《线性变换习题课》PPT课件

1习题课习题课基本内容基本内容目录 下页 返回 结束 例题选讲例题选讲基本解题方法基本解题方法2一、基本内容一、基本内容1212,(),(),(),nnVPnVVV 设设是是数数域域 上上 维维线线性性空空间间是是 的的线线性性变变换换 取取定定 的的一一组组基基因因设设11112121212122221122(),(),(.nnnnnnnnnnaaaaaaaaa )1.1.线性变换及其矩阵线性变换及其矩阵首页 上页 下页 返回 结束 31212 (),(),()(,)nnA 即即12(),.n nijn nnAaP 是是在在基基下下的的矩矩阵阵12(,:),.jnAj 的的第第 列列恰恰是是向向量量在在基基下下 注注的的坐坐标标 ,()特特别别 数数乘乘变变换换、单单位位 恒恒等等 变变换换、零零变变换换在在下下的的矩矩阵阵分分别别是是数数量量矩矩阵阵、单单位位矩矩阵阵、任任意意基基零零矩矩阵阵.().但但一一般般线线性性变变换换在在不不同同基基下下的的彼彼矩矩阵阵一一般般是是的的此此相相似似不不同同首页 上页 下页 返回 结束 42.()与与的的坐坐标标关关系系式式121212121122,(),(,)(,),nnnnnnAxxxyyyyxyxAyx 设设 在在基基下下的的矩矩阵阵是是与与在在基基下下的的坐坐标标分分别别是是和和则则首页 上页 下页 返回 结束 5,(),PnVVPnL VV 在在数数域域 上上 维维线线性性空空间间 中中一一组组取取定定的的基基下下对对于于 的的每每一一个个线线性性变变换换 都都有有 上上唯唯一一确确定定的的 级级矩矩阵阵与与之之对对应应,这这种种对对应应保保持持运运算算.设设是是 的的全全体体线线性性变变换换组组成成的的线线性性空空间间 则则()n nL VP 3.线线性性变变换换与与矩矩阵阵间间的的对对应应关关系系2(),.L VnnV 维维为为 的的维维数数,这这样样就就可可以以把把线线性性变变换换用用矩矩阵阵来来表表现现 于于是是首页 上页 下页 返回 结束 6,.,“”“”.在在处处理理线线性性变变换换的的问问题题时时 可可以以按按的的模模式式 把把线线性性变变换换问问题题化化为为矩矩阵阵问问题题来来处处理理 然然后后再再把把所所得得的的结结论论化化为为线线性性变变换换的的结结论论 也也可可线线性性变变换换矩矩在在处处阵阵线线性性变变换换矩矩阵阵线线理理矩矩阵阵问问题题性性变变换换矩矩阵阵时时 按按模模式式4.相相似似矩矩阵阵.同同一一线线性性变变换换在在不不同同基基下下的的矩矩阵阵是是相相似似的的；反反之之,两两个个相相似似矩矩阵阵可可以以看看作作同同一一线线性性变变换换在在不不同同基基下下的的矩矩阵阵.利利用用相相似似矩矩阵阵的的性性质质可可以以简简化化矩矩阵阵的的运运算算首页 上页 下页 返回 结束 7()(,0)P ，,VPV 设设 是是 上上线线性性空空间间是是 的的线线性性变变换换,若若,.则则 是是 的的特特征征值值是是 的的属属于于 的的特特征征向向量量5.5.特征值与特征向量特征值与特征向量0|,()0().AEAAEA XA 0 00 0 矩矩阵阵 的的特特征征多多项项式式的的根根称称为为的的特特征征值值 而而相相应应的的线线性性方方程程组组的的非非零零解解 向向量量 称称为为 的的属属于于这这个个特特征征值值的的特特征征向向量量首页 上页 下页 返回 结束 812121122,(1);(2)(,)nnnnVAAPAxxxxxx 设设 在在 的的基基下下的的矩矩阵阵是是则则的的在在数数域域 中中的的特特征征值值就就是是 的的特特征征值值若若 的的属属于于特特征征值值 的的一一个个特特征征向向量量是是 则则 的的属属于于特特征征值值 的的一一个个特特征征向向量量就就是是 线线性性变变换换的的特特征征值值、特特征征向向量量和和其其对对应应矩矩阵阵的的特特征征值值、特特征征向向量量之之间间的的关关系系：首页 上页 下页 返回 结束 9:一一些些主主要要结结论论 1),.一一个个特特征征向向量量只只能能属属于于一一个个特特征征值值 而而一一个个特特征征值值可可以以有有多多个个特特征征向向量量 2).属属于于同同一一特特征征值值的的特特征征向向量量的的一一切切非非零零线线性性组组合合是是属属于于此此特特征征值值的的特特征征向向量量3).