy abBA1.函数单调性的判别法函数单调性的判别法证证),(,21baxx ,21xx 且且应用拉氏定理应用拉氏定理,得得)()()()(211212xxxxfxfxf ,012 xx,0)(),(xfba内，内，若在若在,0)(f则则).()(12xfxf.,)(上上单单调调增增加加在在baxfy ,0)(),(xfba内，内，若在若在,0)(f则则).()(12xfxf.,)(上单调减少上单调减少在在baxfy 例例1 1解解.1的单调性的单调性讨论函数讨论函数 xeyx注意注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性数符号来判别一个区间上的单调性几何上看：单调区间的几何上看：单调区间的分界点是使分界点是使f (x)=0的点的点.1 xey,)0,(内内在在,0 y函数单调减少；函数单调减少；,),0(内内在在,0 y.函数单调增加函数单调增加).,(:D又又例例2 讨论函数讨论函数 y=x-sinx 的单调性的单调性.解解2468101224681012y=1-cosx 0，y=x-sinx在在(-，+)上单调增加上单调增加2.2.单调区间的求法单调区间的求法问题问题:如例如例1，函数在定义区间上不是单调的，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调但在各个部分区间上单调定义定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间的，则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点的分界点例例3 3解解.)(32的单调区间的单调区间确定函数确定函数xxf 32xy ).,(:D)0(,32)(3 xxxf.,0导数不存在导数不存在时时当当 x时时，当当0 x,0)(xf上单调增加；上单调增加；在在),0 时，时，当当 x0,0)(xf上单调减少；上单调减少；在在0,(单调区间为单调区间为，0,().,0 注注:区间内个别点导数为零或不存在区间内个别点导数为零或不存在,不影响该区间内的单调性不影响该区间内的单调性.讨论函数的单调性可以按以下步骤进行：讨论函数的单调性可以按以下步骤进行：1）确定函数）确定函数 f(x)的定义域；的定义域；2）求）求 f (x)，找出，找出 f (x)=0和和 f (x)不存在的点，不存在的点，以这些点为分界点，把定义域分成若干区间；以这些点为分界点，把定义域分成若干区间；3）在各个区间上判别）在各个区间上判别 f (x)的符号，以此确定的符号，以此确定 f(x)的单调性的单调性.例例4 4解解.31292)(23的的单单调调区区间间确确定定函函数数 xxxxf).,(:D12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx得得，解解方方程程0)(xf.2,121 xx时时，当当1 x,0)(xf上单调增加；上单调增加；在在1,(时时，当当21 x,0)(xf上单调减少；上单调减少；在在2,1 时，时，当当 x2,0)(xf上单调增加；上单调增加；在在),2单调区间为单调区间为，1,(，2,1).,2例例5 5.)1ln(2/,02成成立立试试证证时时当当xxxxx 3.3.利用单调性证明不等式利用单调性证明不等式证证),1ln()(xxxf 设设.1)(xxxf 则则,0)(),0(,),0)(xfxf可可导导，且且在在上上连连续续在在上单调增加；上单调增加；在在),0,0)0(f时，时，当当0 x,0)1ln(xx).1ln(xx 即即),1ln(2/)(2xxxxg 设设。例例6 证明当证明当x0时，时，.6sin3xxx 证证令令21cos)(2xxxF 0)2(sin)2(222sin22222 xxxx:,0)(即即 xF.6sin,06sin33xxxxxx F(x)在在(0,+)内单调上升，又内单调上升，又F(0)=0，F(x)在在x=0处连续，处连续，6sin)(3xxxxF 例例7 证明方程证明方程 有且仅有一个实根有且仅有一个实根.015 xx证明：证明：又又01)0(,01)1(ff 由介值定理：由介值定理：f(x)在（在（-，+）上有且仅有上有且仅有一个实根。一个实根。,015)(,1)(45 xxfxxxf则则 f(x)在（在（-，+）上单调上升。上单调上升。