特征值新求法ppt课件

引理1 设A Cnn(Cnn 表示n 阶复方阵集合).那么A 可对角化的充要条件是对A 的每一个特征值j(j=1,2,k),R(j E-A)=n-rj.其中rj 为j 的重数.引理2 设A Cnn,假设A 可对角化,那么A 的最小多项式为mA()=(-1)(-2)(-k),其中1,2,k 为A 的一切互不一样的特征值.内容概述内容概述特征向量算法的总结与推行1矩阵乘法求矩阵特征向量的一个新方法2根据定义求解特征值与特征向量，并举例3圆盘定理，估计特征值特点及范围，并举例、图示4幂法求解特征值特征向量，并举例、算法、程序5反幂法求解特征值特征向量6列行互逆变换法7列初等变换法证明：因A 可对角化,由引理2 知,A 的最小多项式为 12()()().()Akm即 1()()0kiiiijEAEA。这阐明 的列向量为方程组()0iEA x的解向量。由引理1 知()jjREAnr。因此齐次线性方程组()0jEA x的解空间维数为 。那么 1()kiiijEAjr另一方面,由Sylvester 不等式()()()R ABR AR Bn,可得下面一些详细证明步骤如下：1()kijiijREAr*,A(1,2,.),()n nn njjjjjjkREAnrr引理1 AC设（C表示n阶复方阵集合）。则 可对角化的充要条件是对A的每一特征值。其中 为 的重数。*1212()()().(),.,n nAkk 引理2 设AC，若A可对角化，则A最小多项式为m其中为A的所有互不相同的特征值。*121,A.A,()A,.n nkkijiijCEA定理设A为的所有互不相同的特征值 若可对角化则的列向量为矩阵对应于特征值的特征向量 且列向量组的极大无关组是特征向量空间的一个基假设 1111()(.)kijjjiijREAR AAAA1111211123111(.)()(.)()()(.)2.()(2)jjjjjjkjjjiiijR AAAAR AR AAAAnR AR AR AAAAnR Akn1,kiirn1,kjiiijrnr且 那么 。1111()()(2)()(2)kkkkiiiijiiiiijijijijREAREAknnrknnrr这阐明矩阵 1()kiiijEA的列向量组的极大无关组所含向量个数为 。jr因此极大线性无关组就是对应于特征值 j的特征向量空间的一个基。例12根据定义求解特征值特征向量：例1：求 的特征值与特征向量。解：根据定义：所以特征值为-1和5，再将-1和5分别代入方程组中得到方程：和 ，并求得其根底解系分别为：和 ，那么得出所对应的特征向量。122212221A2122|212(1)(5)221EA 123123123222022202220 xxxxxxxxx123123123422024202240 xxxxxxxxx100,111 111 3特征值估计格林戈什圆盘定理：*()ijn nAaA1、设，那么的每一个特征值必属于下述圆盘之中1|,1,2,.,.niiiijjj iarainAn或者说的特征值都在复平面上的个圆盘的并集中。mSnmSAm2、假设的个圆盘组成一个连通的并集与余下的个圆盘是分别的，内恰包含的个特征值。A那么实轴虚轴大致内容可由右图表示：可以在两圆相交部分有一对对称的共轭复根，也可以在实轴的有一个实根。例2、估计矩阵410101114A的特征值范围。解：A的3个圆盘为121:|4|1,:|2,:|4|2,DDD根据圆盘定理，可知有3个特征值位于3个圆盘的并集中，由于A1D是孤立圆盘，所以 内恰好有 的一个特征值 ，即 。A1D11352323,A的其他两个特征值包含在D,D 的并集中。如今选取对角矩阵1110.9D做类似变换类似变换不改动特征值的大小，11410101090.90.94AD AD1A的3个圆盘为12319:|4|1,:|,:|4|1.8,9EEE显然，3个圆盘都是孤立圆盘，所以每一个圆盘都只包含一个特征值，估计范围为：12335,1919,995.82.2 从而我们就可以估计出特征值的范围或性质，给运算或证明带来便利。4幂法：是一种计算矩阵主特征值及其对应特征向量的迭代方法，特别适用于大型稀疏矩阵。设实矩阵 ，有一个完全的特征向量组 ，其特征值为，相*()ijn nAa12,.n应的特征向量为 。12,.nx xx知A的主特征值是实根，且满足条件 ，12.n我们用幂法求 11,x：我们由知非零向量 0v即矩阵 A的乘幂 kA构造向量序列 0 v以计算 A的主特征值及相应的特征向量 。11,x向量的构造：0110011022002212202000100,max max,maxmax max.,maxmaxkkkkkkAvvvAuAv uvAvA vA vvvAuuAvvA vA vA vvuAvA v对恣意非零初始向量 ，001(0)vu按下述方法构造的向量序列,:kkuv0010,1,2,.,max,/,kkkkkvuvAukvv1 1lim;max kkxux2 1lim;kk例3：用幂法计算1.01.00.51.01.00.250.50.252.0Amax kvmax kv（规范化向量）（规范化向量）0（1,1,1）2.750000016（0.7483,0.6497,1）2.53658401（0.9091,0.8182,1）2.588791817（0.7482,0.6497,1）2.53655985（0.7651,0.6674,1）2.538002918（0.7482,0.6497,1）2.536545610（0.7494,0.6508,1）2.536625619（0.7482,0.6497,1）2.536537415（0.7483,06497,1）2.536584019（0.7482,06497,1）2.5365323kk于是我们利用幂法得出相应的特征值与特征向量：112.5365,(0.7482,0.6497,1)Tx而真实值如下：112.5365258,(0.74822116,0.649661,1)Tx可见，幂法迭代出来的结果还是很理想的。