属属于于不不同同特特征征值值的的特特征征向向量量线线性性无无关关 4),.相相似似矩矩阵阵有有相相同同的的特特征征多多项项式式 因因而而有有相相同同的的特特征征值值首页 上页 下页 返回 结束 10:|()VV 特特征征子子空空间间(1)V 维维的的重重数数.基基本本性性质质：(2),()0,.AVEA XV 若若 的的矩矩阵阵是是则则同同构构于于的的解解空空间间 且且基基础础解解系系给给出出了了的的基基向向量量的的坐坐标标1212 (3),ssWVVV 若若是是 的的互互异异的的特特征征值值 则则是是直直和和 且且是是 的的不不变变子子空空间间.首页 上页 下页 返回 结束 116.对对角角化化的的条条件件及及其其方方法法1)对对角角化化概概念念V :在在 的的某某组组基基下下的的矩矩阵阵是是可可对对角角化化对对角角阵阵.1:,.TTAAT 可可对对角角化化 存存在在可可逆逆矩矩阵阵使使为为对对角角阵阵2)对对角角化化的的条条件件 (1)()().AAn 或或可可对对角角化化或或有有 个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量充充要要条条件件 (2)(i).(ii),().PV 可可对对角角化化的的特特征征多多项项式式的的根根都都在在内内对对 的的每每个个特特征征值值维维的的重重数数首页 上页 下页 返回 结束 12 (3)(i).(ii),(),.AAPAEAnss 可可对对角角化化的的特特征征多多项项式式的的根根都都在在内内对对 的的每每个个特特征征值值秩秩为为 的的重重数数充充分分条条件件 ()().APnA 若若或或在在 内内有有 个个不不同同的的特特征征值值,则则或或可可对对角角化化首页 上页 下页 返回 结束 3)对对角角化化的的方方法法 ().AA 因因 可可对对角角化化可可对对角角化化 其其中中 是是 在在某某组组基基下下的的矩矩阵阵.A 因因此此 对对角角化化问问题题可可转转化化为为 对对角角化化问问题题13首页 上页 下页 返回 结束 12 (1)|,;sAEAA 计计算算 的的特特征征多多项项式式求求出出 的的全全部部特特征征值值12 (2),.,()0,;isiiPAPEA X 如如果果存存在在则则 不不能能对对角角化化 如如果果则则对对每每个个特特征征值值求求出出齐齐次次线线性性方方程程组组 的的一一个个基基础础解解系系 (3),;ii 如如果果对对每每个个其其基基础础解解系系所所含含向向量量的的个个数数等等于于 的的重重数数 则则可可对对角角化化 否否则则不不能能对对角角化化:对对角角化化步步骤骤141 (4),.TTTATA 将将所所有有基基础础解解系系的的解解向向量量作作列列向向量量构构成成矩矩阵阵则则 可可逆逆 且且为为对对角角阵阵的的主主对对角角线线上上元元素素就就是是 的的所所有有特特征征值值首页 上页 下页 返回 结束 注注:对角形矩阵中主对角线上的元素对角形矩阵中主对角线上的元素(即特征值即特征值)的次序应与的次序应与T的列向量的次序相对应的列向量的次序相对应.157.线性变换的值域与核线性变换的值域与核1:()()|:(0)|()0,VVV 值值域域核核主主要要结结论论：1(1)()(2)(0)0VV 是是满满射射是是单单射射12,.nVA 如如果果 在在 的的基基下下的的矩矩阵阵是是则则有有12(3)()(),(),()(4)()()nVLVA 维维秩秩适用于有适用于有限维空间限维空间1(5)()(0)()(6)VV 维维维维维维是是单单射射是是满满射射首页 上页 下页 返回 结束 168.不不变变子子空空间间,().WVVWWW 设设是是 的的子子空空间间是是 的的线线性性变变换换 则则是是的的不不变变子子空空间间有有几几个个特特殊殊的的不不变变子子空空间间11)().V 的的值值域域与与核核(0 0)是是 的的不不变变子子空空间间 2).V 的的属属于于特特征征值值 的的特特征征子子空空间间是是 的的不不变变子子空空间间12(,),(),1,2,.siWLVWW is 设设是是 的的子子空空间间 则则是是的的不不变变子子空空间间有有限限维维子子空空间间是是不不变变子子空空间间的的判判定定首页 上页 下页 返回 结束 17(),.WLW 对对于于一一维维子子空空间间则则是是 