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经经 济济 数数 学学 微积微积分分济南大学数学科学学院济南大学数学科学学院 总界面总界面 结束结束 济南大学理学院济南大学理学院 第二章第二章 极限与连续极限与连续 第一节第一节 数列的极限数列的极限小结小结数列的定义数列的定义数列极限的性质数列极限的性质数列的极限数列的极限思索题思索题第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 “割之弥细，所失弥少，割之弥细，所失弥少，割之又割，以致于不可割之又割，以致于不可割，那么与圆周合体而割，那么与圆周合体而无所失矣无所失矣刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入割圆术：割圆术：引例引例1第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 ;212121323 X第第三三天天剩剩下下截杖问题截杖问题“一尺之棰，日取其半，万世不竭一尺之棰，日取其半，万世不竭它描画了截取过它描画了截取过程中棒长剩余量程中棒长剩余量的变化情况的变化情况.;211 X第一天剩下第一天剩下;21212122 X第第二二天天剩剩下下;2121211nnnXn 天剩下天剩下第第0,21,21,21,2132n21n引例引例2极限极限第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 一、数列的定义一、数列的定义例如例如;,2,8,4,2n;,21,81,41,21n2n21n;,)1(,1,1,11 n)1(1 n第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 .,)1(,34,21,21nnn )1(1nnn 2.2.表示方法表示方法1用数轴上的点表示数列用数轴上的点表示数列1x2x3x4xnx2用平面上的点表示：用平面上的点表示：).(nfxn xnn1 2第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 .)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn三、数列的极限三、数列的极限第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 当当 无限增大时无限增大时,能否无限接近于某能否无限接近于某一确定的数值一确定的数值?假设是假设是,如何确定如何确定?nxn.1)1(1,1无无限限接接近近于于无无限限增增大大时时当当nxnnn “无限接近意味着什么无限接近意味着什么?如何用数学言语如何用数学言语刻划它刻划它?1nxnnn11)1(1 经过上面演示实验的察看经过上面演示实验的察看:问题问题:第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 ,1001给定给定,10011 n要要使使,100时时只只要要 n,10011 nx有有,10001给给定定,1000时时只只要要 n.1000011 nx有有,100001给定给定,10000时时只只要要 n,100011 nx有有,0 给给定定,)1(时时只只要要 Nn.1成成立立有有 nx，总存在一个总存在一个0 N 1nxnnn11)1(1 第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 假设数列没有极限假设数列没有极限,就说数列是发散的就说数列是发散的.注注:;.1的的无无限限接接近近与与刻刻划划了了不不等等式式axaxnn .,.2不不惟惟一一有有关关与与任任意意给给定定的的正正数数NN 第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 x1x2x2 Nx1 Nx3x几何解释几何解释 2 a aa.)(,),(,落落在在其其外外个个至至多多只只有有只只有有有有限限个个内内都都落落在在所所有有的的点点时时当当NaaxNnn :定义定义N 其中其中;:每每一一个个或或任任给给的的.:至至少少有有一一个个或或存存在在.,0,0lim axNnNaxnnn恒有恒有时时使使第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 证明：证明：1 nx1)1(1 nnnn1,0 任任给给,1 nx要要,1 n只要只要,1 n或或所以所以,1 N取取,时时则当则当Nn ,1)1(1 nnn就有就有.1)1(lim1 nnnn即即关键：寻觅关键：寻觅N N例例1.1)1(lim1 nnnn证证明明第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 例例2 2.lim),(CxCCxnnn 证证明明为为常常数数设设Cxn CC ,成成立立 ,0 任给任给所以所以,0,n对对于于一一切切正正整整数数.limCxnn 阐明阐明:常数列的极限等于常数本身常数列的极限等于常数本身.注注:证明：证明：2当由当由|xn-a|直接求解直接求解n不好解时，可适当放不好解时，可适当放大不等式，如使：大不等式，如使：|xn-a|f(n),由由f(n),求解求解n.1用定义证数列极限存在时用定义证数列极限存在时,关键是恣意给关键是恣意给定定 寻觅寻觅N,但不用要求最小的但不用要求最小的N.,0 第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 证明：证明：,0 任任给给时时恒恒有有当当则则对对Nn 0,nnnnnnnnnnxn21311212222 由由2 N取取用极限定义证明用极限定义证明11222 nnnnlim)3(n,|1|nx要要使使 n2只要只要 11222nnn112lim22 nnnn即即：例例3 3第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 1.1.有界性有界性例如例如:1 nnxn数数列列nnx2 数列数列有界有界,无界无界.二、数列极限的性质二、数列极限的性质第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 定理定理1 1 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界.