5反幂法：给定近似特征值的特征向量。反幂法用来计算矩阵按最小的特征值及其特征向量，也可用来计算对应于一个设*n nAR为非奇特矩阵，A的特征值次序记为 12|.|0n，对应的 特征向量为 12,.nx xx那么 1A的特征值为 11111|.|,nn对应的特征向量为11,.nnxxx因此计算 A的按模最小的特征值 n的问题就是计算 1A的按模最大的特征值。对于 1A运用幂法迭代即反幂法，可求得 1A的主特征值 1n，从而求得 A的按模最小特征值 。n迭代公式为：11,1,2,.,max kkkkkvA ukvuv其中满足1 lim;maxkkkkxux2 1limmax.kknv6列行互逆变换法定义1 把矩阵的以下三种变换称为列行互逆变换:()ijcc()jirr1k1.互换i、j两列,同时互换j、i两行2.第i列乘以非零数k,同时第i行乘3.第i列k倍加到第j列,同时第j行-k倍加到第i行。定理1复数域C上任一n阶矩阵A都与一个Jordan规范形矩阵k 11 k 22 k rr diagJ(),J(),J()J=类似,其中11111.1.1.kiJ称为Jordan块,12rk k k n的陈列次序外被矩阵A独一确定,J称为A的Jordan规范形。并且这个Jordan规范形矩阵除去其中 Jordan块定理2A为恣意n阶方阵,假设 TAJIP经过系列行列互逆变换。其中，J=k 11 k 22 k rr diagJ(),J(),J()是Jordan规范形矩阵,1P P PrTilik12rPi (),(i 1,r),k k k ni那么 为A的特征值,为A的对应特征值i的特征向量。iiki例4求 的特征值和特征向量。解：211031213A211111031131213004100100010010001101AI200200200121120120004004004110111/2111010021/2011111111/2111所以特征值 1232,4，对应特征值 122的特征向量 111,1对应 34的特征向量 。311.1 2111111110311311312131130041001001000100100100011011011331ccrr2112ccrr32231212ccrr33212cr7列初等变换法设A是n阶方阵,I为n阶单位阵,为待求特征值。假设对矩阵I-A施行一系列列初等变换,可得到下三角矩阵M(),那么令M()的主对角线上元素乘积为零,求得值即为矩阵A的特征值。求特征值与特征向量的详细步骤：(1)计算 ,其中C()为含的下三角矩阵,Q()为I经过初等()()IACIQ列变换得到的矩阵;(2)令C()主对角线元素之积为零,求出根即为特征值i(i=1,2,n);(3)将求出的i(i=1,2,n)代入 中为()()CQ()()iiCQ化为列阶梯形,当非零列向量个数为r时,Q()中后的n-r个列向量即为i对应的,再进展列初等变换,当C()特征向量。例5：求 的特征值和特征向量。211031213A解：211112031130213312100001010010001100IAI2100100122120345434(4)(2)()001001()010011112113CQ令C()主对角线元素之积为零,即 2(4)(2)0,特征值 1232,4当 122时，11100100()120()001011111CQ111,134当 时，11100120()100()001011111CQ3()2R C于是 34时，对应的特征向量为 211.1(0)(0)T(1,1,.1)幂法算法：(1)取初始向量u例如取u，设置精度要求，k=1.()(1)()()(),max(),/kkkkkkkvAumvuvm(2)计算()11(3)|,kkkkmm若则停止计算（m 作为绝对值最大特征值,u作为相应的特征向量），否则k=k+1，转到（2）functionm,u,index=pow(A,ep,N)N=100;ep=1e-6;n=length(A);u=ones(n,1);index=0;k=0;m1=0;while k=N v=A*u;vmax,i=max(abs(v);m=v(i);u=v/m;if abs(m-m1)ep index=1;break;end m1=m;k=k+1;endm,u,index=pow(A,1e-6)开场输入A；m,u,index=pow(A,1e-6)k=0;m1=0v=A*uvmax,i=max(abs(v)m=v(i);u=v/mabs(m-m1)1e-6index=1;break;输出：m，u，index终了m1=m;k=k+10111101111011110A例1 求矩阵 的特征向量。解：解矩阵A的特征方程 的特征值为 。3|(3)(1)0EA121,3由于A为是对称矩阵，一定可对角化。因此A的最小特征多项式为()(1)(3)Am因此有31111311311311113EA1111111111111111EA那么 和 对应的特征向量分别为1123 123111311,131113和41111