的的不不变变子子空空间间是是 的的特特征征向向量量不不变变子子空空间间在在化化简简线线性性变变换换的的矩矩阵阵时时的的作作用用12,(),1,2,:siiiVWWWWWisWV 如如果果其其中中则则可可在在每每个个中中取取一一个个基基 凑凑成成 的的一一个个基基在在这这个个基基下下的的矩矩阵阵为为准准对对角角矩矩阵阵12sAAA首页 上页 下页 返回 结束 18(1,2,)|.iiiA isWW 其其中中是是在在的的基基下下的的矩矩阵阵12,(),()1,1,2,.niiiVWWWWWWin 如如果果其其中中维维则则 可可对对角角化化,特特别别地地首页 上页 下页 返回 结束 19二、基本解题方法二、基本解题方法1.1.一个线性变换在某组基下的矩阵的求法一个线性变换在某组基下的矩阵的求法 方法一方法一:用定义用定义.基向量基向量在线性变换下的像关在线性变换下的像关于基的坐标于基的坐标作为列作为列,所得矩阵即为所求矩阵所得矩阵即为所求矩阵.方法二方法二:引入特殊基引入特殊基(如标准基如标准基),),利用过渡矩利用过渡矩阵及有关结论阵及有关结论(一个线性变换在不同基下的矩阵是一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的相似的)求出求出.2.2.线性变换问题与矩阵问题互相转化的方法线性变换问题与矩阵问题互相转化的方法线性变换线性变换:采用采用“线性变换线性变换-矩阵矩阵-线性变换线性变换”模式模式.矩阵矩阵:采用采用“矩阵矩阵-线性变换线性变换-矩阵矩阵”模式模式.首页 上页 下页 返回 结束 203.3.特征值与特征向量的求法特征值与特征向量的求法利用线性变换的矩阵利用线性变换的矩阵A,求出求出A的特征多项式的特征多项式()|fEA 在给定数域中的根在给定数域中的根,即为所求特征值即为所求特征值.()0EA X 对特征值对特征值,求出齐次线性方程组求出齐次线性方程组的基础解系的基础解系,以基础解系中解向量为坐标所得向量即以基础解系中解向量为坐标所得向量即为线性变换的属于特征值为线性变换的属于特征值的全部线性无关的特征向的全部线性无关的特征向量量.(注注:如果求矩阵如果求矩阵A的特征向量的特征向量,则基础解系中解向则基础解系中解向量即为所求的量即为所求的全部线性无关的全部线性无关的特征向量特征向量)首页 上页 下页 返回 结束 21 4.4.线性变换的对角化问题可以转化为相应矩阵线性变换的对角化问题可以转化为相应矩阵的对角化问题的对角化问题.先求出矩阵先求出矩阵A的特征值的特征值,如果如果A的每个特征值的每个特征值,方程组方程组()0EA X 的基础解系所含解向量的个数都等于的基础解系所含解向量的个数都等于的重数的重数,则则A可对角化可对角化,把把 n 个解向量为列个解向量为列(次序与次序与的次序相对的次序相对应应),作一个作一个n级矩阵级矩阵T,则则1TAT 是对角矩阵是对角矩阵,且主对角线上元素是且主对角线上元素是A的全部特征值的全部特征值.(注注:特征值有几重特征值有几重,则在主对角线上就出现几次则在主对角线上就出现几次)首页 上页 下页 返回 结束 22三、例题选讲三、例题选讲2 21112212221 ,101(),.ABPBABEEEE 设设对对任任意意,令令 求求 在在基基下下 例例的的矩矩阵阵 11112120()10010EAE 1 10 00 0解解11122122200EEEE 首页 上页 下页 返回 结束 2312122102()10001EAE 0 01 10 0首页 上页 下页 返回 结束 11122122020EEEE 21212110()10100EAE 0 00 00 011122122000EEEE 22222101()10000EAE 0 00 01 111122122000EEEE 2411122122,EEEE 所所以以 在在基基下下的的矩矩阵阵为为2010020110000100 首页 上页 下页 返回 结束 25 设设 是是 上上的的线线性性空空间间是是 的的一一个个线线性性变变换换 证证明明 如如果果是是 的的一一组组基基 则则 是是的的例例可可逆逆1212,.:(),(),(),.2ssVPVVV 证证 因因是是 的的一一组组基基 所所以以也也是是 的的一一组组基基.1212(),(),(),ssVV 1122,()()()ssVkkk 对对则则有有 .