注：注：1 1、有界性是数列收敛的必要条件、有界性是数列收敛的必要条件.2、推论：无界数列必定发散、推论：无界数列必定发散.是是发发散散的的；如如：数数列列1)1(nnx是是发发散散的的；如如：数数列列12 nnx2.独一性独一性定理定理2 2 收敛数列的极限必独一收敛数列的极限必独一.第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 定理定理3 3 保号性保号性.,aaxn是是数数列列也也收收敛敛，且且极极限限也也那那么么它它的的任任一一子子收收敛敛于于如如果果数数列列)0(0),0(0,lim nnnnxxNnNaaax或或时时，恒恒有有当当，则则必必存存在在正正整整数数或或且且若若 定理定理4 4 收敛数列与其子数列间的关系收敛数列与其子数列间的关系.第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 注：注：1.由定理由定理4知知,假设假设xn有两个分别收敛有两个分别收敛于于ab的的 子数列，那么子数列，那么xn 发散发散.由此给出断定数列发散的一种方法由此给出断定数列发散的一种方法.如：如：(-1)n+12.有收敛子列的数列，敛散性不一定有收敛子列的数列，敛散性不一定.即收敛数列一定有收敛子列，发散数列也能够有。即收敛数列一定有收敛子列，发散数列也能够有。关键由子数列能否收敛于同一极限来断定原数列关键由子数列能否收敛于同一极限来断定原数列的敛散性的敛散性.第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 .lim,0lim,0axaxxnnnnn 求求证证且且设设证明：证明：,0 任给任给.limaxnn 故故,limaxnn ,1 axNnNn时时恒恒有有使使得得当当axaxaxnnn 从而有从而有aaxn a1 ).(1 a只只要要取取思索题思索题第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 小结小结数列的极限数列的极限.,0,0lim axNnNaxnnn恒有恒有时时使使:.1定定义义N 2.几何解释几何解释x1x2x2 Nx1 Nx3x 2 a aa3.性质性质1.独一性独一性2.有界性有界性3.保号性保号性4.收敛数列与其子数列的关系收敛数列与其子数列的关系极限思想极限思想,准确定义准确定义(-N-N言语言语),),几何意义几何意义 总界面总界面 结束结束 济南大学理学院济南大学理学院 第二章第二章 极限与连续极限与连续作作 业业P35 T1(偶偶),T7第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 .)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 .)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 .)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 .)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 .)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 .)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 .)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 .)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 .)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 .)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 .)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 .)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 .)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn济南大学理学院济南大学理学院 第二章第二章 极限与连续极限与连续总界面总界面 结束结束 第二节第二节 函数的极限函数的极限函数极限的性质函数极限的性质函数极限的定义函数极限的定义概念的引入概念的引入思索题、思索题、小结小结第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 数列的极限数列的极限.,0,0lim axNnNaxnnn恒恒有有时时使使:.1定定义义N 2.几何解释几何解释x1x2x2 Nx1 Nx3x 2 a aa3.性质性质1.独一性独一性2.有界性有界性3.保号性保号性4.收敛数列与其子数列的关系收敛数列与其子数列的关系内容回想内容回想第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 一、概念的引入一、概念的引入数列的表示：数列的表示：1 1、用数轴上的点、用数轴上的点2 2、用平面上的点、用平面上的点 对上述数列极限的概念作普通推行：对上述数列极限的概念作普通推行：在自变量的某个变化过程中，假设对应的函数值无在自变量的某个变化过程中，假设对应的函数值无限限 接近于某个常数，那么此常数即为此函数在自变量的这接近于某个常数，那么此常数即为此函数在自变量的这一变化过程中的极限一变化过程中的极限.对于函数的极限，主要研讨两种自变量变对于函数的极限，主要研讨两种自变量变化过程中，函数的变化情况：化过程中，函数的变化情况：0.2.1xxx Nnnfxn ),(那么数列那么数列 的极限是的极限是)(nfxn a a.,0恒恒成成立立）（时时，当当 anfNnN第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 .sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxxxxysin 一、函数极限的定义一、函数极限的定义一自变量趋向无穷大时函数的极限一自变量趋向无穷大时函数的极限第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 ;)()(任任意意小小表表示示AxfAxf .