二、曲线的凹凸性二、曲线的凹凸性问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?xyo图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的下方于所张弦的下方ABC拐点拐点xyo1x2xxyo1x2x图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方12(1)(01)xxx)(,(xfxx()yf x 12(,()(1)()xf xf x x)(,(xfx()yf x 12(1)(01)xxx 12(,()(1)()xf xf x 1.1.曲线凹凸与拐点的定义曲线凹凸与拐点的定义12121212(1)()(1)(),(01),)(fxxff xIx xIxxff xIxx 设设在在 上上连连续续 如如果果对对恒恒有有则则称称在在 上上的的图图形形是是的的（凹凹或或凹凹弧弧）.定义定义1(凸凸的的（或（或凸弧凸弧）)）)1212(1)()(1)()(fxxf xf xxyo1x2x12(1)(01)xxx)(,(xfxx()yf x 12(,()(1)()xf xf x xyo1x2xx)(,(xfx()yf x 12(1)(01)xxx12(,()(1)()xf xf x 12121212(1)()(1)(),(01),)(fxxff xIx xIxxff xIxx 设设在在 上上连连续续 如如果果对对恒恒有有则则称称在在 上上的的图图形形是是的的（凹凹或或凹凹弧弧）.(凸凸的的（或（或凸弧凸弧）)）)1212(1)()(1)()(fxxf xf x1.1.曲线凹凸与拐点的定义曲线凹凸与拐点的定义定义定义1xyoABC拐点拐点2.2.曲线凹凸的判定曲线凹凸的判定xyo)(xfy xyo)(xfy abAB递递增增)(xf abBA0 y递递减减)(xf 0 y定理定理2 2（曲线凹凸性判别法）（曲线凹凸性判别法）例例8 8.3的的凹凹凸凸性性判判断断曲曲线线xy 解解,32xy ,6xy 时，时，当当0 x,0 y为凸的；为凸的；在在曲线曲线0,(时，时，当当0 x,0 y为凹的；为凹的；在在曲线曲线),0.)0,0(点点是是曲曲线线由由凸凸变变凹凹的的分分界界点点注意到注意到,EX1EX1ln.yx 判判断断曲曲线线的的凹凹凸凸性性解解注意注意()区间内个别点二阶导数为零或不存在区间内个别点二阶导数为零或不存在,不影响该曲线的凹凸性不影响该曲线的凹凸性.(2)(2)由拐点的定义及定理由拐点的定义及定理,可得可得拐点的判别法拐点的判别法如下如下:443yxyx ，如如，例例解解),(:D,121223xxy ).32(36 xxy,0 y令令.32,021 xx得得x)0,(),32()32,0(032)(xf )(xf 00凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点拐点拐点)1,0()2711,32(43341.yxx 求求曲曲线线的的拐拐点点及及凹凹、凸凸的的区区间间1)1)求求y 2)2)求拐点可疑点坐标求拐点可疑点坐标3)3)列表判别列表判别211327()，(0,1)2322(,0,0,).33 凹凹凸凸区区间间为为例例10 求求 的凹凸区间及其拐点。的凹凸区间及其拐点。3)1()(xxxf 解：解：),(,)1()(3 xxxxf,1)1(31)(323xxxxf ,9)12(2)(35xxxf 令令得得,0)(xf,21 x当当x=0时，时，不存在。不存在。()fx用用 x=0和和 x=-1/2将定义域分开：将定义域分开：)443,21(3 和（和（0，0）为曲线的拐点。）为曲线的拐点。注：注：f (x)=0和和 f (x)不存在的点均是拐点可疑点。不存在的点均是拐点可疑点。x(-,21)21(21,0)0(0,+)f (x)+0 不不存存在在+f(x)34430小结小结1.1.可导函数单调性判别可导函数单调性判别()0fxxI，)(xf在在 I I 上单调递增上单调递增()0fxxI，)(xf在在 I I 上单调递减上单调递减2.2.曲线凹凸与拐点的判别曲线凹凸与拐点的判别()0fxxI，()yf xI 曲曲线线在在上上向向上上凹凹()0fxxI，+()yf xI 曲曲线线在在上上向向上上凸凸拐点拐点 连续曲线上的凹凸分界点连续曲线上的凹凸分界点Z 思考思考 若若0)0(f，是是否否能能断断定定)(xf在在原原点点的的充充分分小小的的邻邻域域内内单单调调递递增增？Z 思考思考112xxy有位于一直线的三个拐点.1.求证曲线 证明：证明：备用题备用题2.证明20 x时,成立不等式.2sinxx证证:证明:20 x当时，.2sinxx有证明证明:3.