所所以以 是是满满射射1122()sskkk 1122sskkkV 其其中中()首页 上页 下页 返回 结束 2611221122,ssssVkkklll 又又设设 11221122 ()()()()()()()()sssskkklll 则则有有()(),若若,1,2,iiklis 则则 ,于于是是.所所以以 是是单单射射.从从而而 是是双双射射.故故 是是可可逆逆变变换换首页 上页 下页 返回 结束 273(P3231.3.):PnVV 设设 是是数数域域 上上 维维线线性性空空间间 的的一一个个线线性性变变换换 证证明明是是数数乘乘变变换换的的充充要要条条件件是是 在在的的任任何何基基下下的的矩矩阵阵都都相相同同 例例12,().nijn nAaA 证证 充充分分性性 设设 在在基基下下的的矩矩阵阵为为只只要要证证明明 为为数数量量矩矩阵阵即即可可1212,(,)(,)nnXX 设设 是是任任一一可可逆逆矩矩阵阵 作作 121,.nVXAX 则则也也是是 的的基基在在这这个个基基下下的的矩矩阵阵是是1,.XAXAAXXA 由由题题设设有有即即有有首页 上页 下页 返回 结束 28112,Xn 取取 11,AXX A 则则由由得得1112111121212221221212222222nnnnnnnnnnnnnnaanaaaaaanaaaaaanananana 首页 上页 下页 返回 结束 29112nnnaaAa 0,(),ijaij 所所以以即即又又取取20100001000011000X 首页 上页 下页 返回 结束 3022,AXX A 则则由由得得112222331,111000000000000000000000000nnnnnnaaaaaaaa 1122nnaaaA 所所以以 ，即即 为为数数量量矩矩阵阵.故故 为为数数乘乘变变换换.,.kkE 必必要要性性 设设是是数数乘乘变变换换 则则 在在任任意意基基下下的的矩矩阵阵都都是是数数量量矩矩阵阵首页 上页 下页 返回 结束 3121,1,23 4,|27|.AAAE 设设是是 级级矩矩阵阵 的的特特征征值值 计计算算行行列列式式例例1,1,2,.AA 证证 因因是是矩矩阵阵 的的三三个个不不同同的的特特征征值值 所所以以 可可对对角角化化1112CAC ,C于于是是存存在在可可逆逆矩矩阵阵使使得得1.ACC 则则有有2121|27|()27|AAECCCCE首页 上页 下页 返回 结束 32211|27|CCCCE 21|(27)|CE C 2|27|E 211112171221420 首页 上页 下页 返回 结束 1,1,2,:AA 另另解解 因因是是矩矩阵阵 的的三三个个不不同同的的特特征征值值所所以以 相相似似于于对对角角阵阵33112 22(27)(27).AAEE 于于是是相相似似于于22|27|27|AAEE所所以以6 10 7 420 首页 上页 下页 返回 结束 34 ,.:|1,1 5.n nARA AEAA 设设满满足足证证明明 如如果果则则是是 的的一一个个特特征征值值例例|EAA AA 证证|()|AEA|()|AE|()|EA|EA 2|0,EA得得|0,EA 于于是是 1.A 故故是是 的的一一个个特特征征值值首页 上页 下页 返回 结束 35|EAA AAAEA 证证|()|EA (1)|nEA|()EAn 因因 为为奇奇数数2|0,EA 得得|0,EA于于是是|AEA (),.:|,.611|n nARnA AEAA 设设为为奇奇数数 满满足足证证明明如如果果则则 是是 的的一一个个 例例特特征征值值 首页 上页 下页 返回 结束 1.A所所以以 是是 的的一一个个特特征征值值36(1),7(P()(),:.32521)nP xnD f xfxD 在在中中求求微微分分变变换换 的的特特征征多多项项式式 并并证证明明在在任任何何一一组组基基下下的的矩矩阵阵都都例例不不可可能能是是对对角角矩矩阵阵21:1,nnP xx xxD 证证 取取的的一一组组基基则则 在在这这组组基基下下的的矩矩阵阵是是0100002000010000An 首页 上页 下页 返回 结束 37它它的的特特征征多多项项式式(0)()1,EAAn秩秩秩秩,D于于是是 只只有有一一个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量100020|,000(1)000nEAn 0().Dn 故故 的的特特征征值值只只有有重重 而而D所所以以 在在任任何何基基下下的的矩矩阵阵都都不不是是对对角角阵阵.