无无限限增增大大的的过过程程表表示示 xx 如何用数学言语刻划函数如何用数学言语刻划函数“无限接近无限接近.定义定义X .)(,0,0 AxfXxX恒恒有有时时使使当当 Axfx)(lim第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 定义定义X .)(,0,0 AxfXxX恒恒有有时时使使当当 Axfx)(lim1.定义定义第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 :.10情情形形 x:.20情情形形 xAxfx)(limAxfx)(lim:定定理理.)(lim)(limAxfAxfxx 且且 Axfx)(lim2.另两种情形另两种情形第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 xxysin 3.几何解释几何解释 X X.2,)(,的的带带形形区区域域内内宽宽为为为为中中心心线线直直线线图图形形完完全全落落在在以以函函数数时时或或当当 AyxfyXxXx A第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 例例1 1.0sinlim xxx证明证明证明证明xxxxsin0sin x1,0 ,1 X取取时恒有时恒有则当则当Xx ,0sin xx.0sinlim xxx故故.)(,)(lim:的的图图形形的的水水平平渐渐近近线线函函数数是是则则直直线线如如果果定定义义xfycycxfx ,1 x即即第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 ;)()(任任意意小小表表示示AxfAxf .000的的过过程程表表示示xxxx 二自变量趋向有限值时函数的极限二自变量趋向有限值时函数的极限注：注：)(0能否有定义无关能否有定义无关在点在点函数极限与函数极限与xxf定义定义 .)(,0,0,00 Axfxx恒恒有有时时使使当当第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 定义定义 .)(,0,0,00 Axfxx恒恒有有时时使使当当内有定义）内有定义）在在（假定（假定),()(0 xUxfo1.定义定义第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 2.几何解释几何解释)(xfy AAA0 x0 x0 xxyo.2,)(,0的的带带形形区区域域内内宽宽为为为为中中心心线线线线图图形形完完全全落落在在以以直直函函数数域域时时邻邻的的去去心心在在当当 Ayxfyxx ;)()1(0是是否否有有定定义义无无关关在在点点函函数数极极限限与与xxf.)2(有有关关与与任任意意给给定定的的正正数数 注：注：第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 例例2 2).(,lim0为为常常数数证证明明CCCxx 证明证明Axf)(CC ,成成立立 ,0 任任给给0.lim0CCxx,0 任任取取,00时时当当 xx例例3 3.lim00 xxxx 证证明明,)(0 xxAxf ,0 任任给给,取取,00时时当当 xx0)(xxAxf ,成成立立 .lim00 xxxx 证明证明第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 证明证明211)(2 xxAxf,0 任任给给,只只要要取取,00时时当当 xx函数在点函数在点x=1处没有定义处没有定义.1 x,)(Axf要使要使,2112 xx就有就有.211lim21 xxx用定义证明函数极限的普通步骤：用定义证明函数极限的普通步骤：等等式式。注注：有有时时须须适适当当放放大大不不成成立立。时时，则则当当取取；解解出出由由 AxfxxgxxAxf)(0),g(.2)(,)(.100例例3 3.211lim21 xxx证明证明)(第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 3.单侧极限单侧极限例如例如:201,0()1,0lim()1.xxxf xxxf x设设两两种种情情况况分分别别讨讨论论和和分分00 xx,0 xx从左侧无限趋近从左侧无限趋近;00 xx记记作作,0 xx从右侧无限趋近从右侧无限趋近;00 xx记作记作yox1xy 112 xy第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 00 xxxx0 x 0 x 0 x 0000 xxxxxxxx 0000 xxxxxx 第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 左极限左极限右极限右极限.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或记记作作.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或记作记作.)0()0()(lim:000AxfxfAxfxx 定定理理阐明：阐明：左、右极限常用于调查分段函数在分段点左、右极限常用于调查分段函数在分段点处的极限处的极限.第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 yx11 o xxsgnlim0左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,.sgnlim0不不存存在在xx.sgnlim0不不存存在在验验证证xx例例证明证明1)1(lim0 x xxsgnlim011lim0 x.)(lim)0(,)0(10 00不不存存在在有有一一个个不不存存在在，则则、若若推推论论xfxfxfxx .)(lim)0(,)0(20 x00不不存存在在都都存存在在但但不不等等，则则、若若推推论论xfxfxfx .)0()0()(lim:000AxfxfAxfxx 定定理理第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 2.部分有界性部分有界性1.独一性独一性3.部分保号性部分保号性),0(0,)(lim0 AAAxfxx或或且且若若定理定理3 3).0(0),0)(0)(,),(,0,)(lim00 AAxfxfxUxAxfoxx或或则则或或时时当当且且若若 推论推论三、函数极限的性质三、函数极限的性质).0)(0)(,),(,00 xfxfxUxo或或时时当当则则 第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 .lim0不存在不存在验证验证xxxyx11 oxxxxxx 00limlim左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,.)(lim0不不存存在在xfx证明证明1)1(lim0 xxxxxxx00limlim 11lim0 x思索题思索题第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 函数极限的一致表示函数极限的一致表示;)(limAnfn ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(lim0Axfxx;)(lim0Axfxx .)(lim0Axfxx 小结小结第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 过程过程时辰时辰从此时辰以后从此时辰以后 n x x xNNn Nx Nx Nx )(xf Axf)(0 xx 00 xx 0 xx 0 xx 00 xx00 xx过程过程时辰时辰从此时辰以后从此时辰以后 )(xf Axf)(济南大学理学院济南大学理学院 第二章第二章 极限与连续极限与连续总界面总界面 结束结束 作作 业业P43 T4,T6第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 .sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一自变量趋向无穷大时函数的极限一自变量趋向无穷大时函数的极限第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 .sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一自变量趋向无穷大时函数的极限一自变量趋向无穷大时函数的极限第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 .sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一自变量趋向无穷大时函数的极限一自变量趋向无穷大时函数的极限第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 .sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一自变量趋向无穷大时函数的极限一自变量趋向无穷大时函数的极限第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 .sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一自变量趋向无穷大时函数的极限一自变量趋向无穷大时函数的极限第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 .sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一自变量趋向无穷大时函数的极限一自变量趋向无穷大时函数的极限第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 .sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一自变量趋向无穷大时函数的极限一自变量趋向无穷大时函数的极限第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 .sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一自变量趋向无穷大时函数的极限一自变量趋向无穷大时函数的极限第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 .sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一自变量趋向无穷大时函数的极限一自变量趋向无穷大时函数的极限济南大学理学院济南大学理学院 总界面总界面 结束结束 第二章第二章 极限与连续极限与连续 第三节第三节 无穷大与无穷小无穷大与无穷小无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系无穷大无穷大无穷小无穷小思索题、思索题、小结小结第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 函数极限的一致表示函数极限的一致表示;)(limAnfn ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(lim0Axfxx;)(lim0Axfxx .)(lim0Axfxx 内容回想内容回想第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 过程过程时辰时辰从此时辰以后从此时辰以后 n x x xNNn Nx Nx Nx )(xf Axf)(0 xx 00 xx 0 xx 0 xx 00 xx00 xx过程过程时辰时辰从此时辰以后从此时辰以后 )(xf Axf)(第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 1.1.定义定义极限为零的变量称为无穷小极限为零的变量称为无穷小.一、无穷小一、无穷小第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 例如例如,0sinlim0 xx.sin时时的的无无穷穷小小是是当当函函数数0 x xx x,01lim xx.