()nP x而而维维1,n首页 上页 下页 返回 结束 38,(),8 kAO AOAA 设设为为例例幂幂零零矩矩阵阵 证证明明:不不可可对对角角化化.,AC证证 若若 相相似似于于对对角角阵阵 即即有有可可逆逆矩矩阵阵 使使得得112nCAC 于于是是1112()kkkkknCACCA CO 首页 上页 下页 返回 结束 390,1,2,.iin 得得1,CACO 由由此此得得,AO 所所以以,AO 与与题题设设矛矛盾盾A故故 不不可可对对角角化化.首页 上页 下页 返回 结束 11.:1)0;9 2(P34 27),.V 设设 是是线线性性空空间间 的的可可逆逆线线性性变变换换 证证明明的的特特征征值值一一定定不不为为如如果果 是是 的的特特征征值值 那那么么是是的的特特征征值值 例例,AA 证证 在在某某基基下下的的矩矩阵阵是是则则 的的特特征征值值就就是是的的 特特征征值值.由由于于40|0|(1)|nEAA 0|0,AA 于于是是 有有特特征征值值为为的的充充要要条条件件是是,|0.AA 故故 可可逆逆时时可可逆逆 有有所所以以 的的全全部部特特征征值值皆皆不不为为零零首页 上页 下页 返回 结束 2),()设设 是是 的的特特征征值值是是属属于于 的的特特征征向向量量 则则 11()用用作作用用上上式式,得得 11)0,()由由1 1 知知于于是是 11.故故是是的的特特征征向向量量4121 ,:,()(0).10VVV 设设 是是 的的线线性性变变换换 证证明明 若若则则 例例1()(0).VV 证证 先先证证1()(0).VV 显显然然,()(),VV 对对有有().设设2()()()则则()(),o 1(0).所所以以1()()(0),V 从从而而1()(0).VV 即即1()(0).VV 故故首页 上页 下页 返回 结束 421()(0),V 又又对对1()(0),V 有有且且1(0),()0.由由得得(),().VV 由由有有使使得得2()()()0.于于是是1()0)0.V 故故（1()0).VV 综综上上得得 （21,(1)0)()|(2)(),(:)VV 由由此此例例可可知知 在在的的条条件件下下 有有（有有注注首页 上页 下页 返回 结束 43121,.:1 1);2);1(P32626)3).nnVnVVVV 设设是是复复数数域域上上的的 维维线线性性空空间间 线线性性变变换换 在在基基下下的的矩矩阵阵是是一一若若尔尔当当块块 证证明明中中包包含含 的的子子空空间间只只有有 自自身身中中任任一一非非零零子子空空间间都都包包含含不不能能分分解解成成两两个个非非平平凡凡的的子子 空空间间的的直直和和 例例证证 由由题题设设有有00121201(,)(,)1nn 首页 上页 下页 返回 结束 44101220230(),(),().nn 即即 1012(),W 1 1设设是是子子空空间间,含含有有,则则含含有有 101 ,(),nnn 含含有有 2023(),于于是是含含有有 12,.nWVWV 故故含含有有 的的一一组组基基即即首页 上页 下页 返回 结束 451122()()()()nnxxx 101220230()()()nnxxx 012231nnxxx 0(),WW 由由得得12231.nnxxxW 首页 上页 下页 返回 结束 121,0,nxxxx 因因不不全全为为零零 不不妨妨设设则则1122nnxxx 2),0.WW 设设是是非非零零子子空空间间 则则有有,(),仿仿上上 求求可可得得46013242(),nnWWxxxW 由由可可得得 1,.nxW 如如此此继继续续 最最后后可可得得10,.nxW 而而故故123),W WV 设设是是 的的任任意意两两个个非非平平凡凡的的子子空空间间122),.nnWW由由 知知且且120,0.WW 则则120.WW 所所以以12.VWW故故不不能能表表成成与与的的直直和和首页 上页 下页 返回 结束 013242()nnxxx