时时的的无无穷穷小小是是当当函函数数 x xx x1,0)1(lim nnn.)1(时时的的无无穷穷小小是是当当数数列列 nnn注：注：1.无穷小是变量无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;2.零是可以作为无穷小的独一的数零是可以作为无穷小的独一的数.第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 2.无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系:),()()(lim0 xAxfAxfxx 定理定理1.)(0时时的的无无穷穷小小量量是是当当其其中中xxx 证证 必要性必要性,)(lim0Axfxx 设设,)()(Axfx 令令,0)(lim0 xxx 则则有有).()(xAxf 充分性充分性),()(xAxf 设设,)(0时的无穷小时的无穷小是当是当其中其中xxx)(lim)(lim00 xAxfxxxx 则则)(lim0 xAxx .A)()(第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 3.无穷小的运算性质无穷小的运算性质:定理定理2 2 在同一变化过程中在同一变化过程中,有限个无穷小有限个无穷小的的 代数和仍是无穷小代数和仍是无穷小.注注:无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.,1,是无穷小是无穷小时时例如例如nn.,11,1)111(lim不不是是无无穷穷小小之之和和为为个个即即但但nnnnnn ),()()(lim0 xAxfAxfxx 定理定理1.)(0时时的的无无穷穷小小量量是是当当其其中中xxx 第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 定理定理3 3 无穷小与有界量的乘积是无穷小无穷小与有界量的乘积是无穷小.推论推论1 1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的有极限的变量与无穷小的 乘积是无穷小乘积是无穷小.推论推论2 2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论3 3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.xxxxx1arctan,1sin,0,2时时当当例如例如都是无穷小都是无穷小.无穷小之间进展加、减、乘以及数乘运算无穷小之间进展加、减、乘以及数乘运算得到的还是无穷小。得到的还是无穷小。结论：结论：问题：问题：无穷小之间进展除运算会得到什么结果呢？无穷小之间进展除运算会得到什么结果呢？第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 绝对值无限增大的变量称为无绝对值无限增大的变量称为无穷大穷大.二、无穷大二、无穷大)(lim()(lim0 xfxfxxx或或特殊情形：正无穷大，负无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大)(lim()(lim)()(00 xfxfxxxxxx或或第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 1.无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;,)(lim.20认认为为极极限限存存在在切切勿勿将将 xfxx注：注：.)(,)(lim.400的的图图形形的的铅铅直直渐渐近近线线是是函函数数则则直直线线如如果果xfyxxxfxx 只是记号，且为了讨论的需求只是记号，且为了讨论的需求.运算：在自变量同一变化过程中运算：在自变量同一变化过程中,两个无穷大相加两个无穷大相加或相减的结果是不确定的或相减的结果是不确定的,因此无穷大没有无穷小因此无穷大没有无穷小那样类似的性质那样类似的性质.详细问题要详细分析详细问题要详细分析.3.无穷大是一种特殊的无界变量无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变但是无界变量未必是无穷大量未必是无穷大.第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 定理定理4 4 在自变量的同一变化过程中在自变量的同一变化过程中,无穷大的倒无穷大的倒数为无穷小；恒不为零的无穷小的倒数为无穷大数为无穷小；恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.三、无穷小与无穷大关系三、无穷小与无穷大关系意义意义 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的都可归结为关于无穷小的 讨论讨论.第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 解解:不一定不一定.思索题思索题无穷大是一种特殊的无界变量无穷大是一种特殊的无界变量,无界无界变量一定是无穷大量吗变量一定是无穷大量吗?xxyx1sin1,0,时时当当例如例如.,但但不不是是无无穷穷大大无无界界xxy1sin1)(,221)1(0Nkkx 取取,22)(0 kxy则则.)(,0Mxyk 充充分分大大时时当当无界无界.)(,21)2(0Nkkx 取取 kkxy2sin2)(0 则则不是无穷大不是无穷大.0M 第二章第二章 上页上页 下页下页 返回返回 小结小结主要内容主要内容:两个定义两个定义;四个定理四个定理;两个推论两个推论.无穷小与无穷大是相对于过程而言的无穷小与无穷大是相对于过程而言的.几点留意几点留意:1 1无穷小无穷小 大是变量大是变量,不能与很小大不能与很小大 的数混淆，零是独一的是无穷小的数；的数混淆，零是独一的是无穷小的数；2 2无穷多个无穷小的代数和乘积未必是无穷多个无穷小的代数和乘积未必是无穷小无穷小.3 3无界变量未必是无穷大无界变量未必是无穷大.济南大学理学院济南大学理学院 总界面总界面 结束结束 第二章第二章 极限与连续极限与连续作作 业业P48 T3 ,T4
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